0) Если спросить, для каких
верны начальные и для каких
верны граничные условия, Вы, наверное, ответите, что начальные для
, а граничные для
. Но это точно не так:
согласно
, но
согласно
Чтобы спасти задачу, исключим точку
из одного или обоих условий. Но всё равно производная
будет разрывной.
Это не страшно для гиперболического уравнения, нужно только расширить класс допустимых решений. Но про гладкие решения придётся забыть.
1) Делаем замену, похожую на Вашу:
. Получаем задачу
с условиями
Начальные условия:
Граничные условия:
2) Расширим область до
и будем считать, что искомая
чётна по
, то есть
. Тогда условие
будет выполнено автоматически. Будем искать
как суперпозицию двух бегущих волн с постоянными профилями:
В силу чётности
Пока не очень поздно, сдвинем для удобства аргумент на единичку:
3) Начальные условия обеспечим, положив
при
(проверьте это, пожалуйста). Остаётся одно граничное условие (на каждой из границ
):
Найдите отсюда
последовательно для
, потом для
и так далее.