Попытка доказательства Теоремы Ферма 4

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1640839 писал(а):

А ну да, вы же $a$ зафиксировали. Согласен.

-- 31.05.2024, 09:35 --

natalya_1 в сообщении #1640820 писал(а):

$d^3=3(c-a)(c-b)(a+b)$

как вы это получили?

Ой, это в прошлых темах было.
Но то, что $\frac{d^3}{a+b}=\frac{((a+b)-c)^3}{a+b}$ - целое число - понятно.

[Rak so dna]

natalya_1 мы остановились на вот этом:
$(2a-b)(cd-p)+c^2d=((k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d)(cd-p)$ - целое число

Продолжайте доказательство.

[dick]

В Вашем 1.1, $k$ это что?

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1640841 писал(а):

natalya_1 мы остановились на вот этом:
$(2a-b)(cd-p)+c^2d=((k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d)(cd-p)$ - целое число

Продолжайте доказательство.

Я по-другому решила сделать.
1.1. Пусть $x^3+y^3=k^3c^3$, где $c$ - целое положительное число.
$x+y=kc+d$,
$x^2+y^2=k^2c^2+p$, где $p$ и $d$ - целые положительные числа.



1.2. $x+y-kc=d$,
$x^2+y^2-k^2c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $px+py-kpc=x^2d+y^2d-k^2c^2d$, $x(xd-p)+y(yd-p)=kc(kcd-p)

1.3. $x(xd-p)+y(yd-p)=kc(kcd-p)$, $x^3+y^3=k^3c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$k^3c^{3}x(xd-p)+k^3c^{3}y(yd-p)=x^{3}kc(kcd-p)+y^{3}kc(kcd-p)$ , следовательно, $(kcd-p)x^{3}-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=-((kcd-p)y^3-k^2c^{2}dy^2+k^2c^{2}py)$ .

2.1.1 Предположим, что существует решение уравнения Ферма в целых положительных числах,
$x=a$, $y=b$, $a>b$, $k=1$.
функция $y=(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=0$.
$x=0$ или

$(kcd-p)x^2-k^2c^{2}dx+k^2c^{2}p=0$
$D=k^4c^4d^2-4(kcd-p)k^2c^2p=k^2c^2(kcd-2p)^2$,
отсюда
$x=\frac{k^2c^2d\pm\kc(kcd-2p)kc}{2(kcd-p)}$
$x=kc$ или $x=\frac{kcp}{kcd-p}$.
Поскольку $a<kc$, $b>0$, $h=\frac{kcp}{kcd-p}$ -рациональное число.

3.1.1 поскольку
функция $y=(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и kс,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).
Эти числа действительные (поскольку если они они комплексные, это противоречит существованию рационального $h$ между $a$ и $b$.
Найдем все значения $k$ при $x=a$, $y=b$ уравнение
$(kcd-p)(x^3+y^3)-k^2c^{2}d(x^2+y^2)+k^2c^{2}p(x+y)=0$ имеет решение:
$(kcd-p)(a^3+b^3)-k^2c^{2}d(a^2+b^2)+k^2c^{2}p(a+b)=0$
$(kcd-p) +k^2(a^2+b^2)-ck^2(a+b)=0$
$k^2(cd-p)-kcd+p=0$
$D=c^2d^2-4p(cd-p)=(cd-2p)^2$
$k=\frac{cd\pm(cd-2p)}{2(cd-p)}$.
$k=1$ или $k=\frac{p}{cd-p}$.

И вот что с этим делать?
Могу ли я считать, что система имеет решения при
$k=\frac{p}{cd-p}$ при других $x$ и $y$ ( $a_1$,$a_2$,$b_1$,$b_2$)?
Потому что если могу, то это очень хорошо, и все получается ( получается, что мы имеем ещё одну пару рациональных чисел, сумма
кубов которых даёт рациональный куб и дальше приходим к противоречию

-- Пн июн 03, 2024 08:13:59 --

$x+y=kc+d$
$x^2+y^2=k^2c^2+p$
$k^2c^2+2kcd+d^2=k^2c^2+p$
$k=\frac{p-d^2}{2cd}=\frac{p}{cd-p}$
$2cdp=(p-d^2)(cd-p)$
$\frac{2cdp}{cd-p}$- целое число, что невозможно

[natalya_1]

natalya_1 в сообщении #1641187 писал(а):

$x+y=kc+d$
$x^2+y^2=k^2c^2+p$
$k^2c^2+2kcd+d^2=k^2c^2+p$
$k=\frac{p-d^2}{2cd}=\frac{p}{cd-p}$
$2cdp=(p-d^2)(cd-p)$
$\frac{2cdp}{cd-p}$- целое число, что невозможно

Глупейшую ошибку сделала
$x+y=kc+d$
$x^2+y^2=k^2c^2+p$
$k^2c^2+2kcd+d^2-2xy=k^2c^2+p$
Но главное то, что сумма $x$ и $y$ - рациональное число:
$\frac{2c^2d-(a+b)(cd_p)+\sqrt{D_1}\pm\sqrt{D_2}}{2(cd-p)}$ - рациональное число.
И поскольку $\sqrt{D_1}\not=\sqrt{D_2} $, $x$ и $y$ - рациональные числа

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1641187 писал(а):

$k=1$ или $k=\frac{p}{cd-p}$.

И вот что с этим делать?

Ну, из предположения

natalya_1 в сообщении #1641187 писал(а):

2.1.1 Предположим, что существует решение уравнения Ферма в целых положительных числах,
$x=a$, $y=b$, $a>b$, $k=1$.

вы вывели, что всё-таки $k=1$.

natalya_1 в сообщении #1641187 писал(а):

Могу ли я считать, что система имеет решения при
$k=\frac{p}{cd-p}$ при других $x$ и $y$ ( $a_1$,$a_2$,$b_1$,$b_2$)?

Мне вам на следующих двух страницах расписать почему не можете, или взгляните на предыдущие сообщения?

natalya_1 в сообщении #1641187 писал(а):

Потому что если могу, то это очень хорошо, и все получается...

ВТФ — это холодный, суровый и жестокий мир. Всё, что в нём есть, вас ненавидит. Тут нет слов "хорошо" и "получается", здесь нет жизни или хоть какой-нибудь тени надежны. Всё что тут есть — это страдание, боль, ненависть и разочарование. После касания ВТФ вы просто обязаны чувствовать себя униженной, избитой, опустошенной и грязной. Если же вы чувствуете хоть какую-нибудь толику позитива, то будьте уверены — вы где-то ошиблись.

[natalya_1]

Rak so dna
Тем не менее, есть решение системы моих уравнений при $k=\frac{p}{cd-p}$.
Да, это не числа $a_1$, $a_2$,$b_1$, $b_2$ ( потому что сумма кубов - $h^3$).
Сумма и произведение этих чисел - рациональные числа. Буду думать.

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1641243 писал(а):

Тем не менее, есть решение системы моих уравнений при $k=\frac{p}{cd-p}$.

Не поделитесь решением?

[natalya_1]

$(x^3+y^3)(kcd-p)-k^2c^2(x^2+y^2)d+k^2c^2(x+y)p=0$
$k^3c^3(kcd-p)-k^2c^2d(p+k^2c^2)+k^2p^2p(d+kc)=0$
$kc(kcd-p)-dp-k^2c^2d+dp+kcp=0$
$kc(kcd-p)-kc(kcd-p)=0$.
Но при $k=\frac{p}{cd-p}$
возможно решение только при комбинациях чисел
$a$, $a_1$, $a_2$, $b$, $b_1$, $b_2$ , ни одна из комбинаций которых не может давать в виде суммы кубов $h^3$

$\frac{(x^3+y^3)p^2}{cd-p}-\frac{p^2c^2}{(cd-p)^2}((x^2+y^2)d-(x+y)p)=0$

$(x^3+y^3)(cd-p)-c^2d(x^2+y^2)+c^2p(x+y)=0$ .
Почему такое противоречие? Потому что только при целых числах $a$ и $b$ $\frac{p}{cd-p}<1$. Если $\frac{p}{cd-p}>1$, то одна из пар будет вторым решением системы уравнений.
Совсем запуталась. Тогда получается не может существовать точка $h$ между $a$ и $b$?

[natalya_1]

Я же в своём "доказательстве" исходила из того, что между $a$ и $b$ должна существовать $h$.
А если невозможно её существование, то что тогда?
Тогда $a^3(cd-p)-c^2da^2-c^2pa=b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb$, что невозможно при $a$ и $b$ - взаимно простых числах
$(a-b)((a^2+ab+b^2)(cd-p)-c^2(a+b)+c^2p)=0$
$\frac{a^2+ab+b^2}{c^2}=\frac{(a^2-ab+b^2)+2ab}{c^2}$ - должно быть целым числом, $2ab$ должно иметь общий делитель с $a^2+b^2$ и с $c^2$, что невозможно.

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1641263 писал(а):

Я же в своём "доказательстве" исходила из того, что между $a$ и $b$ должна существовать $h$.
А если невозможно её существование, то что тогда?

Ну, поскольку вы получили противоречие, то либо не верно предположение о существовании таких $a$ и $b$, а значит всё успешно доказано, либо (так, в порядке бреда) у вас где-то снова ошибка.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1641265 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1641263 писал(а):

Я же в своём "доказательстве" исходила из того, что между $a$ и $b$ должна существовать $h$.
А если невозможно её существование, то что тогда?

Ну, поскольку вы получили противоречие, то либо не верно предположение о существовании таких $a$ и $b$, а значит всё успешно доказано, либо (так, в порядке бреда) у вас где-то снова ошибка.

Нет, я просто глупейшим образом сразу отмела вариант равенства значений функции при $a$ и $b$. Нет между ними точки $h$
Буду проверять все сначала

[natalya_1]

Rak so dna
вроде бы разобралась.
Все правильно в моем " доказательстве": и точка $h$ существует, и решение системы уравнений при $k=\frac{p}{cd-p}$ тоже.
И противоречий никаких нет.
Будет вот такое решение ( какая из комбинаций чисел, я пока не разбиралась):
$a_1^3+b_1=rh^3$
$a_1^2+b_1^2=r(h^2+p)$
$a_1+b_1=r(h+d)$.
И эта пара чисел так же будет решением уравнения
$(x^3+y^3)(cd-p)-c^2d(x^2+y^2)+c^2p(x+y)=0$.
При этом $\frac{a_1^3+b_1^3}{a_1+b_1}=a_1^2-a_1b_1+b_1^2=\frac{h^3}{h+d}$ - рациональное число.
$a_1=\frac{c^2d-a(cd-p)+\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$ ( или $a_1=\frac{c^2d-a(cd-p)-\sqrt{D_1}}{2(cd-p)}$)
$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)+\sqrt{D_2}}{2(cd-p)}$ ( или $b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)+\sqrt{D_2}}{2(cd-p)}$).
Поскольку $\sqrt{D_1}\not=\sqrt{D_2}$,
$a_1$ и $b_1$ рациональные числа.
Тогда
$(a_1^3+b_1^3)(cd-p)-c^2d(a_1^2+b_1^2)+c^2p(a_1+b_1)=0$ и
$\frac{c^2d(cd-p)}{cp+d(cd-p)}$ - целое число, что невозможно.

[natalya_1]

Rak so dna
вот так может быть?

1.1. Пусть $x^3+y^3=vk^3c^3$, где $c$ - целое положительное число.
$x^2+y^2=v(k^2c^2+p)$,
$x+y=v(kc+d)$ где $p$ и $d$ - целые положительные числа такие, что при существовании решения уравнения Ферма в целых числах $a$ и $b$, система имеет решение

$a^3+b^3=c^3$
$a^2+b^2=c^2+p$
$a+b=c+d$ ($k=1$, $v=1$)


1.2. $x+y-vkc=vd$,
$x^2+y^2-vk^2c^2=vp$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $px+py-vkpc=x^2d+y^2d-vk^2c^2d$, $x(xd-p)+y(yd-p)=vkc(kcd-p)

1.3. $x(xd-p)+y(yd-p)=vkc(kcd-p)$, $x^3+y^3=vk^3c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$k^3c^{3}x(xd-p)+k^3c^{3}y(yd-p)=x^{3}kc(kcd-p)+y^{3}kc(kcd-p)$ , следовательно, $(kcd-p)x^{3}-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=-((kcd-p)y^3-k^2c^{2}dy^2+k^2c^{2}py)$ .
Поскольку система имеет решение при $ a$ и $b$,
$(kcd-p)a^{3}-k^2c^{2}da^2+k^2c^{2}pa=-((kcd-p)b^3-k^2c^{2}db^2+k^2c^{2}pb)$

Найдем все значения $k$ при $x=a$, $y=b$ уравнение
$(kcd-p)(x^3+y^3)-k^2c^{2}d(x^2+y^2)+k^2c^{2}p(x+y)=0$ имеет решение:
$(kcd-p)(a^3+b^3)-k^2c^{2}d(a^2+b^2)+k^2c^{2}p(a+b)=0$
$(kcd-p) +k^2(a^2+b^2)-ck^2(a+b)=0$
$k^2(cd-p)-kcd+p=0$
$D=c^2d^2-4p(cd-p)=(cd-2p)^2$
$k=\frac{cd\pm(cd-2p)}{2(cd-p)}$.
$k=1$ или $k=\frac{p}{cd-p}$.
Тогда $a^3+b^3=vc^3\frac{p^3}{(cd-p)^3}$, следовательно $v=\frac{(cd-p)^3}{p^3}$.
$a+b=\frac{(cd-p)^2}{p^3}(cp+d(cd-p))$
$p^3(a+b)=(cd-p)^2(cp+d(cd-p))$
$\frac{p^3(a+b)}{(cd-p)^2}$ должно быть целым числом, что невозможно.

[natalya_1]

Rak so dna
Ну то есть, мы имеем систему уравнений с двумя неизвестными $k$ и $v$.