Чем больше ограничений на изучаемые объекты, тем больше взаимосвязей между ними.
Вот только если ограничений слишком много, теория богаче не становится. Она вырождается в банальщину.
Добавьте к 3-м аксиомам группы такую:
4)порядок группы равняется
, где
простое.
И вся огромная теория групп моментально вырождается в изучение циклических групп (да и то не всех). И операторов в ней, кстати, так и будет меньше, чем в евклидовой геометрии. И содержания тоже меньше станет. Так что тут не все так прямолинейно.
Кстати, а как эффективно формулами записывать всякие отношения порядка в геометрии?
Так вся красота в том и заключается, что помимо формульного языка есть графический. Рисовать чертежи - это тоже форма языка. Близкий пример - теория категорий. Там тоже встречаются вещи, которые гораздо проще нарисовать, чем писать формулой. Но ведь это преимущество, а не недостаток. Я был бы очень рад, если бы в теории групп был бы развитый графический язык (его элементы существуют и сейчас, хотя бы те же диаграммы Дынкина, но это относится не совсем к общей теории групп и этого крайне мало по сравнению с тем, что хотелось бы).