Дискретное и непрерывное

[siago]

Дискретное множество состоит из элементов. Можем ли мы говорить об элементах непрерывного множества? Говоря об элементах, мы подразумеваем нечто отдельное, но так называемые элементы непрерывного множества не отделены друг от друга. Я понимаю, что например из множества действительных чисел можно взять любое число и рассматривать его как элемент. Но в дискретном множестве у элемента есть соседние элементы, в непрерывном множестве мы таковых назвать не можем. Получается, что говорить об элементах непрерывного множества мы можем только в отрыве от самого множества. Что вы об этом думаете?

[Mihr]

siago в сообщении #1642027 писал(а):

Что вы об этом думаете?

Я лично думаю, что стоит начать с определений. Что такое "дискретное множество"? Множество рациональных чисел "дискретно" (в Вашем понимании) или нет?

siago в сообщении #1642027 писал(а):

Получается, что говорить об элементах непрерывного множества мы можем только в отрыве от самого множества.

А эту фразу я вообще не смог для себя перевести. Что она, собственно, означает?

[Anton_Peplov]

Наводящий вопрос: что такое соседние элементы?

[siago]

Mihr в сообщении #1642030 писал(а):

Я лично думаю, что стоит начать с определений. Что такое "дискретное множество"? Множество рациональных чисел "дискретно" (в Вашем понимании) или нет?

В моём понимании множество рациональных чисел "дискретно", поскольку я не вижу в нём алгоритма непрерывности. Суть алгоритма непрерывности ряда действительных чисел в моём понимании заключается в том, что между любыми двумя числами этого ряда всегда есть третье число. То есть это собственно не ряд, а среда, не множество, а единица, имеющая величину.
Исходя из этого можно попробовать дать определение. Дискретное множество это множество, состоящее из отдельных элементов, непрерывное множество это условное множество, на самом деле состоящее из одного (единицы, элемента), имеющего величину.

Mihr в сообщении #1642030 писал(а):

siago в сообщении #1642027

писал(а):
Получается, что говорить об элементах непрерывного множества мы можем только в отрыве от самого множества.
А эту фразу я вообще не смог для себя перевести. Что она, собственно, означает?

Трудно объяснить, но можно попробовать это сделать с помощью представления о едином, имеющем величину, о котором я выше сказал. То есть, мы имеем "одно", с философской точки зрения являющееся противоположностью "множеству". В этом " одном" мы условно выделяем элементы, на самом деле элементами не являющимися.

-- 10.06.2024, 22:16 --

Anton_Peplov в сообщении #1642031 писал(а):

Наводящий вопрос: что такое соседние элементы?

Соседние это элементы, между которыми нет других элементов.

[wrest]

siago в сообщении #1642027 писал(а):

Но в дискретном множестве у элемента есть соседние элементы,

Это, конечно, необязательно. Упорядоченность -- необязательное свойство конечного множества.

-- 10.06.2024, 22:24 --

siago в сообщении #1642041 писал(а):

Суть алгоритма непрерывности ряда действительных чисел в моём понимании заключается в том, что между любыми двумя числами этого ряда всегда есть третье число.

Так и между двумя различными рациональными числами $a$ и $b$ всегда есть третье рациональное число $c=\dfrac{a-b}{2}$
P.S. То есть, конечно, $c=\dfrac{a+b}{2}$

[Mihr]

siago в сообщении #1642041 писал(а):

Суть алгоритма непрерывности ряда действительных чисел в моём понимании заключается в том, что между любыми двумя числами этого ряда всегда есть третье число.

Между любыми двумя рациональными числами есть сколько угодно иных рациональных чисел. Но это не называется непрерывностью на самом деле.
И слово "алгоритм", кстати, имеет вполне чёткий смысл. Не тот, в котором Вы его употребляете.

siago в сообщении #1642041 писал(а):

Дискретное множество это множество, состоящее из отдельных элементов

Любое множество состоит из отдельных элементов.

siago в сообщении #1642041 писал(а):

непрерывное множество это условное множество, на самом деле состоящее из одного (единицы, элемента), имеющего величину.

А это, извините, бессмысленный набор слов.

siago в сообщении #1642041 писал(а):

Трудно объяснить, но можно попробовать это сделать с помощью представления о едином, имеющем величину, о котором я выше сказал. То есть, мы имеем "одно", с философской точки зрения являющееся противоположностью "множеству".

"Философствовать" можно, но лучше это делать в "Свободном полёте". В том разделе, где мы сейчас находимся, философия не в чести. А "философствование" - и подавно.

-- 10.06.2024, 22:33 --

wrest в сообщении #1642043 писал(а):

Так и между двумя различными рациональными числами $a$ и $b$ всегда есть третье рациональное число $c=\dfrac{a-b}{2}$

Вы, очевидно, имели в виду $c=\dfrac{a+b}{2}$?

[wrest]

Mihr в сообщении #1642047 писал(а):

Вы, очевидно, имели в виду $c=\dfrac{a+b}{2}$?

Да...

[Red_Herring]

Много лет назад, будучи студентом или аспирантом, я наблюдал серию шахматных игр между преподавателем кафедры анализа и его коллегой с кафедры дискретной математики. Первый драл второго нещадно, не давая тому ни малейших шансов даже на ничью, и приговаривал

Цитата:

Вы только думаете дискретно, а проигрываете непрерывно.

Диалектика, однако!

[EminentVictorians]

Для линейно упорядоченного множества можно ввести непрерывность по Дедекинду.
1. Сначала определяем понятие сечения лум-а (как обычно, разбиение на 2 непересекающихся множества с известным свойством)
2. Называем дедекиндовыми сечения, такие, у которых один из классов закрыт, а другой открыт.
3. А дальше определяем: лум непрерывно $\Leftrightarrow$ любое его сечение дедекиндово.

[dgwuqtj]

siago в сообщении #1642027 писал(а):

Что вы об этом думаете?

В математике все множества дискретны в том смысле, что у них есть элементы (кроме пустого множества) и они этими элементами однозначно определяются по аксиоме экстенсиональности. Если вы хотите рассматривать непрерывные сущности не как множества, то это надо брать альтернативные основания математики. Может, в теории типов что-то такое и найдётся.

[siago]

wrest в сообщении #1642043 писал(а):

Так и между двумя различными рациональными числами $a$ и $b$ всегда есть третье рациональное число $c=\dfrac{a-b}{2}$
P.S. То есть, конечно, $c=\dfrac{a+b}{2}$

Значит и это непрерывное множество. Я могу ошибаться в примерах, но принцип или правило, я думаю, понятно.

[skobar]

siago в сообщении #1642093 писал(а):

wrest в сообщении #1642043 писал(а):

Так и между двумя различными рациональными числами $a$ и $b$ всегда есть третье рациональное число $c=\dfrac{a-b}{2}$
P.S. То есть, конечно, $c=\dfrac{a+b}{2}$

Значит и это непрерывное множество. Я могу ошибаться в примерах, но принцип или правило, я думаю, понятно.

Если я правильно понимаю, вы опираетесь на свое интуитивное понятие "непрерывного множества". К сожалению, это тот случай, когда интуиция подводит, и нужны строгие определения. Во-первых, похоже, что вы думаете в рамках так называемых упорядоченных множеств (погуглите точное определение). Вообще говоря, в математике нет понятия "непрерывного множества". Если исходить исключительно из интуитивного представления, то вот вам пример, показывающий, что ваше определение, что "между любыми двумя различными элементами есть третий элемент" плохое. В том же самом множестве рациональных чисел рассмотрим два множества:

A - множество всех рациональных чисел, квадрат которых меньше 2
B - множество всех положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2

Очевидно, что любой элемент из A меньше (или предшествует) любого элемента из B. Однако нет рационального числа, которое "находится между" этими двумя множествами (таковым числом является корень из двух, но оно иррационально). Поэтому, исходя из интуиции, множество рациональных чисел не "непрерывно".

Из существующих в математике определений, возможно, вашему интуитивному представлению о "непрерывном множестве" отвечает понятие "полного упорядоченного множества" (опять же, погуглите точное определение). Выше уже про это писали, но, очевидно, на непонятном для вас языке, я попытался изложить идею попроще.

[siago]

Mihr в сообщении #1642047 писал(а):

Между любыми двумя рациональными числами есть сколько угодно иных рациональных чисел. Но это не называется непрерывностью на самом деле.
И слово "алгоритм", кстати, имеет вполне чёткий смысл.

Прошу прощения за подобные неточности, это следствие моего редкого обращения к вопросам математики. В случае с рациональными числами я просто привел наглядный пример. А непрерывность, разумеется, нужно понимать, как она понимается в математике.

Mihr в сообщении #1642047 писал(а):

Любое множество состоит из отдельных элементов.

Разумеется. Поэтому я и ставлю вопрос, можем ли мы относить к множествам то, что принято называть непрерывными множествами. С моей точки зрения для таких объектов должен быть отдельный термин. Ведь разница принципиальна и она существенна.

Mihr в сообщении #1642047 писал(а):

В том разделе, где мы сейчас находимся, философия не в чести. А "философствование" - и подавно.

Первое это конечно позор для раздела. А второе относится к тем случаям, когда просто поговорить не о чем. В данном случае это вопрос, который меня мучает и я действительно хочу в нём разобраться.

EminentVictorians в сообщении #1642065 писал(а):

можно ввести непрерывность по Дедекинду.

Вопрос не в определении непрерывности, а а в том, насколько правильно непрерывные объекты относить к классам объектов, состоящих из элементов.

dgwuqtj в сообщении #1642066 писал(а):

В математике все множества дискретны в том смысле, что у них есть элементы

Я и ставлю вопрос, как можно непрерывные объекты относить к дискретным.

[Dedekind]

siago
Так каким определением непрерывности Вы пользуетесь?

[Mihr]

siago в сообщении #1642098 писал(а):

Первое это конечно позор для раздела.

"Позор" с чьей точки зрения? С вашей? Ничего, как-нибудь переживём