Здравствуйте. Нужно найти хотя бы одну, отличную от тривиальных, рациональную точку на кривой
![$\frac{2 l}{l^2-1}=\frac{x^2+y^2}{x (y^2-1)}$ $\frac{2 l}{l^2-1}=\frac{x^2+y^2}{x (y^2-1)}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/1/ce1ac63aa4a28fc1d4bb3d8d7c9d551482.png)
. В нормальном виде это
![$ (-l^2+1) x^2+(2 l y^2-2 l) x+(-l^2+1) y^2$ $ (-l^2+1) x^2+(2 l y^2-2 l) x+(-l^2+1) y^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/6/cc60c0dcd41a0c36890eb635fb6b866482.png)
. Тривиальными являются
![$[x=-\frac{2 l}{l^2-1},y=0],[x=0,y=0]$ $[x=-\frac{2 l}{l^2-1},y=0],[x=0,y=0]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/2/de2b7553523af8843d98dc001d2fdfbd82.png)
и квартет
![$[x=l,y=l],[x=l,y=-l],[x=-1/l,y=1/l],[x=-1/l,y=-1/l]$ $[x=l,y=l],[x=l,y=-l],[x=-1/l,y=1/l],[x=-1/l,y=-1/l]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/d/6ada1641d9bd1b7e524d71f0466e9c4682.png)
. Они не удовлетворяют условиям исходной задачи. Более того, они вырождены. То есть, касательные в этих точках и секущие, проходящие через любую пару из них, не дают новой точки. Если есть решение
![$ x=x_0,y=y_0$ $ x=x_0,y=y_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/3/563152c45f7ceb512a5db8f205e432de82.png)
, то решениями будут и
![$[x=x_0,y=-y_0],[x=-1/x_0,y=1/y_0],[x=-1/x_0,y=-1/y_0]$ $[x=x_0,y=-y_0],[x=-1/x_0,y=1/y_0],[x=-1/x_0,y=-1/y_0]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/1/28111d89d9375fbeb691ad1f3901195582.png)
.
Я предположил, что существуют и такие
![$ x=x_0,y=y_0$ $ x=x_0,y=y_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/3/563152c45f7ceb512a5db8f205e432de82.png)
, что касательная в этой точке пройдет через
![$ x=l,y=l$ $ x=l,y=l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/c/f2cc230b97df81edb2771bff673f517882.png)
. То есть, подставляя y из
![$\frac{x-l}{x_0-l}=\frac{y-l}{y_0-l}$ $\frac{x-l}{x_0-l}=\frac{y-l}{y_0-l}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/7/8776fcb1f521284e7a5befbbf3225e4082.png)
в наше уравнение, должны получить
![$(x-x_0)^2$ $(x-x_0)^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/7/1d7af7d2a8d43283b70a957fa0384c7b82.png)
. Получается это возможно только при некоторых
![$l=\frac{p^2+2}{p^2-2}$ $l=\frac{p^2+2}{p^2-2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/3/5634dc68357caf9a4c9a195eb7f25d7b82.png)
. Но и в этом случае x_0 получается иррациональным!
Может кто то подскажет, в чем ошибка, правильный подход, или просто найдет новую рациональную точку?