Метод координат

[LILILILILI]

Здравствуйте!

Возможно ли решить стереометрические задачи на сферу, конус и другие тела вращения с мопощью метода координат? Если да, то нужно ли вводить специфичные системы координат? Например сферическую для сферы и какую-нибудь полярную систему координат с перпендикулярной к ней осью для цилиндра? В случае таких систем, как преобразуются формулы нахождения площадей и объемов, растояний, прямых (включая условия пересечения, перпендекулярности и др.) и плоскостей?

Возможно ли ввести такое на школьном уровне математики с небольшим углублением в аналитическую геометрию и лишь со знанием о самых-самых базовых вычислениях с матрицами (векторное произведение, площадь треугольника, определитель 2 и 3 порядка), чтобы не было сложных матриц, тензоров и т.д.?

[dgwuqtj]

А можно пример такой задачи? Для потребностей школьной геометрии из того, что в школьную программу не входит, вроде достаточно векторного и смешанного произведений, ну и всяких формул из аналитической геометрии для расстояний от точек до плоскостей. С этим всем работают в декартовых координатах. Если же надо, скажем, искать площади кусков сферы (отличных от сферических сегментов), то там считают двойные интегралы или, в простых случаях, используют формулы из сферической геометрии.

[LILILILILI]

dgwuqtj в сообщении #1640137 писал(а):

А можно пример такой задачи? Для потребностей школьной геометрии из того, что в школьную программу не входит, вроде достаточно векторного и смешанного произведений, ну и всяких формул из аналитической геометрии для расстояний от точек до плоскостей. С этим всем работают в декартовых координатах. Если же надо, скажем, искать площади кусков сферы (отличных от сферических сегментов), то там считают двойные интегралы или, в простых случаях, используют формулы из сферической геометрии.

Я плох в обычной стереометрии, поэтому буду цепляться за метод координат. Как вводить координаты для тел вращения - не представляю, если не считать мое предположение о сферических/полярных координатах.

Вот, например, задача, к которой я бы даже не приступил, так как не представляю как изображать это все в декартовых координатах, а классическими методами - не смогу.

Задание из сборника И. В. Ященко - ЕГЭ 2024, 36 вариантов. Вариант 20, задание 14
Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью A1B1C1 является круг, вписанный в четырехугольник A1B1C1D1; AB = a, AA1 = $\sqrt {2} \cdot a$
а) Высота конуса равна h. Докажите, что 4,5a<h<5a
б) Найдите угол между плоскостями ABC и SD1C, где S - вершина конуса

Объясните, пожалуйста, как вводить декартовы координаты для тел вращения, если это возможно.

[dgwuqtj]

Идея такая. Вводим декартову систему координат так, чтобы $A = (-a / 2, -b / 2, 0)$, $B = (a / 2, -b / 2, 0)$, $C = (a / 2, b / 2, 0)$, $D = (a / 2, -b / 2, 0)$, $A_1 = (-a / 2, -b / 2, a \sqrt 2)$, $S = (0, 0, h)$. Это я считаю, что конус прямой и круговой, просто уже не помню, что называют конусами в ЕГЭ (в принципе, это можно и доказать). Так как в $A_1 B_1 C_1 D_1$ вписан круг, то $a = b$ и известны точки касания этого круга сторон квадрата. То есть у конуса известен радиус основания ($a \sqrt 2$), радиус какого-то горизонтального сечения, высота и расстояние от вершины до горизонтального сечения. Получается $\frac{a \sqrt 2}h = \frac a{h - a \sqrt 2}$, отсюда неравенства на $h$. Что касается угла, то координаты точек на плоскостях известны, просто считаем нормали векторными произведениями и угол между нормалями скалярным произведением. Даже уравнение конуса не нужно.

[LILILILILI]

dgwuqtj в сообщении #1640166 писал(а):

Идея такая. Вводим декартову систему координат так, чтобы $A = (-a / 2, -b / 2, 0)$, $B = (a / 2, -b / 2, 0)$, $C = (a / 2, b / 2, 0)$, $D = (a / 2, -b / 2, 0)$, $A_1 = (-a / 2, -b / 2, a \sqrt 2)$, $S = (0, 0, h)$. Это я считаю, что конус прямой и круговой, просто уже не помню, что называют конусами в ЕГЭ (в принципе, это можно и доказать). Так как в $A_1 B_1 C_1 D_1$ вписан круг, то $a = b$ и известны точки касания этого круга сторон квадрата. То есть у конуса известен радиус основания ($a \sqrt 2$), радиус какого-то горизонтального сечения, высота и расстояние от вершины до горизонтального сечения. Получается $\frac{a \sqrt 2}h = \frac a{h - a \sqrt 2}$, отсюда неравенства на $h$. Что касается угла, то координаты точек на плоскостях известны, просто считаем нормали векторными произведениями и угол между нормалями скалярным произведением. Даже уравнение конуса не нужно.

Спасибо за объяснение того, как МК можно применять для таких задач! То есть для задач уровня ЕГЭ хватает декартовых координат и вводить полярные или сферические - нет смысла?

Из того, что говорили некоторые учителя школ по подготовке к экзамену, МК не универсален и какие-то задачи с его помощью не решаются. Я думал речь о телах вращения, но так как конус (из того, что я понял) неплохо вписался в данный метод, возникает вопрос: какие задачи не решаются данным методом? Или все же любая задача будет подходить под метод?

Кроме этого, подскажите, пожалуйста, для конуса и цилинда лучше вводить систему координат так, чтобы центр окружности лежал в начале координат, а для сферы - центр сферы в начале координат?

[mihaild]

Любая геометрическая задача решается методом координат. Но считать может быть сложно. И вполне могут специально подобрать такие задачи, чтобы действительно было.
Я бы кстати сказал, что рассуждения dgwuqtj - это не в чистом виде метод координат, мы используем, например, "геометрическое" соображение, что прямоугольник, в который вписан круг - это квадрат.

LILILILILI в сообщении #1640167 писал(а):

Кроме этого, подскажите, пожалуйста, для конуса и цилинда лучше вводить систему координат так, чтобы центр окружности лежал в начале координат, а для сферы - центр сферы в начале координат?

Сильно зависит от задачи. Как правило в задаче несколько объектов, и хочется, чтобы у них всех были простые уравнения. Но так не получится, придется чем-то жертвовать, чем - вопрос творческий.
Для конуса еще может быть удобно вводить систему координат с центром в вершине, там уравнение боковой поверхности будет $x^2 + y^2 = z$ (вместо $x^2 + y^2 = z - a$).

[LILILILILI]

mihaild в сообщении #1640169 писал(а):

Любая геометрическая задача решается методом координат. Но считать может быть сложно. И вполне могут специально подобрать такие задачи, чтобы действительно было.
Я бы кстати сказал, что рассуждения dgwuqtj - это не в чистом виде метод координат, мы используем, например, "геометрическое" соображение, что прямоугольник, в который вписан круг - это квадрат.

LILILILILI в сообщении #1640167 писал(а):

Кроме этого, подскажите, пожалуйста, для конуса и цилинда лучше вводить систему координат так, чтобы центр окружности лежал в начале координат, а для сферы - центр сферы в начале координат?

Сильно зависит от задачи. Как правило в задаче несколько объектов, и хочется, чтобы у них всех были простые уравнения. Но так не получится, придется чем-то жертвовать, чем - вопрос творческий.
Для конуса еще может быть удобно вводить систему координат с центром в вершине, там уравнение боковой поверхности будет $x^2 + y^2 = z$ (вместо $x^2 + y^2 = z - a$).

Да, я слышал, что Ященко говорил о том, что задачи под МК не создаются, поэтому могут быть страшные вычисления. Главное, что у меня будет шанс с минимальным пониманием стереометрии. К сожалению, геометрия туго дается, особенно пространственная)
Подскажите, пожалуйста, в каких местах достаточно подробно изложен МК и некоторые преобразования, которые облегчают жизнь (например как Ваш совет о том, что можно центр в вершине и получать более красивое уравнение)

[svv]

mihaild в сообщении #1640169 писал(а):

уравнение боковой поверхности будет $x^2 + y^2 = z$

$\sqrt{x^2+y^2}=z$, либо (если конус двойной) $x^2 + y^2 = z^2$. Это уравнение конуса с углом раствора $90°$, более общий случай здесь.

[ozheredov]

mihaild в сообщении #1640169 писал(а):

$x^2 + y^2 = z$

Это красивый обтекаемый конус.

svv в сообщении #1640172 писал(а):

$\sqrt{x^2+y^2}=z$

Это некрасивый конус.

[mihaild]

svv в сообщении #1640172 писал(а):

$\sqrt{x^2+y^2}=z$, либо (если конус двойной) $x^2 + y^2 = z^2$.

Да, конечно, я квадрат потерял.

[svv]

(ozheredov)

Конусы с самым гармоничным углом раствора можно было увидеть в советских магазинах «Соки-воды». Они прекрасны.

[мат-ламер]

LILILILILI . Разрешите высказать высказать свою точку зрения на предмет. Возможно эта точка нестандартная и вы не обязаны с ней соглашаться. Вот вы пишете:

LILILILILI в сообщении #1640155 писал(а):

Я плох в обычной стереометрии, поэтому буду цепляться за метод координат.

LILILILILI в сообщении #1640170 писал(а):

К сожалению, геометрия туго дается, особенно пространственная)

Очень часто трудности при изучении некоего предмета чисто психологические и вызваны страхом перед ним. На самом деле факты и теоремы, которыми оперирует школьная геометрия, по своей сути довольны просты и наглядны (хотя, возможно, для кого как). Основные сложности возникают при обосновании этих фактов и теорем. Возможно неприятие геометрии у вас возникло именно на этом этапе и вызвало стойкий негативный рефлекс (отвращение). Попробуйте внушить себе, что ничего страшного в этой геометрии нет. Попробуйте для начала поиметь общее представление о происходящем, особо не вникая в детали доказательств. Вот вы пишете:

LILILILILI в сообщении #1640155 писал(а):

так как не представляю как изображать это все в декартовых координатах, а классическими методами - не смогу.

На мой взгляд, если есть задача, то надо уметь представлять себе, а что тут вообще происходит и как это вообще выглядит. Надо уметь нарисовать рисунок. Часто это уже подсказывает, что и как надо считать и как вводить координаты (если вообще надо).

[LILILILILI]

мат-ламер в сообщении #1640193 писал(а):

LILILILILI . Разрешите высказать высказать свою точку зрения на предмет. Возможно эта точка нестандартная и вы не обязаны с ней соглашаться. Вот вы пишете:

LILILILILI в сообщении #1640155 писал(а):

Я плох в обычной стереометрии, поэтому буду цепляться за метод координат.

LILILILILI в сообщении #1640170 писал(а):

К сожалению, геометрия туго дается, особенно пространственная)

Очень часто трудности при изучении некоего предмета чисто психологические и вызваны страхом перед ним. На самом деле факты и теоремы, которыми оперирует школьная геометрия, по своей сути довольны просты и наглядны (хотя, возможно, для кого как). Основные сложности возникают при обосновании этих фактов и теорем. Возможно неприятие геометрии у вас возникло именно на этом этапе и вызвало стойкий негативный рефлекс (отвращение). Попробуйте внушить себе, что ничего страшного в этой геометрии нет. Попробуйте для начала поиметь общее представление о происходящем, особо не вникая в детали доказательств. Вот вы пишете:

LILILILILI в сообщении #1640155 писал(а):

так как не представляю как изображать это все в декартовых координатах, а классическими методами - не смогу.

На мой взгляд, если есть задача, то надо уметь представлять себе, а что тут вообще происходит и как это вообще выглядит. Надо уметь нарисовать рисунок. Часто это уже подсказывает, что и как надо считать и как вводить координаты (если вообще надо).

Да, Вы правы. К сожалению, в школе геометрия была на очень плохом уровне, да и я думал: «ну не дают - значит не надо, меньше голову морочить». В итоге сформировалось недопонимание геометрии и неумение работать с конструкциями. А когда я решил готовиться к геометрии - столкнулся с этими проблемами. Я планирую заниматься летом геометрией, чтобы понимать предмет, но, к сожалению, сейчас приходится очень быстро учить метод координат, чтобы был хоть какой-нибудь шанс решить задание из стереометрии на ЕГЭ, опять же из-за своей глупости, так как я думал, что в школе нас подготовят, но ошибся и понял ошибку слишком поздно.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1640193 писал(а):

На мой взгляд, если есть задача, то надо уметь представлять себе, а что тут вообще происходит и как это вообще выглядит. Надо уметь нарисовать рисунок.

На счёт предложенной задачи. После анализа "а что тут вообще происходит" понятно, что в основании параллелепипеда лежит квадрат. После чего надо выделить в задаче простейшие составляющие.

Первый вопрос по сути своей вообще к стереометрии не относится. Достаточно рассмотреть сечение наших фигур вертикальной плоскостью, которая проходит через ось конуса и которая параллельна неким двум граням параллелепипеда. Получаем элементарную задачу из планиметрии, в которой на основании равнобедренного треугольника лежит симметрично прямоугольник. Вводить или не вводить тут координаты - дело вкуса. Выполнять трёхмерный рисунок тут необязательно. Достаточно двухмерного.

Второй вопрос касается угла между плоскостями, каждая из которых задана тремя точками. Тут никакого рисунка и геометрического воображения не нужно. Достаточно применения стандартных определений и формул. Наверное эта стандартная задача из курса стереометрии. Где тут начало координат - нам без разницы. Вектора тут свободные. Как уже писалось в теме, сначала нужно найти векторы нормалей к поверхностям через векторные произведения. Затем угол между этими нормалями через скалярное произведение.

Получается, что задача взяла ТС на испуг. Никакой особой трёхмерной стереометрической интуиции тут не нужно. LILILILILI . Ссылку на задачу не дадите? Хочу сравнить свои мысли с официальным решением.

[dgwuqtj]

По идее, угол в таких задачах ищется и без координат, но там уже как раз нужно пространственное мышление.