Первые инетгралы

[lel0lel]

Вроде бы выше было что-то подобное

reterty в сообщении #1640644 писал(а):

Тогда $f_3=v_x+\dfrac{g}{v_y}y$

Но чтобы деления на ноль не возникло, запишем так:
$f_3(x,y,v_x,v_y)=g y+v_x v_y$

[svv]

reterty
lel0lel


reterty, приношу извинения, не заметил.

(Проверки)

Проверяем функциональную независимость.
$df_3=0\,dx+g\,dy+v_y\,dv_x+v_x\,dv_y$
$\operatorname{rank}\begin{bmatrix}g&0&v_x&v_y\\[1ex]0&0&0&1\\[1ex]0&g&v_y&v_x\end{bmatrix}=3$

Проверяем, что это первый интеграл
$f_3=gy+v_xv_y$
$\frac{df_3}{dt}=g\dot y+\dot v_x v_y+v_x \dot v_y=gv_y-gv_y=0$
либо
$df_3(a)=\begin{bmatrix}0&g&v_y&v_x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_x\\v_y\\-g\\0\end{bmatrix}=0$

[Cos(x-pi/2)]

svv, спасибо Вам большое. Вы, как всегда, очень хорошо всё объяснили!

Мои познания, увы, невелики, но рискну предложить для ТС Norma ещё одну задачу, аналогичную, поскольку ответ к предыдущей задаче уже раскрыт. Может быть, и эта задача будет полезной (а если к моему несовершенному изложению последуют исправления, то это тоже может быть поучительным). Пусть, как и в первоначальной задаче, материальная точка единичной массы совершает плоское движение; ее кинетическая энергия: $T=\frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2).$ Потенциал теперь пусть имеет вид $V=\frac{k}{2}(x^2+y^2),$ где $k$ - положительная константа (она введена для «физичности»; по ходу дела можно будет убедиться, что ею определяется частота колебаний).

Система уравнений движения:

$\dot x=v_x$
$\dot y=v_y$
$\dot v_x=-kx$
$\dot v_y=-ky$

Уважаемый amon подчёркивал, что можно пытаться найти первый интеграл, исходя из наличия непрерывного преобразования симметрии. Замечаем, что в данном примере $T$ и $V$ инвариантны к поворотам в плоскости $(x,y)$ на любой угол - инвариантны к непрерывным ортогональным преобразованиям координат $x,y.$ Исходя из этого можно догадаться, что наряду с интегралом энергии $f_1$ сохраняющейся величиной будет момент импульса; обозначим его как $f_2.$

Задача: написать явные выражения для $f_1,\,f_2$ и найти третий первый интеграл $f_3(x,y,v_x,v_y).$ (Как и в предыдущей задаче, здесь ответ для $f_3$ оказывается довольно простым.)

[svv]

Cos(x-pi/2), спасибо за интересную задачу!
Просьба к уважаемым участникам. Хотелось бы, чтобы задачу решил автор темы. Давайте его подождём хотя бы несколько дней.

[Theoristos]

lel0lel в сообщении #1640669 писал(а):

$f_3(x,y,v_x,v_y)=g y+v_x v_y$

Не такой уж и бесполезный. Можно сразу написать "дальность выстрела из пушки", $y=2v_{x0} v_{y0}/g$.

А вычитая из первого можно получить довольно симметричную форму $I=\frac{(v_x - v_y)^2}{2}+g (x-y)$

[reterty]

Поскольку всякий первый интеграл движения связан с определенной симметрией динамической системы, у меня возник резонный вопрос к уважаемым svv и Cos(x-pi/2): какая симметрия отвечает за существование интеграла $f_3$ (так и хочется назвать его кинематическим)?

[Cos(x-pi/2)]

reterty в сообщении #1641200 писал(а):

Поскольку всякий первый интеграл движения связан с определенной симметрией динамической системы

Наличие первых интегралов связано с присутствием постоянных интегрирования в общем решении уравнений движения. Симметрии, если они есть, позволяют выделить из всех первых интегралов те, которые в задачах механики "игают наиболее важную роль" (см. в ЛЛ-1 начало § 6).

[reterty]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1641223 писал(а):

reterty в сообщении #1641200 писал(а):

Поскольку всякий первый интеграл движения связан с определенной симметрией динамической системы

Наличие первых интегралов связано с присутствием постоянных интегрирования в общем решении уравнений движения. Симметрии, если они есть, позволяют выделить из всех первых интегралов те, которые в задачах механики "игают наиболее важную роль" (см. в ЛЛ-1 начало § 6).

Другими словами, существование сохраняющегося вектора Лапласа — Рунге — Ленца в кеплеровой задаче также не связано с какой бы то ни было симметрией системы двух тел?

[reterty]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1641223 писал(а):

reterty в сообщении #1641200 писал(а):

Поскольку всякий первый интеграл движения связан с определенной симметрией динамической системы

Наличие первых интегралов связано с присутствием постоянных интегрирования в общем решении уравнений движения. Симметрии, если они есть, позволяют выделить из всех первых интегралов те, которые в задачах механики "игают наиболее важную роль" (см. в ЛЛ-1 начало § 6).

Другими словами, существование сохраняющегося вектора Лапласа — Рунге — Ленца в кеплеровой задаче также не связано с какой бы то ни было симметрией системы двух тел?

[Cos(x-pi/2)]

reterty в сообщении #1641236 писал(а):

существование сохраняющегося вектора Лапласа — Рунге — Ленца в кеплеровой задаче

связано с некоторой (неочевидной, математической) симметрией в этой задаче.

[reterty]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1641240 писал(а):

связано с некоторой (неочевидной, математической) симметрией в этой задаче.

то есть, все же можно пытаться искать некоторые скрытые симметрии для произвольного интеграла движения?

[Cos(x-pi/2)]

Пытаться можно, полиция не арестует. Но результат зависит от конкретных деталей конкретной задачи. В задаче может вообще не быть никаких симметрий, а интегралы движения всегда есть - это по сути дела постоянные интегрирования, неизбежно возникающие при решении дифференциальных уравнений движения.

-- 03.06.2024, 20:36 --

О понятии "первый интеграл" см. ещё например "Курс высшей математики" В.И. Смирнов, том 2 раздел 19 "Системы обыкновенных дифференциальных уравнений" (стр. 56 и далее в издании 1974 г.; djvu-скан этой книги есть здесь в библиотеке eqworld.)

[Theoristos]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1641254 писал(а):

это по сути дела постоянные интегрирования

Да, но постоянных интегрирования чуток побольше

[drzewo]

svv в сообщении #1640595 писал(а):

Задача. Найти третий первый интеграл

может стоит скобку Пуассона известных двух посчитать?

[reterty]

Уважаемые Cos(x-pi/2) и svv, я думаю пришло время "открыть тайну золотого ключика" в задаче о нахождении третьего первого интеграла для случая двумерного изотропного гармонического осциллятора. Кроме того, будет также полезным разобраться в том, почему сия сохраняющаяся величина имеет устоявшийся термин - корреляция.