Квартеты на 2*l/(l^2-1) = (y^2-1)*(x^2+y^2)/x

[Volik]

Здравствуйте. Нужно найти хотя бы одну, отличную от тривиальных, рациональную точку на кривой $\frac{2 l}{l^2-1}=\frac{x^2+y^2}{x (y^2-1)}$. В нормальном виде это $ (-l^2+1) x^2+(2 l y^2-2 l) x+(-l^2+1) y^2$. Тривиальными являются $[x=-\frac{2 l}{l^2-1},y=0],[x=0,y=0]$ и квартет $[x=l,y=l],[x=l,y=-l],[x=-1/l,y=1/l],[x=-1/l,y=-1/l]$. Они не удовлетворяют условиям исходной задачи. Более того, они вырождены. То есть, касательные в этих точках и секущие, проходящие через любую пару из них, не дают новой точки. Если есть решение $ x=x_0,y=y_0$ , то решениями будут и $[x=x_0,y=-y_0],[x=-1/x_0,y=1/y_0],[x=-1/x_0,y=-1/y_0]$.
Я предположил, что существуют и такие $ x=x_0,y=y_0$ , что касательная в этой точке пройдет через $ x=l,y=l$. То есть, подставляя y из $\frac{x-l}{x_0-l}=\frac{y-l}{y_0-l}$ в наше уравнение, должны получить $(x-x_0)^2$. Получается это возможно только при некоторых $l=\frac{p^2+2}{p^2-2}$. Но и в этом случае x_0 получается иррациональным!
Может кто то подскажет, в чем ошибка, правильный подход, или просто найдет новую рациональную точку?

[dgwuqtj]

Если временно забить на случаи, когда обнуляются знаменатели, то для пары $(x, y)$ найдётся подходящее $l$ тогда и только тогда, когда $(x^2 + 1) (x^2 + y^4)$ является точным квадратом (это условие того, что дискриминант уравнения на $l$ — точный квадрат). Случай $y = \pm 1$ (и $l = \pm 1$) вас тоже не интересует?

[Volik]

Спасибо, но нет. Такие решения тоже не интересны. Я кажется нашел свою ошибку. Вместо решения уравнения $l^2-1=2 t^2$ я взял частный случай $l=\frac{p^2+2}{p^2-2}$ и $t=\frac{p}{(p^2-2)}$. Завтра, на свежую голову разберусь.

[Andrey A]

Volik в сообщении #1642748 писал(а):

Вместо решения уравнения $l^2-1=2 t^2$ я взял частный случай $l=\frac{p^2+2}{p^2-2}$ и $t=\frac{p}{(p^2-2)}$.

Решение уравнения $l^2-1=2 t^2$ : $l=\frac{p^2+2}{p^2-2}$ и $t=\frac{2p}{p^2-2}$ (на всякий случай).

[Volik]

Спасибо. Я не удержался, решил и понял, что мое "отфонарное" решение и есть общее. То есть, вопрос открыт!

[dgwuqtj]

Я из интереса запрограммировал некоторый перебор, там вариантов хватает даже с целыми $(x, y)$. Вот несколько на выбор: $(4, 13)$, $(57, 21)$, $(98, 58)$.

[Volik]

Это не решения. Все решения, кроме $x=y=0$ , зависят от l.

[dgwuqtj]

Имелось в виду, что там $l$ можно подобрать. Или вы хотите для каждого $l$ найти по точке? Не факт, что она всегда существует.

[Volik]

Но это хорошая иллюстрация того что такие l существуют. Может правильнее ставить задачу как найти сечения l поверхности с не тривиальными рациональными решениями $x, y$. А последняя Ваша точка (98,58) дает иррациональное l .

[dgwuqtj]

Volik в сообщении #1642778 писал(а):

А последняя Ваша точка (98,58) дает иррациональное l .

Действительно, я ошибся. При $x, y < 1000$ есть только такие целые точки (для некоторых подходящих $l$):
$(117, 9)$, $(4, 13)$, $(117, 13)$, $(378, 18)$, $(57, 21)$, $(378, 21)$, $(682, 22)$, $(682, 31)$, $(500, 55)$, $(378, 339)$. Ну и дробных вариантов много.

[Volik]

Спасибо. Могут пригодиться, как подсказки.
у меня получается что для рациональных решений должно быть $p^8+2 p^7+5 p^6+4 p^5-4 p^4+8 p^3+20 p^2+16 p+16=r^2$. Maple показывает род 3, то есть, число рациональных точек конечно. Это уже странно, поскольку ожидалось что подходящих l должно быть бесконечно много. Да и вообще как тут искать рациональные точки не знаю

[dgwuqtj]

Те пары $(l, y)$, для которых $0 < l < 1 < y$ и найдётся подходящий $x$ и у $y$ числитель и знаменатель не превосходят $1000$ (включительно), начинаются так:

(1/4, 32/7) (1/4, 33/4) (4/5, 13/4) (4/5, 21/16) (1/6, 176/27) (1/6, 399/26) (5/6, 29/24) (5/6, 126/17) (2/7, 272/77) (2/7, 490/19) (3/7, 63/22) (3/7, 195/49) (6/7, 21/16) (6/7, 27/14) (2/11, 62/11) (2/11, 176/7) (3/11, 33/4) (3/11, 45/11) (4/11, 143/32) (4/11, 153/44) (4/11, 608/187) (4/11, 704/87) (5/11, 77/25) (5/11, 171/55) (10/11, 22/19) (10/11, 24/11).

Дальше у $l$ знаменатель хотя бы 13.

[Volik]

Для каждого Вашего решения $x=x_0,y=y_0,l=l_0$ есть компаньены из квартета
$[x=x_0,y=y_0],[x=x_0,y=-y_0],[x=-1/x_0,y=1/y_0],[x=-1/x_0,y=-1/y_0]$
плюс $l=-1/l_0$
Не пойму, почему система так неудачно форматирует набор в квадратных скобках.

[Volik]

Что то первые 3 точки из Вашего кода (1/4, 32/7) (1/4, 33/4) (4/5, 13/4) дают иррациональные l? А как остальные?

[dgwuqtj]

Это же пары $(l, y)$, а не $(x, y)$. Например, при $l = 1/4$ и $y = 32/7$ будет $x = -8$ или $x = -128/49$.