Симметрическое распределение случайной величины

[moonruleni9ne]

Имеется следующая задача: Пусть $\xi$ имеет симметрическое распределение относительно точки $a$:

$$f_{\xi}(x-a) = f_{\xi}(a-x).$$

Пусть $E\xi < \infty\. Докажите, что $E\xi = a$.
В одном из пособий в качестве подсказки было следующее: рассмотреть случайную величину $\eta = \xi - a$, затем доказать чётность $f_{\eta}$ и, используя определение математического ожидания $E\eta$ через интеграл, показать, что этот интеграл равен $0$. Возникла проблема именно с доказательством чётности функции плотности $f_{\eta}$. Правая часть приведённого выше равенства после интегрирования даёт

$$1-F_{\xi}(a-x)=1-P(\xi\leq a -x) = 1 - P(\xi-a\leq -x) = P(\xi - a\geq -x) = P(a - \xi\leq x) = F_{-\eta}(x) = 1 - F_{\eta}(-x)$$

, то есть после дифференцирования получится $f_{\eta}(-x)$. И по логике, чтобы эта функция плотности была чётной нужно получить, что $f_{\eta}(-x) = f_{\eta}(x)$, однако никак не могу, к сожалению, понять, как это получить, так как рассматривая левую часть исходного равенства и интегрируя её, получаю: $F_{\xi}(x-a)=P(\xi\leq x - a)$, и отсюда, кажется, желаемое не получается выразить.

[svv]

moonruleni9ne в сообщении #1636847 писал(а):

Пусть $\xi$ имеет симметрическое распределение относительно точки $a$:

$$f_{\xi}(x-a) = f_{\xi}(a-x).$$

Так в условии? Автор сказал не то, что хотел. Пусть $a=10$. Беря $x=14$, получим $f_{\xi}(4) = f_{\xi}(-4)$, беря $x=17$, получим $f_{\xi}(7) = f_{\xi}(-7)$, и так далее — то есть такое распределение симметрично относительно нуля.

А распределение, симметричное относительно $a$, будет иметь свойство:
$f_{\xi}(a+x) = f_{\xi}(a-x)$

[Евгений Машеров]

Просто подставьте в заданное Вам равенство определение величины Эта. Получится чётная функция.

[svv]

Евгений Машеров
Не получится. Таким способом Вы для произвольного числа $t$ можете получить $f_\xi(t)=f_\xi(-t)$. А нам надо $f_\eta(t)=f_\eta(-t)$.
Даю честное пионерское, исходное равенство неправильное, в том смысле, что оно не выражает симметричность распределения величины $\xi$ относительно точки $a\neq 0$.

[Утундрий]

Запишем условие симметрии относительно нуля $$f(x)=f(-x)$ и сдвинем аргумент $x=t-a$. В результате получим $f(t-a)=f(a-t)$. Вошли в противоречие с "честным пионерским".

[svv]

svv в сообщении #1636848 писал(а):

Пусть $a=10$. Беря $x=14$, получим $f_{\xi}(4) = f_{\xi}(-4)$, беря $x=17$, получим $f_{\xi}(7) = f_{\xi}(-7)$, и так далее — то есть такое распределение симметрично относительно нуля.

$x$, $t$ — это не "значения физической величины $x$ или $t$", а просто произвольные числа.

-- Пт апр 19, 2024 15:17:56 --

Утундрий в сообщении #1636887 писал(а):

В результате получим $f(t-a)=f(a-t)$.

А функция $f$ как была чётной (относительно нуля), так и осталась.

[mihaild]

Утундрий в сообщении #1636887 писал(а):

Запишем условие симметрии относительно нуля $f(x)=f(-x)$ и сдвинем аргумент $x=t-a$.

У Вас не сдвиг величины, а замена аргумента. Утверждения $\forall x: f(x) = f(-x)$ и $\forall t: f(t - a) = f(a - t)$ эквивалентны.
Пусть $f(x) = f(-x)$. Тогда $g(x)$ - сдвинутая $f$, если $g(x) = f(x + a)$.

moonruleni9ne, что такое $f_\xi$ - плотность? Тогда не надо ничего интегрировать и переходить к функции распределения, сделайте под интегралом замену переменной.

[moonruleni9ne]

svv

Да, действительно, Вы правы, я не обратила внимания на изначальную ошибку в условии. Спасибо!

-- 19.04.2024, 22:16 --

mihaild
Да, я в итоге так и сделала через замену под интегралом, как Вы и написали. Всё получилось, спасибо!