Элементарная алгебра для отстающих

[wrest]

horda2501 в сообщении #1634774 писал(а):

То есть, я вижу где график параболы ниже, а где не ниже пересекающей его прямой.

Ну вот там где график функци $f(x)$ ниже графика $g(x)$, там $f(x)<g(x)$
"Ниже" тут значит "меньше" потому что значения на оси $y$ увеличиваются снизу-вверх и уменьшажтся сверху-вниз (иными словами, эта ось направлена вверх).
Для оси $x$ которая обычно направлена вправо, "правее" означает "больше", а "левее" cоответственно означает "меньше".

[svv]

horda2501 в сообщении #1634774 писал(а):

вижу где график параболы ниже, а где не ниже пересекающей его прямой.

Уточните, что в этой фразе означает слово "где".

Короче говоря, увидьте, не где, а при каких $x$ график параболы ниже или не ниже прямой.

P.S. Вообще интересно, если Вас спросить "и где же именно?", то куда бы Вы показали на картинке? На часть параболы? На часть прямой? На то, что между ними? (это всё неправильные варианты ответа)

[horda2501]

Спасибо, более-менее разобралась! По крайней мере на этом конкретном примере. Сбило с толку то, что это неравенство. Графическим методом его предлагается решить впервые. Теперь ясно, если график параболы на числовом промежутке (-2;0,5) ниже графика соответствующей прямой, то это и значит $2x^2<2+3x$, т.е. его решение нужно записать как $2<x<0,5$, либо "когда$x\in(-2;0,5)$".

[miflin]

В качестве дополнительного упражнения для сшивания лоскутного одеяла.
Предлагаю это неравенство

horda2501 в сообщении #1634801 писал(а):

$2x^2<2+3x$

записать в виде $2x^2-3x-2<0$, найти корни квадратного трехчлена и помедитировать над ними.

[horda2501]

Здравствуйте! Объясните, пожалуйста, как решать следующую задачу. "При помощи графика функции $y=-\frac{1}{4}x^2$ решите неравенство $-1\leqslant-\frac{1}{4}x^2\leqslant-\frac{1}{4}$

С предыдущим примером было понятно. Там было неравенство $-\frac{1}{4}x^2\leqslant-4$. То есть, мне нужно было построить график функции $y=-4$ и определить на каких числовых промежутках оси $oX$ график данной параболы располагается ниже, либо пересекается с графиком указанной прямой. Здесь же я запуталась и не понимаю что делать. Что нужно построить, например?

https://postimg.cc/v4JYvkT0

[EUgeneUS]

horda2501 в сообщении #1636199 писал(а):

Что нужно построить, например?

1. График функции $y=-\frac{1}{4}x^2$, "подходящие" точки будут лежать на нём.
2. График функции $y = -1$, "подходящие" точки будут лежать на нём и выше него.
3. График функции $y = -\frac{1}{4}$, "подходящие" точки будут лежать на нём и ниже него.
4. Построить (выделить) точки, удовлетворяющие условиям 1, 2 и 3.
5. Записать в виде объединения интервалов (отрезков) условия на абсциссу (координату $x$), для точек, найденных в пункте 4.

[horda2501]

Спасибо, EUgeneUS! Ваши ответы как всегда отличаются чёткостью Вообщем, я попросту упустила основную суть - всё это в подобных заданиях должно приравниваться к игреку, что и есть реализация концепции график, собственно, функции.

[horda2501]

Здравствуйте! Я не могу понять как преобразовываются выражения следующего типа. Например, $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ или $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$. То есть, такие где нет "удобных" и очевидных использований свойств квадратного корня. Прошу при ответе обязательно учесть, что это упражнения из параграфа "Тождество $\sqrt{x^2}=lxl$" и ученику НЕ известны на данный момент операции внесения под корень и выведения из под корня. Известны свойства квадратных корней. Таким образом не ясно как на основе пройденного материала нужно решать такие задачи. Я просмотрела все упражнения встречавшиеся с корнями до этого и не обнаружила подобных почему-то. Нужна помощь.

[Booker48]

Нужно увидеть в подкоренном выражении квадрат суммы или квадрат разности.

[horda2501]

Это не так-то просто сделать без опыта, на самом деле Например, выражение $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ очень "неудобное" и не ясно что с ним можно сделать. Буду весьма признательна, если кто-либо продемонстрирует как преобразовывается данное выражение, так как мне решительно ничего в голову не приходит.

[svv]

$7-4\sqrt 3 = 4-4\sqrt 3 +3$
Попытайтесь изо всех сил увидеть здесь $a^2-2ab+b^2$.
То есть понять, чему надо положить $a$ и $b$ в выражении $a^2-2ab+b^2$, чтобы получилось $4-4\sqrt 3 +3$.

[horda2501]

Кажется поняла. По сути, алгоритм в решениях такого рода задач в том, что самое первое, что нужно сделать это разделить на 2 "неудобный" средний член "скрытого" трёхчлена квадрата суммы/разности. И далее уже работать с этим $2ab$. Соответственно, $\sqrt{9-4\sqrt{3}}=(\sqrt{}2^2-2\cdot2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2)$. Далее $(\sqrt({2}-\sqrt{5})^2$ это $\sqrt{5}-2$, так как под корнем отрицательное число и его модулем будет число противоположенное.

Кстати, это во всех учебниках такое несвоевременное противоречие присутствует? То есть, сначала утверждается, что из отрицательного числа корень нельзя извлечь, так как нет числа, которое при умножении на само себя даст отрицательное число, а потом предлагается работать с "модулем действительного числа", который у отрицательного иррационального числа будет числом противоположенным? Это, пожалуй, на данный момент самый запутанный момент в программе этого учебника

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1639101 писал(а):

Далее $\sqrt{({2}-\sqrt{5})^2}$ это $\sqrt{5}-2$, так как под корнем отрицательное число и его модулем будет число противоположенное

Не так. Если бы под корнем было отрицательное число, то корень вообще бы не существовал.

Хотя ${2}-\sqrt{5}$ отрицательно, но под корнем стоит неотрицательное (точнее, положительное) число $({2}-\sqrt{5})^2$. Оно неотрицательно, потому что квадрат любого числа неотрицателен.

Есть такое правило: $\sqrt{x^2}=|x|$ - и здесь $x$ уже может быть как положительным, так и отрицательным. Подставляя сюда $x={2}-\sqrt{5}$, получаем $\sqrt{({2}-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|$. Число $2-\sqrt{5}$ отрицательно, поэтому его модуль противоположен этому числу: $|2-\sqrt{5}|=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2$.

Чтобы понять, что здесь к чему и почему, рассмотрите более простые примеры. Чему равно $\sqrt{(-3)^2}$? Чему равно $\sqrt{5^2}$? Чему равно $\sqrt{(-7)^2}$? Чему равно $\sqrt{x^2}$ в случае, когда $x$ неотрицательно? А если $x$ отрицательно?

[horda2501]

На данный момент это объясняется следующим образом. Мол, у действительного числа есть модуль, как у любого другого. Если число отрицательное, то модуль его число противоположенное, а если действительное число положительное, то модуль есть само это число. Мол, ребята, это кусочная функция, работает так-то (слева х в модульных скобках, справа объединены фигурной скобкой х и -х для случаев х равен и больше нуль и х меньше нуля, соответственно). Более подробной и ясной теории на данном этапе нет, только практические упражнения. Поэтому и возникает эта путаница. Возможно, что я просто не так поняла что-то, конечно. Буду ждать ответа в следующей серии, так сказать

[Mikhail_K]

horda2501
Ответьте на эти вопросы (не привлекая никаких непонятных Вам теорий), тогда может быть что-то прояснится:

Mikhail_K в сообщении #1639104 писал(а):

Чему равно $\sqrt{(-3)^2}$? Чему равно $\sqrt{5^2}$? Чему равно $\sqrt{(-7)^2}$? Чему равно $\sqrt{x^2}$ в случае, когда $x$ неотрицательно? А если $x$ отрицательно?