Кватернионная логика

[Alpha AXP]

"Из лжи следует истина- возможно"
"Из истины следует ложь-невозможно"
Так говорят кватернионы...

[пианист]

Alpha AXP в сообщении #1635264 писал(а):

Может это и правда бредовая идея.

Боюсь, что так и есть. Возможно, стоило бы самому продумывать свои идеи, прежде чем предлагать другим?

(Оффтоп)

А почему Вы не пользуетесь средствами TeX'а, которые доступны на форуме?

[Alpha AXP]

пианист в сообщении #1635267 писал(а):

Возможно, стоило бы самому продумывать свои идеи, прежде чем предлагать другим?

Идей у меня много, а я один.)
Вроде бы продумал предварительно.

(Оффтоп)

А встроенными средствами Латех со смартфона пользоваться не могу, поэтому вбиваю теги от руки, ну и ошибаюсь порой.

[Alpha AXP]

Стал рыться в интернете на тему данной темы и с удивлением обнаружил, что есть такой раздел математики как "Алгебраическая логика" и на мехмате МГУ преподается целый курс, посвященный данной тематике.

Цитата:

Алгебраическая логика — раздел математики на стыке математической логики, универсальной алгебры, теории категорий и теоретической информатики. Она изучает алгебраические модели логических исчислений и, наоборот, логические исчисления, описывающие алгебраические структуры.

[b4b5]

Курс В. Б. Шехтмана "Алгебраическая логика и категории" https://www.mathnet.ru/conf2303

[Alpha AXP]

b4b5
Спасибо за ссылку.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

Alpha AXP в сообщении #1635268 писал(а):

поэтому вбиваю теги от руки

Скажу по секрету, все вбивают тэги именно от руки. LaTeX-помощником пользуются только новички.

[Alpha AXP]

Искал ее еще в 2005 году, прослушивая курс теоретической физики, искал из философских соображений, самых (на мой взгляд) общих, и, кажется нашел вот сейчас- полная структура алгебры кватернионов:



Умножение элементов в таблице умножения группы $Q_8$ эквивалентно попарным композициям морфизмов(стрелок) в этой структуре.
Удивительно, что если достроить до шестиугольника, то в нем треугольники 2,3 повторяются дважды, а 1,4 встречаются один раз.
Надо попробовать замостить плоскость этой структурой и затем пронумеровать объекты(точки). По идее должны получить какое-то количество видов эквивалентных объектов (точек).

Прямолинейное перемещение по этой структуре на плоскости: FF,UU,TT,-U-U,-T-T,-F-F - это перемещения в эквивалентные точки. Поэтому $ F\cdot F \leftrightarrow -1_F$, а перемещения: $F\ cdot -F \leftrightarrow 1_F $ эквивалентно отсутствию перемещения. Перемещение $-F\cdot F \leftrightarrow 1_{-F}$ - тоже покой. Таким образом таблицу умножения группы $Q_8$ можно уточнить следующим образом:


Из таблицы умножения видно, что всего возможно 4 треугольника и они пронумерованы на изображении алгебраической структуры. Индексы у букв, которыми мы обозначаем морфизмы(стрелки) в таблице умножения группы кватернионов обозначают: в результате композиции в каком из 4-х треугольников получен данный морфизм (стрелка, буква).

Посмотрел первую лекцию из предложенного цикла - не заходит. Не потому, что лекция плохая, наоборот, лекция очень хорошая, но не воспринимается сразу потому, что материал сложный и нет базовых знаний для него. Для того, чтобы он улегся в голове необходимо обсуждение, осмысление, время, освоение нотации, освоение всех применяемых понятий. Всё это очень сильно загромождает мозг, если осваивается не в обычном естественном и длительном общении, а в кратком курсе. Т.е. где-то неделю 2 на ежедневное обсуждение по теме этой лекции и можно переходить ко второй, а так- это в одно ухо влетело - в другое вылетело, может что-то где-то случайно зацепилось.

На первом рисунке на этой странице приведена диаграммная схема или предкатегория в терминологии ТК, это как раз структура алгебры кватернионов и кватернионной логики. Как увидеть здесь категорию и как ее оформить правильно? Какую нотацию для этого использовать? Мне для данного исследования было достаточно понятий стрелки и точки, далее все на интуиции. Но получается ситуация, когда есть понимание того, что ищется и что делается, а выразить это понимание на понятном языке не получается.

Логика алгебраических структур - это по сути движения по диаграммной схеме и правила регламентирующие эти движения.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1635495 писал(а):

Таким образом таблицу умножения группы $Q_8$ можно уточнить следующим образом:

(Оффтоп)

Следующий шаг - уточненные таблицы Брадиса!

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1635497 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1635495 писал(а):

Таким образом таблицу умножения группы $Q_8$ можно уточнить следующим образом:

(Оффтоп)

Следующий шаг - уточненные таблицы Брадиса!

Зря Вы иронизируете. Помогите заполнить данной структурой плоскость и выявить количество видов эквивалентных точек. Может это кстати окажется связано с задачей о хроматическом числе плоскости или другими задачами. На самом деле произошло придание алгебре кватернионов формы некоторой структуры в пространстве, т.е. ее геометризация произошла по сути. Без предложенных уточнений никак этого не сделать и нельзя развивать далее исследование, извините.

[Alpha AXP]

Поправка: в структуре 6 неэквивалентных треугольников:



И тогда таблица умножения будет выглядеть так:


Теперь всё точно проверил.
Правда так и не выяснил, можно ли этой структурой замостить плоскость.
И не выяснил количество видов не эквивалентных точек. Их можно определить по порядку следования и составу треугольников вокруг точки (при условии, что плоскость замостить можно).

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1635516 писал(а):

Правда так и не выяснил, можно ли этой структурой замостить плоскость.

Я тут скорее вижу огрызок семимерного гиперкуба, как в прошлой теме.

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1635536 писал(а):

Я тут скорее вижу огрызок семимерного гиперкуба, как в прошлой теме.

У куба 2- грани квадратные, а здесь треугольники... И как интерпретировать единицы в кубе?

-- 06.04.2024, 22:15 --

Я пытался сложить все 24 стрелки по ребрам октаэдра в обоих направлениях так, чтобы на каждой грани олучились композиции, Но пока не вышло ничего, очень много комбинаций надо перебрать.

[пианист]

(Оффтоп)

Цитата:

– А бумага – туалетная! – в полном восторге воскликнул я, доставая из конверта листок. – Она хоть чистая?

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1635537 писал(а):

У куба 2- грани квадратные, а здесь треугольники...

Видимо, в центре две вершины наложились друг на друга.