Важное и второстепенное в математике

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1641545 писал(а):

Чем больше ограничений на изучаемые объекты, тем больше взаимосвязей между ними.

Вот только если ограничений слишком много, теория богаче не становится. Она вырождается в банальщину.

Добавьте к 3-м аксиомам группы такую:
4)порядок группы равняется $p$, где $p$ простое.

И вся огромная теория групп моментально вырождается в изучение циклических групп (да и то не всех). И операторов в ней, кстати, так и будет меньше, чем в евклидовой геометрии. И содержания тоже меньше станет. Так что тут не все так прямолинейно.

dgwuqtj в сообщении #1641546 писал(а):

Кстати, а как эффективно формулами записывать всякие отношения порядка в геометрии?

Так вся красота в том и заключается, что помимо формульного языка есть графический. Рисовать чертежи - это тоже форма языка. Близкий пример - теория категорий. Там тоже встречаются вещи, которые гораздо проще нарисовать, чем писать формулой. Но ведь это преимущество, а не недостаток. Я был бы очень рад, если бы в теории групп был бы развитый графический язык (его элементы существуют и сейчас, хотя бы те же диаграммы Дынкина, но это относится не совсем к общей теории групп и этого крайне мало по сравнению с тем, что хотелось бы).

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1641550 писал(а):

Вот только если ограничений слишком много, теория богаче не становится. Она вырождается в банальщину.

Разумеется.

EminentVictorians в сообщении #1641550 писал(а):

Добавьте к 3-м аксиомам группы такую:
4)порядок группы равняется $p$, где $p$ простое.

И вся огромная теория групп моментально вырождается в изучение циклических групп.

А если добавить к аксиомам кольца аксиому $0 = 1$, то вся теория колец сведется к "изучению" множества из одного элемента.

Я не говорю, что чем больше аксиом, тем лучше. Я о другом: невозможно получить в теории групп такую же богатую систему взаимосвязей, как в евклидовой геометрии. Потому что аксиомы группы оставляют слишком большой простор для существования самых разнообразных групп. Даже среди конечных простых групп и то есть 26 исключительных. Так что тут дело не в том, что кто-то где-то недоработал над техникой.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1641539 писал(а):

Все гонятся за результатами, а причесать теорию никто не хочет.

Ну так сделайте это.

EminentVictorians в сообщении #1641539 писал(а):

Я на 200% уверен, что если бы этим занялись серьезно - профит был бы колоссальный.

В области математики, мне отчасти знакомой, был человек, который действовал примерно таким образом, как Вы и предлагаете. Занимался техникой, алгебраизовал, если можно так выразиться, эту область вдоль и поперек. Теорию причесал - Зверев отдыхает ;)
Так что экспериментальные какие-никакие данные, если интересно, имеются.

(Оффтоп)

В Ваши 200 % эти данные, увы, не попадают.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov, а давайте эксперимент проведем. Вы когда-нибудь видели такую нотацию для сопряжения:

$$x^g :=g^{-1}xg$$

$$ {^g}x:= gxg^{-1} $$

Оцените формулы:

$${^g}x = x^{g^{-1}}$$

$$(x^g)^h = x^{gh}$$

$${^g}x^{g} = g$$

$$(xy)^g = x^g y^g$$

$$(x^{-1})^g = (x^g)^{-1}$$

$${^g}x = y \Longleftrightarrow x = y^g$$

Добавим такое определение: $x^{a+b} :=x^ax^b$ и продолжим:

$$x^{m(a+b)} = x^{ma + mb}$$

$$x^{(a+b)m} = x^{am + bm}$$

Красивые формулы? По-моему, очень. Но лично я ни в одном учебнике общей алгебры их не видел. У Винберга, например, ничего такого нету. Зато есть эквивариантные отображения, которые без теории категорий понять, имхо, невозможно. То есть видно, что выбор материала довольно произвольный. Поэтому я как-то совсем не уверен в этом тезисе, мол, "если бы можно было, то это давно бы уже было в учебнике".

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1641555 писал(а):

Вы когда-нибудь видели такую нотацию для сопряжения

Вопрос не ко мне. Я видел слишком мало учебников по теории групп.
Формулы красивые.

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1641555 писал(а):

Красивые формулы? По-моему, очень.

Со сложением формулы странные, потому что $(x y)^{a + b} = (x y)^a (x y)^b$, а с другой стороны хотелось бы $(x y)^{a + b} = x^{a + b} y^{a + b}$. Тут правые части друг другу не равны. А ещё часто удобно сокращать $(x^{-1})^g = (x^g)^{-1}$ до $x^{-g}$, даже если $g$ — это антиавтоморфизм (как транспонирование матриц). Ещё куча красивых формул есть для коммутаторов.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1641563 писал(а):

Со сложением формулы странные, потому что $(x y)^{a + b} = (x y)^a (x y)^b$, а с другой стороны хотелось бы $(x y)^{a + b} = x^{a + b} y^{a + b}$.

А их скорее всего вообще никак не получится подружить. Группы как никак. Мне кажется, что все идет от того, что определение через сопряжение слишком грубое. Тоньше надо. Вообще, это ко всей алгебре относится: очень много операций определяются слишком грубо. Хочется какую-то более расслабленную алгебру, чтобы формулы работали не так точно, а с точностью до каких-нибудь эквивалентностей.

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1641572 писал(а):

А их скорее всего вообще никак не получится подружить. Группы как никак.

Есть ещё такие картинки. Но для вычислений они не сильно полезны.