Попытка доказательства Теоремы Ферма 4

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1640581 писал(а):

А то, что такое решение единственное, я могу доказать.

Не стесняйтесь, покажите всё что у вас есть.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1640601 писал(а):

Не стесняйтесь, покажите всё что у вас есть.

Наша система уравнений:
$a_1+b_1=kc+d$
$a_1^2+b_1^2=kc^2+p$
$a_1^3+b_1^3=kc^3$
$a_1^2+b_1^2=(a_1+b_1)^2-2a_1b_1=(kc+d)^2-2a_1b_1$
$a_1^3+b_1^3=(a_1+b_1)(a_1^2+b_1^2-a_1b_1)=(kc+d)((kc+d)^2-3a_1b_1)=kc^3$.
Получаем кубическое уравнение с неизвестным $k$:
$k^3c^3+2k^2c^2d+kcd^2-3a_1b_1kc+k^2c^2d+2kcd^2+d^3-3a_1b_1d-kc^3=0$.
$k^3c^3+3k^2c^2d -k(c^3+3a_1b_1c-3cd^2)-(3a_1b_1d-d^3)=0$.
У этого кубического уравнения должен быть хотя бы один действительный корень?

-- Ср май 29, 2024 09:55:33 --

Ещё вот так:
Наша система уравнений:
$a_1+b_1=kc+d$
$a_1^2+b_1^2=kc^2+p$
$a_1^3+b_1^3=kc^3$

$a_1^3+b_1^3=(a_1+b_1)(a_1^2+b_1^2-a_1b_1)=(kc+d)(kc^2+p-a_1b_1)=kc^3$.
Получаем квадратное уравнение с неизвестным $k$:
$k^2c^3+kcp-kca_1b_1+kc^2d+d(p-a_1b_1)-kc^3=0$.
$k^2c^3-k(c^3-cp+ca_1b_1-c^2d)+d(p-a_1b_1)=0$
$D=c^2(c^2-p+a_1b_1-cd)^2-4c^3d(p-a_1b_1)$
$D>0$, следовательно, у уравнения есть действительные корни

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1640606 писал(а):

У этого кубического уравнения должен быть хотя бы один действительный корень?

У кубического уравнения старшая степень равна трём, то есть нечетная, значит хотя бы один действительный корень у него есть

[natalya_1]

Можем ещё как систему двух полученных уравнений решить:

$k^3c^3+3k^2c^2d -k(c^3+3a_1b_1c-3cd^2)-(3a_1b_1d-d^3)=0$.
$k^2c^3-k(c^3-cp+ca_1b_1-c^2d)+d(p-a_1b_1)=0$
$k^3c^3+k^2c^2(3d-c)-k(2c^3+2a_1b_1c-3cd^2+cp+c^2d)-(2a_1b_1d-d^3+dp)=0$.

-- Ср май 29, 2024 10:24:59 --

А почему только одна пара возможна:
Если
$a_1+b_2=k_1c+d$
$a_1^2+b_2^2=_1c^2+p$
$ca_1-a_1^2+cb_2-b_2^2=cd-p$

$a_1+b_1=k_2c+d$
$a_1^2+b_2^2=kc^2+p$
$ca_1-a_1^2+cb_1-cb_1^2=cd-p$
$(b_1-b_2)(c-(b_1+b_2))=0$
$b_1+b_2=c$ - неверно, т.к $b_2>c$, $b_1>0$.

[Rak so dna]

natalya_1 вот что вы делаете:

Наша система уравнений:
$ \left\{ {\begin{array}{l}x=1\\ x=2\\ x=3\end{array} } \right.$

Перемножаем три уравнения системы, и получаем уравнение $3$-й степени: $x^3=6,$ которое имеет хотя бы один вещественный корень.

Или ещё:
перемножаем первое уравнение со вторым, прибавляем третье и получаем квадратное уравнение

$x^2+x=5$

$D>0$, следовательно, у уравнения есть действительные корни.

Ошибка та же, про которую я вам пишу уже вторую страницу:
нельзя по корням следствия системы, делать вывод о корнях самой системы.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1640612 писал(а):

Ошибка та же, про которую я вам пишу уже вторую страницу:
нельзя по корням следствия системы, делать вывод о корнях самой системы.

У вас ангельское терпение. Спасибо большое.
А если вот так:

$(a_1+b_1^3)(cd-p)-c^2d(a_1^2+b_1^2)+c^2p(a_1+b_1)=0$
Пусть
$a_1^3+b_1^3=k_1c^3$ , тогда
$k_1c(cd-p)-d(a_1^2+b_1^2)+p(a_1+b_1)$,
$p(a_1+b_1-k_1c)=d(a_1^2+b_1^2-k_1c^2)$
$\frac{p}{d}=\frac{a_1^2+b_1^2-k_1c^2}{a_1+b_1-k_1c}$ $a_1^2+b_1^2=k_1c^2+p$,
$a_1+b_1=k_1c+d$
?

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1640687 писал(а):

$(a_1+b_1^3)(cd-p)-c^2d(a_1^2+b_1^2)+c^2p(a_1+b_1)=0$
Пусть
$a_1^3+b_1^3=k_1c^3$ , тогда
$k_1c(cd-p)-d(a_1^2+b_1^2)+p(a_1+b_1)$,
$p(a_1+b_1-k_1c)=d(a_1^2+b_1^2-k_1c^2)$
$\frac{p}{d}=\frac{a_1^2+b_1^2-k_1c^2}{a_1+b_1-k_1c}$

тут всё верно.

natalya_1 в сообщении #1640687 писал(а):

$a_1^2+b_1^2=k_1c^2+p$,
$a_1+b_1=k_1c+d$
?

тут должно быть
$a_1^2+b_1^2=k_1c^2+p\cdot r$,
$a_1+b_1=k_1c+d\cdot r$, где $r \ne 0$

[natalya_1]

Rak so dna
Тогда вот так:
$(cd-p)(a^3+b_1^3)-c^2d(a^2+b_1^2)++c^2p(a+b_1)=0$
$(cd-p)(a^3+b_2^3)-c^2d(a^2+b_2^2)++c^2p(a+b_2)=0$

Пусть $a^3+b_1^3=k_1c^3$,
$a^3+b_2^3=k_2c^3$.
Тогда $k_1c(cd-p)-d(a^2+b_1^2)+p(a+b_1)=0$

$k_2c(cd-p)-d(a^2+b_2^2)+p(a+b_2)=0$
$d(a^2+b_1^2-k_1c^2)=p(a+b_1-k_1c)$,

$d(a^2+b_2^2-k_1c^2)=p(a+b_2-k_2c)$
$\frac{p}{d}=\frac{a^2+b_1^2-k_1c^2}{a+b_1-k_1c}=\frac{a^2+b_2^2-k_2c^2}{a+b_2-k_2c}$, следовательно
$a+b_1=k_1c+r_1d$,
$a+b_2=k_2c+r_2d$,
$a^2+b_1^2=k_1c^2+r_1p$,
$a^2+b_2^2=k_2c^2+r_2p$,

$2a+(b_1+b_2)=(k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d$
$2a+\frac{c^2d}{cd-p}-b=(k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d$
$(2a-b)(cd-p)+c^2d=((k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d)(cd-p)$ - целое число
Поскольку
$d^3=3(c-a)(c-b)(a+b)$ и $p$ не имеет общих множителей с $a+b$ ( кроме возможного $2$)

$\frac{(2a-b)^3}{a+b}$ должно быть целым числом,
$\frac{(2(a+b)-3b)^3}{a+b}$ должно быть целым числом,
$\frac{27}{a+b}$ должно быть целым числом, что возможно только при
$a+b=9, $c<9$ и $\frac{c}{3}$ - целое число, но таких решений уравнения Ферма нет.

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1640820 писал(а):

$2a+(b_1+b_2)=(k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d$
$2a+\frac{c^2d}{cd-p}-b=(k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d$

Это было бы верно, будь
$b^3\cdot (cd-p)-b^2\cdot c^2d+b\cdot c^2p=0$
у вас же
$(a^3+b^3)\cdot (cd-p)-(a^2+b^2)\cdot c^2d+(a+b)\cdot c^2p=0$

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1640829 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1640820 писал(а):

$2a+(b_1+b_2)=(k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d$
$2a+\frac{c^2d}{cd-p}-b=(k_1+k_2)c+(r_1+r_2)d$

Это было бы верно, будь
$b^3\cdot (cd-p)-b^2\cdot c^2d+b\cdot c^2p=0$
у вас же
$(a^3+b^3)\cdot (cd-p)-(a^2+b^2)\cdot c^2d+(a+b)\cdot c^2p=0$

Я не поняла, что вы имеете в виду?

$a+b_1=k_1c+r_1d$,
$a+b_2=k_2c+r_2d$, сложила левые и правые части, а потом
исходила из того, что
$b+b_1+b_2= \frac{c^2d}{cd-p}$

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1640833 писал(а):

исходила из того, что
$b+b_1+b_2= \frac{c^2d}{cd-p}$

Rak so dna в сообщении #1640829 писал(а):

Это было бы верно, будь
$b^3\cdot (cd-p)-b^2\cdot c^2d+b\cdot c^2p=0$
у вас же
$(a^3+b^3)\cdot (cd-p)-(a^2+b^2)\cdot c^2d+(a+b)\cdot c^2p=0$

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1640834 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1640833 писал(а):

исходила из того, что
$b+b_1+b_2= \frac{c^2d}{cd-p}$

Rak so dna в сообщении #1640829 писал(а):

Это было бы верно, будь
$b^3\cdot (cd-p)-b^2\cdot c^2d+b\cdot c^2p=0$
у вас же
$(a^3+b^3)\cdot (cd-p)-(a^2+b^2)\cdot c^2d+(a+b)\cdot c^2p=0$

Но у меня и
$(a^3+b_1^3) (cd-p)-(a^2+b_1^2)c^2d+(a+b_1)c^2p=0$
$(a^3+b_2^3) (cd-p)-(a^2+b_2^2)c^2d+(a+b_2)c^2p=0$

[Rak so dna]

И как отсюда следует $b+b_1+b_2= \frac{c^2d}{cd-p}$ ?

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1640836 писал(а):

И как отсюда следует $b+b_1+b_2= \frac{c^2d}{cd-p}$ ?

$b_1=\frac{c^2d-b(cd-p)-\sqrt{D}}{2(cd-p)}$
$b_2=\frac{c^2d-b(cd-p)+\sqrt{D}}{2(cd-p)}$
$b_1+b_2=\frac{c^2d}{cd-p}-b$
А вообще сумма корней полинома равна коэффициенту второго члена
$y=x^3(cd-p)-c^2dx^2+c^2px$

[Rak so dna]

А ну да, вы же $a$ зафиксировали. Согласен.

-- 31.05.2024, 09:35 --

natalya_1 в сообщении #1640820 писал(а):

$d^3=3(c-a)(c-b)(a+b)$

как вы это получили?