Ферма утверждал, что уравнение
![$x^3+x'^3=z^3$ $x^3+x'^3=z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/6/ee691c904adfdfcb711e46f9c111249d82.png)
не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.
1.1. Пусть
![$x^3+y^3=kc^3$ $x^3+y^3=kc^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/b/91b692e6958c240bf7954358b3fa7d3b82.png)
, где
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
- целое положительное число.
![$x+y=kc+d$ $x+y=kc+d$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/4/f64df01d08989dd4cb6895be7b2e75ef82.png)
,
![$x^2+y^2=kc^2+p$ $x^2+y^2=kc^2+p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/8/4a8c7306545b0f7166975c171d0e9d9b82.png)
, где
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
и
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
- целые положительные числа.
1.2.
![$x+y-kc=d$ $x+y-kc=d$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/1/14146c0e8598d6b35c8c3be07341b57382.png)
,
![$x^2+y^2-kc^2=p$ $x^2+y^2-kc^2=p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/d/83d59e12d2985e337389fbd4419aa04c82.png)
Перемножаем левые и правые части, получаем:
![$px+py-kpc=x^2d+y^2d-kc^2d$ $px+py-kpc=x^2d+y^2d-kc^2d$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/5/4b54a7dc83d5f6fad923be7e0d304c2c82.png)
,
1.3.
![$x(xd-p)+y(yd-p)=kc(cd-p)$ $x(xd-p)+y(yd-p)=kc(cd-p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/9/32926ed9c0dcdd765c90d599f698b5fc82.png)
,
![$x^3+y^3=kc^3$ $x^3+y^3=kc^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/b/91b692e6958c240bf7954358b3fa7d3b82.png)
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
![$kc^{3}x(xd-p)+c^{3}y(yd-p)=x^{3}kc(cd-p)+y^{3}kc(cd-p)$ $kc^{3}x(xd-p)+c^{3}y(yd-p)=x^{3}kc(cd-p)+y^{3}kc(cd-p)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/f/55f3d6e9c8658d96992d793b10e4632b82.png)
, следовательно,
![$(cd-p)x^{3}-c^{2}dx^2+c^{2}px=-((cd-p)y^3-c^{2}dy^2+c^{2}py)$ $(cd-p)x^{3}-c^{2}dx^2+c^{2}px=-((cd-p)y^3-c^{2}dy^2+c^{2}py)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/f/31f64c18654532ae1e2e8a9acf74499482.png)
.
2.1.1 Предположим, что существует решение уравнения Ферма в целых положительных числах,
![$x=a$ $x=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/7/4d74936f278565f42f4bb42d6534712a82.png)
,
![$y=b$ $y=b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/d/16d3496cee69cc98bc4a406f03a3fc6182.png)
,
![$a>b$ $a>b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/1/dd151dbe5c4ba5e2a467178c71d49e8a82.png)
,
![$k=1$ $k=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/b/7eb22be4bf74527b54b6d6093847814782.png)
.
функция
![$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/d/5bda219e640840beab454ad81354bc1082.png)
в точках
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, следовательно, между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
существует точка ( назовем ее
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
, значение функции в которой равно
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
.
2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.
![$(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$ $(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/c/9ecd627a66e796719993d0fcddac71b582.png)
.
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
или
![$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$ $(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/5/f553c5da4ef20f47b55992975134f6dc82.png)
![$D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$ $D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/7/2f72baa86a383e49f77974c47e56c76682.png)
, отсюда
![$x=с$ $x=с$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/6/d764f24d9d0bca1b3d3df692bb7dd08082.png)
или
![$x=\frac{cp}{cd-p}$ $x=\frac{cp}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/3/a031d4b0afeaeb6835e8114bd105e98b82.png)
.
Поскольку
![$a<c$ $a<c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/f/b2fbbdc42d100675501b7f0e6619ab3c82.png)
,
![$b>0$ $b>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/2/a22dca7a3838034445d5ed9038d9963182.png)
,
![$h=\frac{cp}{cd-p}$ $h=\frac{cp}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/f/25f9ab349a3219332fad3bc510bddf8e82.png)
-рациональное число.
3.1.1 поскольку
функция
![$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/d/5bda219e640840beab454ad81354bc1082.png)
является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения (
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
и
![$a_2$ $a_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/a/2ca230a36892a5d996272ca45a782d1682.png)
) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения (
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
,
![$b_1$ $b_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/d/a7d0e0605a6acafe642d0b54226ac65082.png)
и
![$b_2$ $b_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/8050505667919156622832a0c9b5671c82.png)
).
Эти числа действительные (поскольку если они они комплексные, это противоречит существованию рационального
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
.
И они образуют пары, являясь решениями системы уравнений, так, что
![$a_2^2+b_2^2=k_2c^2+p$ $a_2^2+b_2^2=k_2c^2+p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/b/3db260746f3e632286c944105d2dfb6382.png)
![$a_2+b_2=k_2c+d$ $a_2+b_2=k_2c+d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/d/e2dbc8c332ca0ae935c26a50604cbc4782.png)
![$a_2^3+b_2^3=k_2c^3$ $a_2^3+b_2^3=k_2c^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/f/17f2cc781e5c9099b2fbae98df544fdf82.png)
;
![$a_1^2+b_1^2=k_1c^2+p$ $a_1^2+b_1^2=k_1c^2+p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/e/83e98129604656408d4576430b650f5d82.png)
![$a_1+b_1=k_1c+d$ $a_1+b_1=k_1c+d$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/9/30922c63dd95cece86b98d88fb3c44eb82.png)
![$a_1^3+b_1^3=k_1c^3$ $a_1^3+b_1^3=k_1c^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/2/672b8cfcf6a7146b2c13caf1396fac8f82.png)
.
Тогда
![$c(a_2+a_1)-(a_2^2+a_1^2)+c(b_2+b_1)-(b_2^2+b_1^2)=2(cd-p)$ $c(a_2+a_1)-(a_2^2+a_1^2)+c(b_2+b_1)-(b_2^2+b_1^2)=2(cd-p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/0/a6060946fa3e463b681b1b365604635f82.png)
.
4.1
![$b+b_1+b_2=\frac{c^2d}{cd-p}$ $b+b_1+b_2=\frac{c^2d}{cd-p}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/5/0752ecbc273e97024d5ba1f00a65604e82.png)
![$bb_1+bb_2+b_1b_2=\frac{c^2p}{cd-p}$ $bb_1+bb_2+b_1b_2=\frac{c^2p}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/6/266f2c023ef9e68469395191ecf76e7f82.png)
![$a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$ $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/d/d4d8d2da8a840f240342c463490ec78882.png)
![$aa_1+aa_2+a_1a_2=\frac{c^2p}{cd-p}$ $aa_1+aa_2+a_1a_2=\frac{c^2p}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/e/efef3d03e0435e1185d46c81e44c3c7a82.png)
, следовательно
![$2\frac{c^3d}{cd-p}-c(a+b)-2\frac{c^4d^2}{(cd-p)^2}+4\frac{c^2p}{cd-p}+ a^2+b^2=2(cd-p)$ $2\frac{c^3d}{cd-p}-c(a+b)-2\frac{c^4d^2}{(cd-p)^2}+4\frac{c^2p}{cd-p}+ a^2+b^2=2(cd-p)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/8/988ee6cd1681825beb6bb07f0e85a78282.png)
,
![$\frac{(2c^3d+4c^2p)(cd-p)-2c^4d^2}{(cd-p)^2}=3(cd-p)$ $\frac{(2c^3d+4c^2p)(cd-p)-2c^4d^2}{(cd-p)^2}=3(cd-p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/2/a62dd638f7a6129b357bc8bc842f264c82.png)
,
следовательно
![$\frac{2c^4d^2}{(cd-p)}$ $\frac{2c^4d^2}{(cd-p)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/3/bb3647c2885c17a7c314496f8fd2f5af82.png)
- целое число, что невозможно.
Мы пришли к противоречию, значит, наше предположение о существовании целочисленных решений уравнения Ферма было ошибочным.
Уравнение
![$x^3+y^3=z^3$ $x^3+y^3=z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/8/a7894bcb34304fa5dde145d2a56776db82.png)
не имеет решений в рациональных числах.