Основания классического математического анализа.

[epros]

Да, в принципе идея понятна. Просто надо привыкнуть к неконструктивным доказательствам.

[talash]

dgwuqtj в сообщении #1639966 писал(а):

Вы же сами писали, что числа представляются программами для абстрактной вычислительной машины.

Я писал про алгоритм, имея ввиду интуитивное понятие. Здесь у меня чёткое разделение. Математика это то, что может делать наблюдатель в компьютерном математическом мире. Но чтобы понять, что позволено наблюдателю, мы используем интуитивные рассуждения.

Программа будет использоваться для обучения математике и одновременно представлять наглядную иллюстрацию "понятных оснований классического матанализа".

Переход к идеальному математическому миру связан с различными упрощениями. Идея отсутствия минимального деления в линейке это также упрощение. Когда мы доходим до рациональных чисел, то у нас в программе появляется возможность задать размер объекта в виде обыкновенной дроби. Но на линейке у нас деления десятичных дробей и когда мы переводим обыкновенную дробь в десятичную, мы приходим к бесконечному алгоритму, например, дробь $\frac{1}{3}$ это бесконечный алгоритм 0.333... Далее мы доказываем, что обыкновенная дробь в виде десятичной дроби это или точное число или периодическая дробь. И тут нам становится интуитивно очевидно, что можно задать число и в виде бесконечного непериодического алгоритма.

Но отсюда не следует, что мы тут же эту возможность добавим в программу, чтобы наблюдатель мог задать число в виде произвольной программы. И даже, более того, этот вариант исключён, потому что это резкое и неоправданное усложнение математики, введение широкого спектра математических действий. Мы упрощали, упрощали, а потом бабах и зачем-то всё резко усложнили.

Возможность задать иррациональное число можно будет через математическое выражение, используя только те математические операции, которые мы ранее ввели. И только такие иррациональные числа и будут существовать в рамках данных оснований. Напомню, что случайного иррациональные числа на некотором отрезке в принципе не существует. Потому что оно должно занимать бесконечную память, а это невозможно. Поэтому, не существует и множества всех иррациональных чисел, как оно строится, якобы строго, в других основаниях через сечения Дедекинда, фундаментальные последовательности Кантора или бесконечные десятичные дроби Вейерштрасса. Существуют только конкретные иррациональные числа в виде конкретных бесконечных алгоритмов(математических выражений). В общем виде иррациональное число записать нельзя.

[epros]

talash, Вы явно запутались в своей философии.

talash в сообщении #1640621 писал(а):

Но отсюда не следует, что мы тут же эту возможность добавим в программу, чтобы наблюдатель мог задать число в виде произвольной программы. И даже, более того, этот вариант исключён, потому что это резкое и неоправданное усложнение математики, введение широкого спектра математических действий.

А Вы считаете, что будет проще напридумывать кучу правил, запрещающих трактовать некоторые программы как вычисляющие числа?

talash в сообщении #1640621 писал(а):

Возможность задать иррациональное число можно будет через математическое выражение, используя только те математические операции, которые мы ранее ввели.

Алгоритм и есть математическое выражение, использующее только те математические операции, которые мы ранее ввели.

[talash]

epros в сообщении #1640680 писал(а):

А Вы считаете, что будет проще напридумывать кучу правил, запрещающих трактовать некоторые программы как вычисляющие числа?

Не понял про кучу правил. Число(длину объекта) в моей программе "понятные основания классического матанализа" можно будет задать математическим выражением. Если Вы придумали программу где-то у себя на компьютере, которая вычисляет число, но это число нельзя представить в виде допустимого математического выражения в моей программе, то этого числа не существует в рамках данных оснований.

epros в сообщении #1640680 писал(а):

Алгоритм и есть математическое выражение, использующее только те математические операции, которые мы ранее ввели.

Я использую понятие алгоритм, как интуитивное. Например, бесконечный алгоритм, где между единицами растёт расстояние заполненное нулями, то есть, иррациональное число $0.1010010001...$. Это мы на интуитивном уровне считаем это число иррациональным. Но его нельзя представить в виде математического выражения до тех пор пока не будет введена операция возведения в степень. Пока эту операцию не ввели, этого числа не существует, а когда ввели, то это число начинает существовать.

Напомню, программа в том числе будет использовать для обучения. И именно так надо себе представлять математику, если хочешь изучить её с нуля, чтобы каждый шаг был понятен. Мы вводим новые правила и получаем новые возможности задания математических объектов. Математические объекты начинают существовать. И в какой-то момент мы остановимся и скажем, хватит новых правил, потому что мы уже получили весь классический матанализ.

Простые алгоритмы получения иррациональных чисел ценнее сложных. Все важные иррациональные математические константы получаются из простых бесконечных алгоритмов. Поэтому, для практических целей достаточно некоторого небольшого набора математических операций. И нам незачем вводить некое общее вычислимое число, которое можно задать алгоритмом с произвольными операциями.

[mihaild]

talash в сообщении #1640686 писал(а):

Но его нельзя представить в виде математического выражения до тех пор пока не будет введена операция возведения в степень

Если очень сильно нужно - можно написать формулу арифметическую формулу с одной свободной переменной, со сложением и умножением (без кванторов), которая истинна ровно на числах $1$, $10$, $101$, $1010$, $10100$, $101001$ и т.д. Это считается "представили в виде математического выражения до того как введена операция возведения в степень"?

talash в сообщении #1640686 писал(а):

это число начинает существовать

Мне этот язык представляется крайне неудобным. У каждого свой набор существующих чисел, как говорить?

[dgwuqtj]

talash в сообщении #1640621 писал(а):

Возможность задать иррациональное число можно будет через математическое выражение, используя только те математические операции, которые мы ранее ввели.

В какой-то момент вам захочется добавить, кроме рациональных чисел, все экспоненты, логарифмы и тригонометрические функции от уже имеющихся чисел. А для такого класса не известно алгоритма, который бы их сравнивал. Так что даже нельзя проверить, задаёт ли формула число (положительны ли аргументы у всех логарифмов в выражении). Или речь идёт про ещё меньший класс чисел?

[epros]

talash в сообщении #1640686 писал(а):

Не понял про кучу правил. Число(длину объекта) в моей программе "понятные основания классического матанализа" можно будет задать математическим выражением.

epros в сообщении #1640680 писал(а):

Алгоритм и есть математическое выражение, использующее только те математические операции, которые мы ранее ввели.

Куча правил понадобится для того, чтобы определить, что является по Вашим понятиям "допустимым математическим выражением", а что нет.

talash в сообщении #1640686 писал(а):

Но его нельзя представить в виде математического выражения до тех пор пока не будет введена операция возведения в степень

Чего? Это просто сумма единичек, делённых на 10 несколько раз: сначала один раз, потом ещё два раза, потом ещё три раза и т.д. Вы и деление на 10 предлагаете запретить?

talash в сообщении #1640686 писал(а):

Простые алгоритмы получения иррациональных чисел ценнее сложных.

Был ли "достаточно прост" тот алгоритм, которым я ранее определял число, которое неизвестно как представляется десятичной дробью? Там не было ничего, кроме сложения, разложения натурального числа на сомножители, проверки равенства натуральных чисел и деления на 10, конечно.

[talash]

mihaild в сообщении #1640689 писал(а):

Если очень сильно нужно - можно написать формулу арифметическую формулу с одной свободной переменной, со сложением и умножением (без кванторов), которая истинна ровно на числах $1$, $10$, $101$, $1010$, $10100$, $101001$ и т.д. Это считается "представили в виде математического выражения до того как введена операция возведения в степень"?

А почему сразу не написали формулу? Она какая-то хитрая?
Вот выражение, которое является иррациональным числом $0.101001...$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{\frac{n(n+1)}{2}}}$$

Его можно будет задать в программе после введения знака суммы и операции возведения в степень.

mihaild в сообщении #1640689 писал(а):

Мне этот язык представляется крайне неудобным. У каждого свой набор существующих чисел, как говорить?

После изучения полного курса, у всех будет одинаковый набор существующих чисел.

-- 30.05.2024, 23:47 --

dgwuqtj в сообщении #1640690 писал(а):

В какой-то момент вам захочется добавить, кроме рациональных чисел, все экспоненты, логарифмы и тригонометрические функции от уже имеющихся чисел. А для такого класса не известно алгоритма, который бы их сравнивал.

А можете привести конкретный пример, какие выражения нельзя сравнить?

[mihaild]

talash в сообщении #1640804 писал(а):

А почему сразу не написали формулу? Она какая-то хитрая?

В явном виде - довольно длинная.
И я бред написал. Без кванторов не получится, имелось в виду "без возведения в степень".

[talash]

epros в сообщении #1640766 писал(а):

Чего? Это просто сумма единичек, делённых на 10 несколько раз: сначала один раз, потом ещё два раза, потом ещё три раза и т.д. Вы и деление на 10 предлагаете запретить?

Ничего запрещать не планируется, в программе будет интерфейс, где точное число можно задать с помощью математического выражения. На словах число задать не получится.

epros в сообщении #1640766 писал(а):

Был ли "достаточно прост" тот алгоритм, которым я ранее определял число, которое неизвестно как представляется десятичной дробью? Там не было ничего, кроме сложения, разложения натурального числа на сомножители, проверки равенства натуральных чисел и деления на 10, конечно.

Можете представить этот алгоритм в виде математического выражения?

[dgwuqtj]

talash в сообщении #1640804 писал(а):

А можете привести конкретный пример, какие выражения нельзя сравнить?

Любые 2 сравнить можно, это именно общего алгоритма нет. Только я уже не помню, это пока что нет или доказано, что задача неразрешима. Если уж вы добавляете знаки суммы, то через них можно и проблему остановки попробовать закодировать.

[epros]

talash в сообщении #1640806 писал(а):

Ничего запрещать не планируется, в программе будет интерфейс, где точное число можно задать с помощью математического выражения. На словах число задать не получится.

Извиняйте, но Вы несёте какую-то чушь. В программе будет счётчик шагов, чтобы на каждом следующем шаге мы поделили полученное на предыдущем шаге число на 10 столько раз, сколько показывает этот счётчик. Это число прибавляется к полученной на предыдущем шаге сумме. А в интерфейсе надо будет задать только номер шага, на котором нужно остановиться и выдать результат сложения.

talash в сообщении #1640806 писал(а):

Можете представить этот алгоритм в виде математического выражения?

Можно и формулой (довольно длинной), а можно и программу написать (довольно просто). Но вообще-то сказанных слов достаточно для того, чтобы проделать это самостоятельно, а не напрягать собеседников.

[Евгений Машеров]

talash в сообщении #1640804 писал(а):

После изучения полного курса, у всех будет одинаковый набор существующих чисел.

(Оффтоп)

Приходит парикмахер в патентное бюро и говорит:
- Значит, вот изобрел я машину для бритья. Вот ящик, в нем четыре лезвия. Голову всунул - жик-жик и готово.
Сотрудник бюро:
- Да, но головы же у всех разные?!
Парикмахер:
- Первый раз - да...

[talash]

epros
существуют ли невычислимые иррациональные числа?

[epros]

talash в сообщении #1640854 писал(а):

epros
существуют ли невычислимые иррациональные числа

С точки зрения классического анализа существуют. Даже можно привести пример:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\Sigma(n)}$, где $\Sigma(n)$ - функция busy beaver.
Но с моей точки зрения не существуют.