Попытка доказательства Теоремы Ферма 4

[natalya_1]

Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

1.1. Пусть $x^3+y^3=kc^3$, где $c$ - целое положительное число.
$x+y=kc+d$,
$x^2+y^2=kc^2+p$, где $p$ и $d$ - целые положительные числа.



1.2. $x+y-kc=d$,
$x^2+y^2-kc^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $px+py-kpc=x^2d+y^2d-kc^2d$, $x(xd-p)+y(yd-p)=kc(cd-p)

1.3. $x(xd-p)+y(yd-p)=kc(cd-p)$, $x^3+y^3=kc^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$kc^{3}x(xd-p)+c^{3}y(yd-p)=x^{3}kc(cd-p)+y^{3}kc(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)x^{3}-c^{2}dx^2+c^{2}px=-((cd-p)y^3-c^{2}dy^2+c^{2}py)$ .

2.1.1 Предположим, что существует решение уравнения Ферма в целых положительных числах,
$x=a$, $y=b$, $a>b$, $k=1$.
функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$.
$x=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$, отсюда
$x=с$ или $x=\frac{cp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{cp}{cd-p}$ -рациональное число.

3.1.1 поскольку
функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).
Эти числа действительные (поскольку если они они комплексные, это противоречит существованию рационального $h$ между $a$ и $b$.
И они образуют пары, являясь решениями системы уравнений, так, что
$a_2^2+b_2^2=k_2c^2+p$
$a_2+b_2=k_2c+d$
$a_2^3+b_2^3=k_2c^3$;
$a_1^2+b_1^2=k_1c^2+p$
$a_1+b_1=k_1c+d$
$a_1^3+b_1^3=k_1c^3$.

Тогда
$c(a_2+a_1)-(a_2^2+a_1^2)+c(b_2+b_1)-(b_2^2+b_1^2)=2(cd-p)$.

4.1 $b+b_1+b_2=\frac{c^2d}{cd-p}$
$bb_1+bb_2+b_1b_2=\frac{c^2p}{cd-p}$
$a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$
$aa_1+aa_2+a_1a_2=\frac{c^2p}{cd-p}$, следовательно

$2\frac{c^3d}{cd-p}-c(a+b)-2\frac{c^4d^2}{(cd-p)^2}+4\frac{c^2p}{cd-p}+ a^2+b^2=2(cd-p)$,
$\frac{(2c^3d+4c^2p)(cd-p)-2c^4d^2}{(cd-p)^2}=3(cd-p)$,
следовательно $\frac{2c^4d^2}{(cd-p)}$- целое число, что невозможно.
Мы пришли к противоречию, значит, наше предположение о существовании целочисленных решений уравнения Ферма было ошибочным.
Уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1640364 писал(а):

И они образуют пары, являясь решениями системы уравнений, так, что

Вот это место мне непонятно

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1640375 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1640364 писал(а):

И они образуют пары, являясь решениями системы уравнений, так, что

Вот это место мне непонятно

У нас есть система уравнений ( три уравнения) с тремя неизвестными $x$, $y$ и$k$:
$x^3+y^3=kc^3$
$x^2+y^2=kc^2+p$
$x+y=kc+d$, при этом $c$,
$p$ и $d$ - известные целые положительные числа, и одним из решением этой системы уравнений является ( по нашему предположению) тройка чисел $x=a$, $y=b$, $k=1$.

С помощью преобразований этих трех уравнений мы получили равенство
$x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px=-(y^3(cd-p)-c^2dy^2+c^2py)$ и обнаружили, что этому равенству соответствуют значения (а значит, являются действительными решениями системы уравнений кроме $a$ и $b$) числа $x=a_1$ и $x=a_2$, $y=b_1$ и $y=b_2$ с какими-то значениями переменной $k$ как тройки решения системы уравнений: $x=a_1$, $y=b_1$, $k=k_1$. Так же
решением системы уравнений будет
$x=a_3$, $y=b_2$, $k=k_2$.
Мы не знаем значения $k_1$ и $k_2$, но это неважно, главное, что они есть и что они - действительные числа

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1640384 писал(а):

С помощью преобразований этих трех уравнений мы получили равенство
$x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px=-(y^3(cd-p)-c^2dy^2+c^2py)$ и обнаружили, что этому равенству соответствуют значения (а значит, являются действительными решениями системы уравнений кроме $a$ и $b$)

Вот, например, система
$ \left\{ {\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=1\end{array} } \right.$
с помощью нехитрых преобразований получаем, что должно выполняться равенство $x^2-y^2=3$, которое имеет кучу разных решений, но решать систему будет лишь одно из них: $(x, y)=(2, 1).$

Поэтому решения вашего равенства, вовсе не обязаны являться решениями вашей системы.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1640418 писал(а):

Поэтому решения вашего равенства, вовсе не обязаны являться решениями вашей системы.

Спасибо!
Конечно, не обязаны.
Но приведённый вами пример, как мне кажется, некорректен, потому что вы преобразовали уравнения первой степени в квадратное. Отсюда и увеличение количества корней уравнения.
А моё преобразование в полином третьей степени.
Я сохранила степень.
Мне давно не дают покоя эти числа $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, потому что они не случайные, они тоже связаны с моей системой уравнений.
Можно по-другому поставить вопрос:
Найдем все тройки решений нашей системы уравнений с тремя неизвестными в действительных числах.

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1640421 писал(а):

Я сохранила степень.

Ну ладно, давайте я тоже сохраню: умножим второе уравнение на $2$ и прибавим к первому. Получим $3x-y=5$, ну и далее по тексту:

Rak so dna в сообщении #1640418 писал(а):

которое имеет кучу разных решений, но решать систему будет лишь одно из них: $(x, y)=(2, 1).$

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1640422 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1640421 писал(а):

Я сохранила степень.

Ну ладно, давайте я тоже сохраню: умножим второе уравнение на $2$ и прибавим к первому. Получим $3x-y=5$, ну и далее по тексту:

Rak so dna в сообщении #1640418 писал(а):

которое имеет кучу разных решений, но решать систему будет лишь одно из них: $(x, y)=(2, 1).$

Да, это речь о необходимых и достаточных условиях.
Из всей кучи разных решений выделяются те, которые соответствуют условию, что эти решения удовлетворяют равенству ( моему полиному) ( необходимое условие), но не достаточное.
Кроме этого эти решения должны удовлетворять системе уравнений.
И мы можем проверить, удовлетворяют ли они этим условиям ( являются ли решением системы уравнений) ?
Одно из решений - это $a^3+b^3=c^3$.

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1640476 писал(а):

Да, это речь о необходимых и достаточных условиях.
Из всей кучи разных решений выделяются те, которые соответствуют условию, что эти решения удовлетворяют равенству ( моему полиному) ( необходимое условие), но не достаточное.
Кроме этого эти решения должны удовлетворять системе уравнений.

Всё верно.

natalya_1 в сообщении #1640476 писал(а):

И мы можем проверить, удовлетворяют ли они этим условиям ( являются ли решением системы уравнений) ?

Я не знаю, поскольку нужно для начала "их" предъявить, ну или что-то про "них" узнать.

natalya_1 в сообщении #1640476 писал(а):

Одно из решений - это $a^3+b^3=c^3$.

Поскольку вы предположили существование этого решения, то да, пока можно так считать.

[natalya_1]

Rak so dna
спасибо.
Могу ли я рассуждать вот так:
Исходя из нашего предположения о существовании решения системы уравнений с тремя неизвестными в целых числах ( из того, что это верно) , мы пришли к тому, что существуют действительные числа $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, которые удовлетворяют равенству ( моему полиному).
Возьмём число $a_1$.
Могу ли я говорить, что есть решение моей системы уравнений в каких-то числах ( не обязательно действительных) при
$x=a_1$?
Потому что если такое решение есть, то мы уже можем решать систему из четырёх уравнений с двумя неизвестными ($y$ и $k$)
$a_1^3+y^3=kc^3$
$a_1^2+y^2=kc^2+p$
$a_1+y=kc+d$
$a_1^3(cd-p)-c^2da_1+c^2p=-(b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb)$.
Тогда
$(kc^3-y^3)(cd-p)-c^2d(kc^2- y +p)+ c^2p(kc+d-y)=-(b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb)$,
$k(c^3(cd-p)-c^2dc^2+c^2pc) -(c^2dp-c^2dp)-(y^3(cd-p)-c^2dy^2+c^2py)=-(b^3(cd-p)-c^2db&3+c^2pb)$.
Отсюда $y^3(cd-p)-c^2dy^2+c^2py=b^3(cd-p)-c^2db^2+c^2pb$.
И решением системы из четырех уравнений в действительных числах будут $y=b$, $y=b_1$ и $y=b_2$

-- Пн май 27, 2024 22:12:56 --

Rak so dna в сообщении #1640418 писал(а):

Вот, например, система
$ \left\{ {\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=1\end{array} } \right.$
с помощью нехитрых преобразований получаем, что должно выполняться равенство $x^2-y^2=3$, которое имеет кучу разных решений,

На вашем примере : решаем систему уже из трех уравнений.
$(y+1)^2-y^2=3$,
$2y+1=3$, $$y=1

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1640484 писал(а):

Могу ли я рассуждать вот так:
Исходя из нашего предположения о существовании решения системы уравнений с тремя неизвестными в целых числах ( из того, что это верно) , мы пришли к тому, что существуют действительные числа $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, которые удовлетворяют равенству ( моему полиному).
Возьмём число $a_1$.
Могу ли я говорить, что есть решение моей системы уравнений в каких-то числах ( не обязательно действительных) при
$x=a_1$?

На моём примере это будет выглядеть так:

Каким-то образом используя решение $(x,y)=(2,1)$, мы пришли к тому, что уравнение $x^2-y^2=3$ имеет ещё решение $(x,y)=\left(3,\sqrt{6}\right)$. Возьмём число $3$. Можно ли говорить, что есть решение моей системы уравнений
$ \left\{ {\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=1\end{array} } \right.$
в каких-то числах ( не обязательно действительных) при $x=3$ ?

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1640491 писал(а):

На моём примере это будет выглядеть так:

Каким-то образом используя решение $(x,y)=(2,1)$, мы пришли к тому, что уравнение $x^2-y^2=3$ имеет ещё решение $(x,y)=\left(3,\sqrt{6}\right)$. Возьмём число $3$. Можно ли говорить, что есть решение моей системы уравнений
$ \left\{ {\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=1\end{array} } \right.$
в каких-то числах ( не обязательно действительных) при $x=3$ ?

Я же не просто от фонаря каким-то образом пришла к этому, а подставляя значения $x$ из системы уравнений.
В вашем примере , если вы будете поступать таким же образом, вы придёте к результату $y=1$:
$x^2-y^2=3$. Подставляем $x=y+1$, получаем $(y+1)^2-y^2=3$, отсюда $2y=2$, $y=1$. Если возьмёте другое уравнение из вашей системы, получите то же самое:
$(3-y)^2-y^2=3$, $9-6y=3$, $y=1$

-- Вт май 28, 2024 01:32:36 --

Я не использовала никаких решений. Я взяла за основу существование действительного числа $a_1$ и нашла решения системы уравнений в действительных числах при $x=a_1$.

-- Вт май 28, 2024 01:43:18 --

Этих решений могло и не быть, оказалось, что они есть.

[natalya_1]

Rak so dna
заранее извиняюсь за мою дремучесть, должно ли быть в принципе хотя бы одно решение в действительных числах моей системы уравнений с тремя неизвестными , если одно из неизвестных- действительное число? Потому что у меня получается, что такое решение возможно только одно ( это я могу доказать).

[Rak so dna]

natalya_1 чтобы переносить какие-то из решений вашего равенства на систему, это равенство должно быть как минимум равносильно системе, а как максимум система должна следовать из равенства. У вас же равенство следует из системы, поэтому, как вы уже сами отмечали, кроме того, что корни системы обязаны быть корнями вашего равенства, ничего большего сказать нельзя. При этом не важно каким именно способом вы будете находить эти самые корни вашего многочлена.

Примеры (все неизвестные считаем действительными):

$ \left\{ {\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=1\end{array} } \right. \Rightarrow x^2-y^2=3$
Уравнение следует из системы. Мы можем утверждать, что любое решение системы будет решением уравнения, однако мы не можем ничего сказать о корнях этого уравнения (кроме того, что если решение системы существует — оно будет среди этих корней).


$ \left\{ {\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=1\end{array} } \right. \Leftrightarrow (x+y-3)^2+(x-y-1)^2=0$
Уравнение равносильно системе. Мы можем утверждать, что любое решение уравнения будет решением системы, а любое решение системы будет решением уравнения.


$ \left\{ {\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x-y-7z=1\end{array} } \right. \Leftarrow (x+y+z-3)^2+(x-y-7z-1)^2+(2x+z^6)^2=0$
Система следует из уравнения. Мы можем утверждать, что любое решение уравнения будет решением системы, однако не все решения системы будут корнями уравнения.

[natalya_1]

Rak so dna
Я никак не могу понять, почему, если существуют действительные числа $a_1$ и $b_2$ ( а они существуют, если существуют рациональные $a$ и $b$ ,не может быть решения в действительных числах системы уравнений с уже одним неизвестным $k$:

$kc=a_1+b_1-d$
$kc^2=a_1^2+b_1^2-p$
$kc^3=a_1^3+b_1^3$???
А то, что такое решение единственное, я могу доказать.

[natalya_1]

Rak so dna
Решая систему с одним неизвестным $k$, приходим к кубическому и квадратным уравнениям, и должен быть один действительный корень.