2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Симметрическое распределение случайной величины
Сообщение19.04.2024, 01:35 


26/02/24
10
Имеется следующая задача: Пусть $\xi$ имеет симметрическое распределение относительно точки $a$: $$f_{\xi}(x-a) = f_{\xi}(a-x).$$
Пусть $E\xi < \infty\. Докажите, что $E\xi = a$.
В одном из пособий в качестве подсказки было следующее: рассмотреть случайную величину $\eta = \xi - a$, затем доказать чётность $f_{\eta}$ и, используя определение математического ожидания $E\eta$ через интеграл, показать, что этот интеграл равен $0$. Возникла проблема именно с доказательством чётности функции плотности $f_{\eta}$. Правая часть приведённого выше равенства после интегрирования даёт $$1-F_{\xi}(a-x)=1-P(\xi\leq a -x) = 1 - P(\xi-a\leq -x) = P(\xi - a\geq -x) = P(a - \xi\leq x) = F_{-\eta}(x) = 1 - F_{\eta}(-x)$$, то есть после дифференцирования получится $f_{\eta}(-x)$. И по логике, чтобы эта функция плотности была чётной нужно получить, что $f_{\eta}(-x) = f_{\eta}(x)$, однако никак не могу, к сожалению, понять, как это получить, так как рассматривая левую часть исходного равенства и интегрируя её, получаю: $F_{\xi}(x-a)=P(\xi\leq x - a)$, и отсюда, кажется, желаемое не получается выразить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрическое распределение случайной величины
Сообщение19.04.2024, 02:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
moonruleni9ne в сообщении #1636847 писал(а):
Пусть $\xi$ имеет симметрическое распределение относительно точки $a$: $$f_{\xi}(x-a) = f_{\xi}(a-x).$$
Так в условии? Автор сказал не то, что хотел. Пусть $a=10$. Беря $x=14$, получим $f_{\xi}(4) = f_{\xi}(-4)$, беря $x=17$, получим $f_{\xi}(7) = f_{\xi}(-7)$, и так далее — то есть такое распределение симметрично относительно нуля.

А распределение, симметричное относительно $a$, будет иметь свойство:
$f_{\xi}(a+x) = f_{\xi}(a-x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрическое распределение случайной величины
Сообщение19.04.2024, 08:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Просто подставьте в заданное Вам равенство определение величины Эта. Получится чётная функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрическое распределение случайной величины
Сообщение19.04.2024, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Евгений Машеров
Не получится. Таким способом Вы для произвольного числа $t$ можете получить $f_\xi(t)=f_\xi(-t)$. А нам надо $f_\eta(t)=f_\eta(-t)$.
Даю честное пионерское, исходное равенство неправильное, в том смысле, что оно не выражает симметричность распределения величины $\xi$ относительно точки $a\neq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрическое распределение случайной величины
Сообщение19.04.2024, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Запишем условие симметрии относительно нуля $$f(x)=f(-x)$ и сдвинем аргумент $x=t-a$. В результате получим $f(t-a)=f(a-t)$. Вошли в противоречие с "честным пионерским".

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрическое распределение случайной величины
Сообщение19.04.2024, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
svv в сообщении #1636848 писал(а):
Пусть $a=10$. Беря $x=14$, получим $f_{\xi}(4) = f_{\xi}(-4)$, беря $x=17$, получим $f_{\xi}(7) = f_{\xi}(-7)$, и так далее — то есть такое распределение симметрично относительно нуля.
$x$, $t$ — это не "значения физической величины $x$ или $t$", а просто произвольные числа.

-- Пт апр 19, 2024 15:17:56 --

Утундрий в сообщении #1636887 писал(а):
В результате получим $f(t-a)=f(a-t)$.
А функция $f$ как была чётной (относительно нуля), так и осталась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрическое распределение случайной величины
Сообщение19.04.2024, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Утундрий в сообщении #1636887 писал(а):
Запишем условие симметрии относительно нуля $f(x)=f(-x)$ и сдвинем аргумент $x=t-a$.
У Вас не сдвиг величины, а замена аргумента. Утверждения $\forall x: f(x) = f(-x)$ и $\forall t: f(t - a) = f(a - t)$ эквивалентны.
Пусть $f(x) = f(-x)$. Тогда $g(x)$ - сдвинутая $f$, если $g(x) = f(x + a)$.

moonruleni9ne, что такое $f_\xi$ - плотность? Тогда не надо ничего интегрировать и переходить к функции распределения, сделайте под интегралом замену переменной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрическое распределение случайной величины
Сообщение19.04.2024, 22:14 


26/02/24
10
svv

Да, действительно, Вы правы, я не обратила внимания на изначальную ошибку в условии. Спасибо!

-- 19.04.2024, 22:16 --

mihaild
Да, я в итоге так и сделала через замену под интегралом, как Вы и написали. Всё получилось, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group