Линейные дифференциальные уравнения

[Norma]

При исследовании особых точек покоя линейной системы дифференциальных уравнений $\dot{x}=Ax$ матрица $A$ приводится к диагональному виду путем перехода к собственному базису. Но, как мне известно, собственный базис есть только у матрицы оператора. Можно ли сказать, что $A$ - матрица линейного оператора, который переводит вектор $x$ в вектор $\dot{x}$?

[Mikhail_K]

Norma в сообщении #1636446 писал(а):

собственный базис есть только у матрицы оператора

Любая матрица является матрицей некоторого линейного оператора. А именно, это оператор, который каждому вектор-столбцу $x$ ставит в соответствие вектор $Ax$, получаемый умножением матрицы $A$ на данный вектор.

Norma в сообщении #1636446 писал(а):

Можно ли сказать, что $A$ - матрица линейного оператора, который переводит вектор $x$ в вектор $\dot{x}$?

Ну, в качестве определения этого линейного оператора сказанное точно не годится. Потому что не позволяет найти $Ax$ для любого вектора $x$. Надо сказать так: $A$ - матрица линейного оператора, который переводит произвольный вектор-столбец $x$ в вектор-столбец $Ax$.

[Alex Krylov]

Вот вам пример устойчивой но недиагонализируемой матрицы: $A = \begin{bmatrix} -3&1 \\ 0&-3 \\ \end{bmatrix}$

[Mikhail_K]

Да, конечно, надо добавить, что матрицу системы линейных диф.уравнений не всегда удаётся привести именно к диагональному виду.

[Alex Krylov]

Линейная система (в непрерывном времени) асимптотически устойчива, если и только если собственные числа $\lambda_i$ матрицы $A$ лежат строго в левой полуплоскости комплексной плоскости, т.e. $Re(\lambda_i)<0$. Такая матрица называется гурвицевой. Диагонализируемость тут не требуется.

[Alex Krylov]

Допустим, что матрица $A$ устойчива и диагонализуема: $\frac{dx}{dt}=Ax=VDV^{-1}x$
Тогда решения будут представлять взвешенную сумму затухающих колебаний вида: $A\exp(-\alpha t)\cos(\omega t - \varphi)$

[Norma]

Всем спасибо за помощь

[drzewo]

Mikhail_K в сообщении #1636448 писал(а):

Любая матрица является матрицей некоторого линейного оператора.

неужели матрица билинейной формы тоже является матрицей некоторого линейного оператора?

[dgwuqtj]

Norma в сообщении #1636446 писал(а):

Но, как мне известно, собственный базис есть только у матрицы оператора.

Вообще у любой квадратной матрицы, но геометрический смысл действительно будет только если матрице соответствует какой-то разумный оператор. Если вам надо с системами работать, а не с вектор-функциями, про геометрический смысл можно не думать, а воспринимать замену базиса просто как замену переменных. Тут важно, что для $x$ и $\dot x$ эта замена работает одинаково.