2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 17:17 


10/06/13
101
Здравствуйте, помогите понять задачу:
$U_{tt}=U_{xx}-cost, где t\geqslant0, x\in[0,1]$

Начальные условия: $U_{t}(x,0)=0, U(x,0)=1$
Граничные условия: $U_{x}(0,t)=0, U(1,t)=cost + t$


Я сделал замену: $U(x,t)=V(x,t)+cos(t)+t$ и свёл исходную задачу к следующей:

$V_{tt}=V_{xx},      где t\geqslant0, x\in[0,1]$

Начальные условия: $V_{t}(x,0)=-1, V(x,0)=0$
Граничные условия: $V_{x}(0,t)=V(1,t)=0 $

Вопрос следующий: можно ли решить эту задачу методом Фурье? Остановился на том, что не могу найти коэф. $B_n$:

$\lambda_{n}=(\frac{(2n-1)\pi}{2})^2, X_n(x)=sin(\sqrt{\lambda_{n}}x), T_n(t)=A_{n}cos(\sqrt{\lambda_{n}}t)+B_{n}sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$

$V(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}T_{n}X_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-B_{n}sin(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$

$V_{t}(x,0)=B_n\sqrt{\lambda_{n}}sin(\sqrt{\lambda_{n}}x)=-1$

подскажите, имеет ли решение эта задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 19:24 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
У Вас несколько опечаток.
1. Проверьте значение $\lambda_n$.
2. Проверьте уравнения для получения значений $A_n$ и $B_n$.
$V(x, t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}(A_n\cos\sqrt{\lambda_n}t + B_n\sin\sqrt{\lambda_n}t)\sin\sqrt{{\lambda_n}}x$.
$V(x, 0) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n \sin\sqrt{{\lambda_n}}x=0$, $V_t(x, 0) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{{\lambda_n}}B_n \sin\sqrt{{\lambda_n}}x=-1$.

По поводу вопроса о решении задачи с однородными краевыми условиями. Это стандартная задача, разобранная в учебниках. См., например, Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977 (djvu).

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 20:10 


10/06/13
101
$\lambda_{n}$ правильная же получилась для условий$ X'(0)=X(1)=0.$
Коэффициенты $A_{n}=0,  B_{n}=-1/\sqrt{\lambda_{n}}$ тоже правильные. В чем я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Antichny в сообщении #1635431 писал(а):
В чем я ошибаюсь?
В собственных функциях. Правильные для этой краевой задачи будут с косинусами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 20:41 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Antichny в сообщении #1635431 писал(а):
В чем я ошибаюсь?
Я привел ссылку на книгу. Конечно, эта задача рассматривается в разных учебниках и пользоваться нужно рекомендованной. Но, по крайней мере, в указанной книге эта задача рассмотрена. Быстрее посмотреть решение в учебнике, чем задовать вопрос на форуме.
Конкретно: $\lambda_n = (\pi n)^2$, в выражении для $V_t$ пропущен символ суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 20:47 


10/06/13
101
$\lambda_{n}=(n\pi)^2$ для граничных условий: $X'(0)=X'(l)=0$ Задание не совсем стандартное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 20:52 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Нет. $\lambda_n = (\pi n)^2$ для $X(0)=X(l)=0$. Но да, я не заметил производную в граничном условии.

-- Fri 05.04.2024 19:55:16 --

И тогда, да, следует брать $X_n = \cos \sqrt{\lambda_n}x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Antichny
Не хотел бы мешать. Но если интересно, могу рассказать, как решить почти устно. Пригодится для проверки решения методом Фурье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 21:05 


10/06/13
101
В общем, даже с поправкой на $X_{n}=cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)$ получается не пойми что.
$V(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}T_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}}cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$ Если подставить граничные условия, то выполняется только одно из 4х.

-- 05.04.2024, 22:06 --

Буду благодарен, если объясните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 22:15 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Antichny в сообщении #1635443 писал(а):
$V(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}T_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}}cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$ Если подставить граничные условия, то выполняется только одно из 4х.
Ерунда. На левой границе ($x=0$) производная $V$ по $x$ равна нулю (производная от косинуса будет синусом, а он в нуле равен нулю). На правой границе ($x=1$) $V$ равна нулю (так выбрано значение $\sqrt{\lambda_n} = \frac {2n-1} 2 \pi$. В начальный момент времени $V$ равна нулю (просто синус в нуле равен нулю). Остаётся проверить равенство единице производной по времени в начальный момент времени. Вот вычисление $B_n$ Вы не привели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 22:24 


10/06/13
101
Всем спасибо, кажется разобрался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
0) Если спросить, для каких $x$ верны начальные и для каких $t$ верны граничные условия, Вы, наверное, ответите, что начальные для $x\in[0;1]$, а граничные для $t\geqslant 0$. Но это точно не так:
$U_t(1,0)=0$ согласно $U_{t}(x,0)=0$, но
$U_t(1,0)=1$ согласно $U(1,t)=\cos t + t$
Чтобы спасти задачу, исключим точку $x=1,t=0$ из одного или обоих условий. Но всё равно производная $U_t$ будет разрывной.
Это не страшно для гиперболического уравнения, нужно только расширить класс допустимых решений. Но про гладкие решения придётся забыть.

1) Делаем замену, похожую на Вашу: $U(x,t)=W(x,t)+\cos t $. Получаем задачу $W_{tt}=W_{xx}$ с условиями
Начальные условия: $W_{t}(x,0)=0,\quad W(x,0)=0$
Граничные условия: $W_{x}(0,t)=0,\quad W(1,t)=t$

2) Расширим область до $x\in[-1;1], t\geqslant 0$ и будем считать, что искомая $W$ чётна по $x$, то есть $W(x,t)=W(-x,t)$. Тогда условие $W_{x}(0,t)=0$ будет выполнено автоматически. Будем искать $W$ как суперпозицию двух бегущих волн с постоянными профилями:
$W(x,t)=f(t-x)+g(t+x)$
В силу чётности
$W(x,t)=f(t-x)+f(t+x)$
Пока не очень поздно, сдвинем для удобства аргумент на единичку:
$W(x,t)=f(t-1-x)+f(t-1+x)$

3) Начальные условия обеспечим, положив $f(t)=0$ при $t<0$ (проверьте это, пожалуйста). Остаётся одно граничное условие (на каждой из границ $x=\pm 1$):
$f(t)+f(t-2)=t$
Найдите отсюда $f(t)$ последовательно для $t\in[0;2)$, потом для $t\in[2;4)$ и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 22:37 


11/07/16
10/11/24
825
Команда Мэйпла 2024
Код:
pdsolve({U(1, t) = cos(t) + t, U(x, 0) = 1, diff(U(x, t), t $ 2) = diff(U(x, t), x $ 2) - cos(t), eval(diff(U(x, t), t), t = 0) = 0, eval(diff(U(x, t), x), x = 0) = 0}, U(x, t))
выдает
Код:
U(x,t) = (cos(t)*Pi^2+t*Pi^2+4*sum((-1)^n*cos(1/2*(1+2*n)*Pi*x)*((1/2+n)^2*Pi^2
*cos(1/2*(1+2*n)*Pi*t)-cos(t))/(-1+2*(1/2+n)^3*Pi^2-2*n),n = 0 .. infinity)*Pi-\
4*sum(2*(-1)^n1*(Pi*(1/2+n1)*cos(1/2*(1+2*n1)*Pi*t)+sin(1/2*(1+2*n1)*Pi*t))*cos
(1/2*(1+2*n1)*Pi*x)/(1+2*n1)^2,n1 = 0 .. infinity))/Pi^2


Сообщил для проверки представленных решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Команда Мэйпла, конечно, выдаёт. А Markiyan Hirnyk оную перепечатывает. Ибо внутре его — перепечатка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Не перепечатывает, если внутри него — Мэйпл 2024.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group