Начально-краевая задача

[Antichny]

Здравствуйте, помогите понять задачу:
$U_{tt}=U_{xx}-cost, где t\geqslant0, x\in[0,1]$

Начальные условия: $U_{t}(x,0)=0, U(x,0)=1$
Граничные условия: $U_{x}(0,t)=0, U(1,t)=cost + t$


Я сделал замену: $U(x,t)=V(x,t)+cos(t)+t$ и свёл исходную задачу к следующей:

$V_{tt}=V_{xx}, где t\geqslant0, x\in[0,1]$

Начальные условия: $V_{t}(x,0)=-1, V(x,0)=0$
Граничные условия: $V_{x}(0,t)=V(1,t)=0 $

Вопрос следующий: можно ли решить эту задачу методом Фурье? Остановился на том, что не могу найти коэф. $B_n$:

$\lambda_{n}=(\frac{(2n-1)\pi}{2})^2, X_n(x)=sin(\sqrt{\lambda_{n}}x), T_n(t)=A_{n}cos(\sqrt{\lambda_{n}}t)+B_{n}sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$

$V(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}T_{n}X_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-B_{n}sin(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$

$V_{t}(x,0)=B_n\sqrt{\lambda_{n}}sin(\sqrt{\lambda_{n}}x)=-1$

подскажите, имеет ли решение эта задача?

[GAA]

У Вас несколько опечаток.
1. Проверьте значение $\lambda_n$.
2. Проверьте уравнения для получения значений $A_n$ и $B_n$.
$V(x, t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}(A_n\cos\sqrt{\lambda_n}t + B_n\sin\sqrt{\lambda_n}t)\sin\sqrt{{\lambda_n}}x$.
$V(x, 0) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n \sin\sqrt{{\lambda_n}}x=0$, $V_t(x, 0) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{{\lambda_n}}B_n \sin\sqrt{{\lambda_n}}x=-1$.

По поводу вопроса о решении задачи с однородными краевыми условиями. Это стандартная задача, разобранная в учебниках. См., например, Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977 (djvu).

[Antichny]

$\lambda_{n}$ правильная же получилась для условий$ X'(0)=X(1)=0.$
Коэффициенты $A_{n}=0, B_{n}=-1/\sqrt{\lambda_{n}}$ тоже правильные. В чем я ошибаюсь?

[Red_Herring]

Antichny в сообщении #1635431 писал(а):

В чем я ошибаюсь?

В собственных функциях. Правильные для этой краевой задачи будут с косинусами.

[GAA]

Antichny в сообщении #1635431 писал(а):

В чем я ошибаюсь?

Я привел ссылку на книгу. Конечно, эта задача рассматривается в разных учебниках и пользоваться нужно рекомендованной. Но, по крайней мере, в указанной книге эта задача рассмотрена. Быстрее посмотреть решение в учебнике, чем задовать вопрос на форуме.
Конкретно: $\lambda_n = (\pi n)^2$, в выражении для $V_t$ пропущен символ суммы.

[Antichny]

$\lambda_{n}=(n\pi)^2$ для граничных условий: $X'(0)=X'(l)=0$ Задание не совсем стандартное.

[GAA]

Нет. $\lambda_n = (\pi n)^2$ для $X(0)=X(l)=0$. Но да, я не заметил производную в граничном условии.

-- Fri 05.04.2024 19:55:16 --

И тогда, да, следует брать $X_n = \cos \sqrt{\lambda_n}x$.

[svv]

Antichny
Не хотел бы мешать. Но если интересно, могу рассказать, как решить почти устно. Пригодится для проверки решения методом Фурье.

[Antichny]

В общем, даже с поправкой на $X_{n}=cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)$ получается не пойми что.
$V(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}T_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}}cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$ Если подставить граничные условия, то выполняется только одно из 4х.

-- 05.04.2024, 22:06 --

Буду благодарен, если объясните.

[GAA]

Antichny в сообщении #1635443 писал(а):

$V(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}T_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}}cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$ Если подставить граничные условия, то выполняется только одно из 4х.

Ерунда. На левой границе ($x=0$) производная $V$ по $x$ равна нулю (производная от косинуса будет синусом, а он в нуле равен нулю). На правой границе ($x=1$) $V$ равна нулю (так выбрано значение $\sqrt{\lambda_n} = \frac {2n-1} 2 \pi$. В начальный момент времени $V$ равна нулю (просто синус в нуле равен нулю). Остаётся проверить равенство единице производной по времени в начальный момент времени. Вот вычисление $B_n$ Вы не привели.

[Antichny]

Всем спасибо, кажется разобрался.

[svv]

0) Если спросить, для каких $x$ верны начальные и для каких $t$ верны граничные условия, Вы, наверное, ответите, что начальные для $x\in[0;1]$, а граничные для $t\geqslant 0$. Но это точно не так:
$U_t(1,0)=0$ согласно $U_{t}(x,0)=0$, но
$U_t(1,0)=1$ согласно $U(1,t)=\cos t + t$
Чтобы спасти задачу, исключим точку $x=1,t=0$ из одного или обоих условий. Но всё равно производная $U_t$ будет разрывной.
Это не страшно для гиперболического уравнения, нужно только расширить класс допустимых решений. Но про гладкие решения придётся забыть.

1) Делаем замену, похожую на Вашу: $U(x,t)=W(x,t)+\cos t $. Получаем задачу $W_{tt}=W_{xx}$ с условиями
Начальные условия: $W_{t}(x,0)=0,\quad W(x,0)=0$
Граничные условия: $W_{x}(0,t)=0,\quad W(1,t)=t$

2) Расширим область до $x\in[-1;1], t\geqslant 0$ и будем считать, что искомая $W$ чётна по $x$, то есть $W(x,t)=W(-x,t)$. Тогда условие $W_{x}(0,t)=0$ будет выполнено автоматически. Будем искать $W$ как суперпозицию двух бегущих волн с постоянными профилями:
$W(x,t)=f(t-x)+g(t+x)$
В силу чётности
$W(x,t)=f(t-x)+f(t+x)$
Пока не очень поздно, сдвинем для удобства аргумент на единичку:
$W(x,t)=f(t-1-x)+f(t-1+x)$

3) Начальные условия обеспечим, положив $f(t)=0$ при $t<0$ (проверьте это, пожалуйста). Остаётся одно граничное условие (на каждой из границ $x=\pm 1$):
$f(t)+f(t-2)=t$
Найдите отсюда $f(t)$ последовательно для $t\in[0;2)$, потом для $t\in[2;4)$ и так далее.

[Markiyan Hirnyk]

Команда Мэйпла 2024

pdsolve({U(1, t) = cos(t) + t, U(x, 0) = 1, diff(U(x, t), t $ 2) = diff(U(x, t), x $ 2) - cos(t), eval(diff(U(x, t), t), t = 0) = 0, eval(diff(U(x, t), x), x = 0) = 0}, U(x, t))

выдает

U(x,t) = (cos(t)*Pi^2+t*Pi^2+4*sum((-1)^n*cos(1/2*(1+2*n)*Pi*x)*((1/2+n)^2*Pi^2
*cos(1/2*(1+2*n)*Pi*t)-cos(t))/(-1+2*(1/2+n)^3*Pi^2-2*n),n = 0 .. infinity)*Pi-\
4*sum(2*(-1)^n1*(Pi*(1/2+n1)*cos(1/2*(1+2*n1)*Pi*t)+sin(1/2*(1+2*n1)*Pi*t))*cos
(1/2*(1+2*n1)*Pi*x)/(1+2*n1)^2,n1 = 0 .. infinity))/Pi^2

Сообщил для проверки представленных решений.

[Утундрий]

Команда Мэйпла, конечно, выдаёт. А Markiyan Hirnyk оную перепечатывает. Ибо внутре его — перепечатка.

[svv]

Не перепечатывает, если внутри него — Мэйпл 2024.