Линейные дифференциальные уравнения

[Norma]

При исследовании особых точек покоя линейной системы дифференциальных уравнений $\dot{x}=Ax$ матрица $A$ приводится к диагональному виду путем перехода к собственному базису. Но, как мне известно, собственный базис есть только у матрицы оператора. Можно ли сказать, что $A$ - матрица линейного оператора, который переводит вектор $x$ в вектор $\dot{x}$?

[Mikhail_K]

Norma в сообщении #1636446 писал(а):

собственный базис есть только у матрицы оператора

Любая матрица является матрицей некоторого линейного оператора. А именно, это оператор, который каждому вектор-столбцу $x$ ставит в соответствие вектор $Ax$, получаемый умножением матрицы $A$ на данный вектор.

Norma в сообщении #1636446 писал(а):

Можно ли сказать, что $A$ - матрица линейного оператора, который переводит вектор $x$ в вектор $\dot{x}$?

Ну, в качестве определения этого линейного оператора сказанное точно не годится. Потому что не позволяет найти $Ax$ для любого вектора $x$. Надо сказать так: $A$ - матрица линейного оператора, который переводит произвольный вектор-столбец $x$ в вектор-столбец $Ax$.

[Alex Krylov]

Вот вам пример устойчивой но недиагонализируемой матрицы: $A = \begin{bmatrix} -3&1 \\ 0&-3 \\ \end{bmatrix}$

[Mikhail_K]

Да, конечно, надо добавить, что матрицу системы линейных диф.уравнений не всегда удаётся привести именно к диагональному виду.

[Alex Krylov]

Линейная система (в непрерывном времени) асимптотически устойчива, если и только если собственные числа $\lambda_i$ матрицы $A$ лежат строго в левой полуплоскости комплексной плоскости, т.e. $Re(\lambda_i)<0$. Такая матрица называется гурвицевой. Диагонализируемость тут не требуется.

[Alex Krylov]

Допустим, что матрица $A$ устойчива и диагонализуема: $\frac{dx}{dt}=Ax=VDV^{-1}x$
Тогда решения будут представлять взвешенную сумму затухающих колебаний вида: $A\exp(-\alpha t)\cos(\omega t - \varphi)$

[Norma]

Всем спасибо за помощь

[drzewo]

Mikhail_K в сообщении #1636448 писал(а):

Любая матрица является матрицей некоторого линейного оператора.

неужели матрица билинейной формы тоже является матрицей некоторого линейного оператора?

[dgwuqtj]

Norma в сообщении #1636446 писал(а):

Но, как мне известно, собственный базис есть только у матрицы оператора.

Вообще у любой квадратной матрицы, но геометрический смысл действительно будет только если матрице соответствует какой-то разумный оператор. Если вам надо с системами работать, а не с вектор-функциями, про геометрический смысл можно не думать, а воспринимать замену базиса просто как замену переменных. Тут важно, что для $x$ и $\dot x$ эта замена работает одинаково.

[drzewo]

Опять наткнулся на эту ветку. Странно, что ответа на вопрос стартового поста так и не случилось.

Norma в сообщении #1636446 писал(а):

Можно ли сказать, что $A$ - матрица линейного оператора, который переводит вектор $x$ в вектор $\dot{x}$?

Да, в следующем смысле. В системе $\dot x=Ax$ выполним линейную замену координат с постоянной матрицей: $x=Cy$. Тогда $\dot y=C^{-1}ACy.$ Таким образом, матрица системы при линейной замене переменных преобразуется так, как положено преобразовываться матрице линейного оператора.

[Anton_Peplov]

drzewo в сообщении #1641843 писал(а):

неужели матрица билинейной формы тоже является матрицей некоторого линейного оператора?

А разве нет? Зафиксируем в $n$-мерном пространстве $L$ над полем $P$ базис $ \{ \mathbf {e_1 \dots e_n} \}$ . Возьмем произвольную матрицу $n \times n$ вида

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} $$

Она является матрицей некоторой билинейной формы $f \colon L \times L \to P$ в базисе $ \{ \mathbf {e_1 \dots e_n} \}$, и эта форма определяется формулой

$$ f (\mathbf{x, y}) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_iy_j $$

Одновременно она является матрицей линейного оператора $A \colon L \to L$ в паре базисов $\{ \mathbf {e_1 \dots e_n} \}, \{ \mathbf {e_1 \dots e_n} \}$, и этот оператор определяется системой уравнений

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} A \mathbf {e_1} = a_{11}\mathbf {e_1} + a_{21}\mathbf {e_2} + \dots + a_{n1}\mathbf {e_n}\\ A \mathbf {e_2} = a_{12}\mathbf {e_1} + a_{22}\mathbf {e_2} + \dots + a_{n2}\mathbf {e_n}\\ \dots \\ A \mathbf {e_n} = a_{1n}\mathbf {e_1} + a_{2n}\mathbf {e_2} + \dots + a_{nn}\mathbf {e_n} \end{array} \right $$

Для фиксированного базиса всякая матрица определяет БЛФ, для фиксированной пары базисов она же определяет ЛО. Что не так?

(Надеюсь, в индексах нигде не проврался; матрица линейного оператора - это транспонированная матрица коэффициентов СЛАУ).

[Geen]

Anton_Peplov в сообщении #1678685 писал(а):

Что не так?

А как матрица билинейной формы преобразуется?

[Anton_Peplov]

Geen в сообщении #1678686 писал(а):

А как матрица билинейной формы преобразуется?

Конечно, при переходе к новому базису матрица билинейной формы преобразуется не так, как матрица линейного оператора. И что? Утверждение

Mikhail_K в сообщении #1636448 писал(а):

Любая матрица является матрицей некоторого линейного оператора.

остается верным. На матрице не написано, что мы собираемся по ней строить - линейный оператор, билинейную форму или черта в ступе.

В общем, ладно. Кажется, тут пошла какая-то методическая ловля блох, а методика преподавания - это точно не ко мне, я не преподаватель. По сути вопроса все всё понимают.

[drzewo]

Anton_Peplov в сообщении #1678699 писал(а):

Кажется, тут пошла какая-то методическая ловля блох,

Нет, тут как раз фундаментальный вопрос, который Вы не поняли. Точнее говоря, не захотели понять.

[Anton_Peplov]

drzewo в сообщении #1678700 писал(а):

Нет, тут как раз фундаментальный вопрос, который Вы не поняли. Точнее говоря, не захотели понять.

Вам виднее.