2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.04.2024, 17:14 


30/04/19
215
При исследовании особых точек покоя линейной системы дифференциальных уравнений $\dot{x}=Ax$ матрица $A$ приводится к диагональному виду путем перехода к собственному базису. Но, как мне известно, собственный базис есть только у матрицы оператора. Можно ли сказать, что $A$ - матрица линейного оператора, который переводит вектор $x$ в вектор $\dot{x}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.04.2024, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4932
Norma в сообщении #1636446 писал(а):
собственный базис есть только у матрицы оператора
Любая матрица является матрицей некоторого линейного оператора. А именно, это оператор, который каждому вектор-столбцу $x$ ставит в соответствие вектор $Ax$, получаемый умножением матрицы $A$ на данный вектор.
Norma в сообщении #1636446 писал(а):
Можно ли сказать, что $A$ - матрица линейного оператора, который переводит вектор $x$ в вектор $\dot{x}$?
Ну, в качестве определения этого линейного оператора сказанное точно не годится. Потому что не позволяет найти $Ax$ для любого вектора $x$. Надо сказать так: $A$ - матрица линейного оператора, который переводит произвольный вектор-столбец $x$ в вектор-столбец $Ax$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.04.2024, 18:05 


14/11/21
177
Вот вам пример устойчивой но недиагонализируемой матрицы: $A = \begin{bmatrix}
 -3&1 \\
 0&-3 \\
\end{bmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.04.2024, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4932
Да, конечно, надо добавить, что матрицу системы линейных диф.уравнений не всегда удаётся привести именно к диагональному виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.04.2024, 18:34 


14/11/21
177
Линейная система (в непрерывном времени) асимптотически устойчива, если и только если собственные числа $\lambda_i$ матрицы $A$ лежат строго в левой полуплоскости комплексной плоскости, т.e. $Re(\lambda_i)<0$. Такая матрица называется гурвицевой. Диагонализируемость тут не требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.04.2024, 21:23 


14/11/21
177
Допустим, что матрица $A$ устойчива и диагонализуема: $\frac{dx}{dt}=Ax=VDV^{-1}x$
Тогда решения будут представлять взвешенную сумму затухающих колебаний вида: $A\exp(-\alpha t)\cos(\omega t - \varphi)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение16.04.2024, 10:14 


30/04/19
215
Всем спасибо за помощь

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение08.06.2024, 17:07 


21/12/16
1428
Mikhail_K в сообщении #1636448 писал(а):
Любая матрица является матрицей некоторого линейного оператора.

неужели матрица билинейной формы тоже является матрицей некоторого линейного оператора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение08.06.2024, 18:24 
Заслуженный участник


07/08/23
1407
Norma в сообщении #1636446 писал(а):
Но, как мне известно, собственный базис есть только у матрицы оператора.

Вообще у любой квадратной матрицы, но геометрический смысл действительно будет только если матрице соответствует какой-то разумный оператор. Если вам надо с системами работать, а не с вектор-функциями, про геометрический смысл можно не думать, а воспринимать замену базиса просто как замену переменных. Тут важно, что для $x$ и $\dot x$ эта замена работает одинаково.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.03.2025, 15:22 


21/12/16
1428
Опять наткнулся на эту ветку. Странно, что ответа на вопрос стартового поста так и не случилось.
Norma в сообщении #1636446 писал(а):
Можно ли сказать, что $A$ - матрица линейного оператора, который переводит вектор $x$ в вектор $\dot{x}$?

Да, в следующем смысле. В системе $\dot x=Ax$ выполним линейную замену координат с постоянной матрицей: $x=Cy$. Тогда $\dot y=C^{-1}ACy.$ Таким образом, матрица системы при линейной замене переменных преобразуется так, как положено преобразовываться матрице линейного оператора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.03.2025, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8882
drzewo в сообщении #1641843 писал(а):
неужели матрица билинейной формы тоже является матрицей некоторого линейного оператора?
А разве нет? Зафиксируем в $n$-мерном пространстве $L$ над полем $P$ базис $ \{ \mathbf {e_1 \dots e_n} \}$ . Возьмем произвольную матрицу $n \times n$ вида
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}
$$
Она является матрицей некоторой билинейной формы $f \colon L \times L \to P$ в базисе $ \{ \mathbf {e_1 \dots e_n} \}$, и эта форма определяется формулой $$
f (\mathbf{x, y}) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_iy_j
$$
Одновременно она является матрицей линейного оператора $A \colon L \to L$ в паре базисов $\{ \mathbf {e_1 \dots e_n} \}, \{ \mathbf {e_1 \dots e_n} \}$, и этот оператор определяется системой уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
A \mathbf {e_1} = a_{11}\mathbf {e_1} + a_{21}\mathbf {e_2} + \dots + a_{n1}\mathbf {e_n}\\
A \mathbf {e_2} = a_{12}\mathbf {e_1} + a_{22}\mathbf {e_2} + \dots + a_{n2}\mathbf {e_n}\\
\dots \\
A \mathbf {e_n} = a_{1n}\mathbf {e_1} + a_{2n}\mathbf {e_2} + \dots + a_{nn}\mathbf {e_n}
\end{array}
\right
$$

Для фиксированного базиса всякая матрица определяет БЛФ, для фиксированной пары базисов она же определяет ЛО. Что не так?

(Надеюсь, в индексах нигде не проврался; матрица линейного оператора - это транспонированная матрица коэффициентов СЛАУ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.03.2025, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4790
Anton_Peplov в сообщении #1678685 писал(а):
Что не так?

А как матрица билинейной формы преобразуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.03.2025, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8882
Geen в сообщении #1678686 писал(а):
А как матрица билинейной формы преобразуется?
Конечно, при переходе к новому базису матрица билинейной формы преобразуется не так, как матрица линейного оператора. И что? Утверждение
Mikhail_K в сообщении #1636448 писал(а):
Любая матрица является матрицей некоторого линейного оператора.
остается верным. На матрице не написано, что мы собираемся по ней строить - линейный оператор, билинейную форму или черта в ступе.

В общем, ладно. Кажется, тут пошла какая-то методическая ловля блох, а методика преподавания - это точно не ко мне, я не преподаватель. По сути вопроса все всё понимают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.03.2025, 18:34 


21/12/16
1428
Anton_Peplov в сообщении #1678699 писал(а):
Кажется, тут пошла какая-то методическая ловля блох,

Нет, тут как раз фундаментальный вопрос, который Вы не поняли. Точнее говоря, не захотели понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные дифференциальные уравнения
Сообщение15.03.2025, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8882
drzewo в сообщении #1678700 писал(а):
Нет, тут как раз фундаментальный вопрос, который Вы не поняли. Точнее говоря, не захотели понять.
Вам виднее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: kthxbye


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group