natalya_1 мы остановились на вот этом:
![$(2a-b)(cd-p)+c^2d=((k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d)(cd-p)$ $(2a-b)(cd-p)+c^2d=((k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d)(cd-p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/b/b6b1220abf9a64c354324463f7e3c58c82.png)
- целое число
Продолжайте доказательство.
Я по-другому решила сделать.
1.1. Пусть
![$x^3+y^3=k^3c^3$ $x^3+y^3=k^3c^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/6/6864c4f65fde84c835f8d3f7defa35d082.png)
, где
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
- целое положительное число.
![$x+y=kc+d$ $x+y=kc+d$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/4/f64df01d08989dd4cb6895be7b2e75ef82.png)
,
![$x^2+y^2=k^2c^2+p$ $x^2+y^2=k^2c^2+p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/d/c0d4adf68deadb111e6d110192ad9d3582.png)
, где
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
и
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
- целые положительные числа.
1.2.
![$x+y-kc=d$ $x+y-kc=d$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/1/14146c0e8598d6b35c8c3be07341b57382.png)
,
![$x^2+y^2-k^2c^2=p$ $x^2+y^2-k^2c^2=p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/6/a46df3b56af0f10c27cfa8dda817d83d82.png)
Перемножаем левые и правые части, получаем:
![$px+py-kpc=x^2d+y^2d-k^2c^2d$ $px+py-kpc=x^2d+y^2d-k^2c^2d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/d/e5dd7e25ed6a938d7364c90ea55ff4e482.png)
,
1.3.
![$x(xd-p)+y(yd-p)=kc(kcd-p)$ $x(xd-p)+y(yd-p)=kc(kcd-p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/c/bfc35a58368c55bc3405caeac373c6ee82.png)
,
![$x^3+y^3=k^3c^3$ $x^3+y^3=k^3c^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/6/6864c4f65fde84c835f8d3f7defa35d082.png)
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
![$k^3c^{3}x(xd-p)+k^3c^{3}y(yd-p)=x^{3}kc(kcd-p)+y^{3}kc(kcd-p)$ $k^3c^{3}x(xd-p)+k^3c^{3}y(yd-p)=x^{3}kc(kcd-p)+y^{3}kc(kcd-p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/4/3c414e563c5dadf0089f7aef41050bbc82.png)
, следовательно,
![$(kcd-p)x^{3}-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=-((kcd-p)y^3-k^2c^{2}dy^2+k^2c^{2}py)$ $(kcd-p)x^{3}-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=-((kcd-p)y^3-k^2c^{2}dy^2+k^2c^{2}py)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/8/268a8acd2bbfdfc9dee9c8d39e0343ef82.png)
.
2.1.1 Предположим, что существует решение уравнения Ферма в целых положительных числах,
![$x=a$ $x=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/7/4d74936f278565f42f4bb42d6534712a82.png)
,
![$y=b$ $y=b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/d/16d3496cee69cc98bc4a406f03a3fc6182.png)
,
![$a>b$ $a>b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/1/dd151dbe5c4ba5e2a467178c71d49e8a82.png)
,
![$k=1$ $k=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/b/7eb22be4bf74527b54b6d6093847814782.png)
.
функция
![$y=(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px$ $y=(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/38047073648b11a80b5d8bef80ed863982.png)
в точках
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, следовательно, между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
существует точка ( назовем ее
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
, значение функции в которой равно
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
.
2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.
![$(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=0$ $(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/1/ea13327c7155833443e4c89705636ca182.png)
.
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
или
![$(kcd-p)x^2-k^2c^{2}dx+k^2c^{2}p=0$ $(kcd-p)x^2-k^2c^{2}dx+k^2c^{2}p=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/0/a30e155768bf0a9541476572b686a4e982.png)
![$D=k^4c^4d^2-4(kcd-p)k^2c^2p=k^2c^2(kcd-2p)^2$ $D=k^4c^4d^2-4(kcd-p)k^2c^2p=k^2c^2(kcd-2p)^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/c/61ce710fe7a94d5cd55318944d1d75ca82.png)
,
отсюда
![$x=kc$ $x=kc$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/f/75f7d29321be28d2299ad94fa336c1ca82.png)
или
![$x=\frac{kcp}{kcd-p}$ $x=\frac{kcp}{kcd-p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/7/767b14f53e753e23469d1faaa3cb06e682.png)
.
Поскольку
![$a<kc$ $a<kc$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/f/12fbd3b80302cee7ea46cd84ce2694b582.png)
,
![$b>0$ $b>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/2/a22dca7a3838034445d5ed9038d9963182.png)
,
![$h=\frac{kcp}{kcd-p}$ $h=\frac{kcp}{kcd-p}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/7/5d7d5282239a88b926f1abe7c73ae86682.png)
-рациональное число.
3.1.1 поскольку
функция
![$y=(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px$ $y=(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/38047073648b11a80b5d8bef80ed863982.png)
является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и ее значение равно нулю в точках 0, h и kс,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения (
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
и
![$a_2$ $a_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/a/2ca230a36892a5d996272ca45a782d1682.png)
) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения (
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
,
![$b_1$ $b_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/d/a7d0e0605a6acafe642d0b54226ac65082.png)
и
![$b_2$ $b_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/8050505667919156622832a0c9b5671c82.png)
).
Эти числа действительные (поскольку если они они комплексные, это противоречит существованию рационального
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
.
Найдем все значения
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
при
![$x=a$ $x=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/7/4d74936f278565f42f4bb42d6534712a82.png)
,
![$y=b$ $y=b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/d/16d3496cee69cc98bc4a406f03a3fc6182.png)
уравнение
![$(kcd-p)(x^3+y^3)-k^2c^{2}d(x^2+y^2)+k^2c^{2}p(x+y)=0$ $(kcd-p)(x^3+y^3)-k^2c^{2}d(x^2+y^2)+k^2c^{2}p(x+y)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/e/b3ebd9cb8590b756178fbec19f3042ad82.png)
имеет решение:
![$(kcd-p) +k^2(a^2+b^2)-ck^2(a+b)=0$ $(kcd-p) +k^2(a^2+b^2)-ck^2(a+b)=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/e/5ce6568da5ab496dd81c66e56661f6a782.png)
![$k^2(cd-p)-kcd+p=0$ $k^2(cd-p)-kcd+p=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/0/5a0b9a8c568f52d0f0541fc446c98d9082.png)
![$D=c^2d^2-4p(cd-p)=(cd-2p)^2$ $D=c^2d^2-4p(cd-p)=(cd-2p)^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/d/d4d58e138f3f52fa22e2532797a2afc182.png)
![$k=\frac{cd\pm(cd-2p)}{2(cd-p)}$ $k=\frac{cd\pm(cd-2p)}{2(cd-p)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/f/30fc822f24495721b5c35bf64ad752db82.png)
.
![$k=1$ $k=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/b/7eb22be4bf74527b54b6d6093847814782.png)
или
![$k=\frac{p}{cd-p}$ $k=\frac{p}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/0/2802433800070ceb0b21752150bb1a7b82.png)
.
И вот что с этим делать?
Могу ли я считать, что система имеет решения при
![$k=\frac{p}{cd-p}$ $k=\frac{p}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/0/2802433800070ceb0b21752150bb1a7b82.png)
при других
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
(
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
,
![$a_2$ $a_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/a/2ca230a36892a5d996272ca45a782d1682.png)
,
![$b_1$ $b_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/d/a7d0e0605a6acafe642d0b54226ac65082.png)
,
![$b_2$ $b_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/8050505667919156622832a0c9b5671c82.png)
)?
Потому что если могу, то это очень хорошо, и все получается ( получается, что мы имеем ещё одну пару рациональных чисел, сумма
кубов которых даёт рациональный куб и дальше приходим к противоречию
-- Пн июн 03, 2024 08:13:59 --![$x+y=kc+d$ $x+y=kc+d$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/4/f64df01d08989dd4cb6895be7b2e75ef82.png)
![$x^2+y^2=k^2c^2+p$ $x^2+y^2=k^2c^2+p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/d/c0d4adf68deadb111e6d110192ad9d3582.png)
![$k^2c^2+2kcd+d^2=k^2c^2+p$ $k^2c^2+2kcd+d^2=k^2c^2+p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/7/d07eeb54fbd6e4afb96f00fc8d4741d182.png)
![$k=\frac{p-d^2}{2cd}=\frac{p}{cd-p}$ $k=\frac{p-d^2}{2cd}=\frac{p}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/e/2ae2a9327ae1bbf69ed15a1b7929c73882.png)
![$2cdp=(p-d^2)(cd-p)$ $2cdp=(p-d^2)(cd-p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/1/2a18cb378624fbce006ada66a94efbff82.png)
![$\frac{2cdp}{cd-p}$ $\frac{2cdp}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/8/698b0144b12f456a847d25c569a4e9df82.png)
- целое число, что невозможно