Пусть
(прямое произведение множеств действительных чисел), где
- несчетное множество. И пусть
три типа цилиндрических множеств, где
;
- прямоугольник со сторонами
;
- прямоугольник с борелевскими сторонами
; и
- множество из борелевской
-алгебры
. Пусть через
,
и
обозначены наименьшие
-алгебры, содержащие множества (0), (1) и (2) соответственно.
Теорема. 1)
; 2) любое множество
имеет следующую структуру: найдутся не более чем счетное множество
из
и множество
такие, что
Это теорема из §2 гл.2 Вероятность-I, Ширяев. Мне непонятно её доказательство в учебнике. Пока разбирался, придумал другое, вроде тоже верное и не менее строгое, чем в учебнике. Но, может, кто-нибудь посмотрит и увидит ошибки. Заранее спасибо)
Доказательство. При фиксированных
наименьшие
-алгебры, содержащие множества вида (0), (1) и (2), совпадают и состоят из цилиндров с основаниями в
-алгебре
. Обозначим эту
-алгебру через
. Тогда
, и то же самое представление верно для
и
. Тем самым доказано первое утверждение теоремы.
Далее, любое множество
есть не более чем счетное объединение множеств из
, то есть является цилиндром с основанием в
.