Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz

[EUgeneUS]

Ivan 09 в сообщении #1633514 писал(а):

$t^3+4t^2+5t+3=9(t+1)zy$

Тут про нечетный $y^2$ слева забыли.

[mathpath]

Разложение корней ничем не примечательно:
x = 5 * 37 * 349 * 130369 * 2325997176536213467129
y = 3 * 110066147 * 307870658807
z = 2 * 3 * 61 * 670613 * 1116593 * 35525281210219 * 43031852039279

Я надеялся, что факторизация будет очень простая, что-то типа 2^n + 1, 3^n-1 ....

-- 20.03.2024, 19:13 --

maxal в сообщении #1632219 писал(а):

Найдите хотя бы одно решение уравнения $1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz$ в целых числах $x,y,z$.

Другие решения известны ?

[Ivan 09]

EUgeneUS в сообщении #1633517 писал(а):

Тут про нечетный $y^2$ слева забыли.

Чётность\нечётность зависит от $3+y^2-9yz$
$y(y-9z)$
Получается, доказал, что z-чётная. Так как одинаковой четности($z$, $y$ ) они не могут быть.
Теперь, правильно?

[EUgeneUS]

Ivan 09 в сообщении #1633521 писал(а):

Теперь, правильно?

Нет.
Из обязательной четности левой части, следует, что $9xyz$ - четное.
Откуда следует, что $xy$ - четное. И всё.

[Ivan 09]

EUgeneUS в сообщении #1633525 писал(а):

Нет.

В начальном уравнении $x,y,z$ одновременно не могут быть нечётными(все три), так как правая часть будет нечётной при чётной левой.
Поэтому $9xyz$-всегда четное.
То есть, я исходил что правая часть чётная и уже надо рассматривать левую.

[mathpath]

Ivan 09 в сообщении #1633527 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1633525 писал(а):

Нет.

В начальном уравнении $x,y,z$ одновременно не могут быть нечётными(все три), так как правая часть будет нечётной при чётной левой.
Поэтому $9xyz$-всегда четное.
То есть, я исходил что правая часть чётная и уже надо рассматривать левую.

Рассуждения о четности-нечетности корней в данном контексте не несут особой пользы
Представьте, что у вас есть бесконечно множество чисел, которые разделены на 2 группы - четные и нечетные
Мы решаем, что корень четный, и убираем нечетную половину
В результате мы получаем четную половину от исходной бесконечности, которая также является бесконечностью
Это фильтр никак не поможет в поиске

[maxal]

mathpath в сообщении #1633519 писал(а):

Другие решения известны ?

На всех решений не напасешься Но вот ещё одно завалялось:

x = 134398663297274547209137686278055005569690302475018
y = 99289900600732241944365446997153
z = 20213536978090153723578064261881061403832912545088461051439794069731

[vicvolf]

maxal в сообщении #1633492 писал(а):

Подавляющее большинство проголосовало за букву - вот одна из:

x = -19578556686240310295378317903565
y = 101658411567714319887
z = 418962851513108789978912616277180591709694

Я предлагал сделать перебор для $x<0$.

vicvolf в сообщении #1632713 писал(а):

Интересным свойством исходного уравнения, как уже говорилось, является то, что левая часть уравнения должна быть кратна $9$, так как это значительно сокращает количество вариантов перебора. Кроме того, для того, чтобы левая часть была отрицательна, значение $x$ должно быть отрицательно. В этом случае, для того чтобы правая часть тоже была отрицательна, произведение $yz>0$, т.е $y,z$ должны иметь одинаковые знаки. Интересно в переборе рассмотреть именно этот случай: $x<0$, $yz>0$ и значение $1+x^2+x^3+y^2$ - кратно $9$. Может быть это что-то даст?

Без перебора вариантов не обойтись. Другое дело сократить количество вариантов и проверить только неизвестные с небольшим количеством делителей.

[juna]

EUgeneUS в сообщении #1633472 писал(а):

Допустимые остатки $x$ по модулю $81$: $4, 13, 67$.

Допустимые остатки по модулю 9:

$$x\equiv 4 \mod 9, y \equiv \{0,3,6\}\mod 9$$

Можно заметить, что $y\equiv 0\mod 3$, значит $y_1 = \frac{y}{3}, 1+x^2+x^3+9y_1^2=27xy_1z$

[mathpath]

В обоих решениях
НОД(y² + 1, x) = x

[EUgeneUS]

maxal в сообщении #1633562 писал(а):

На всех решений не напасешься Но вот ещё одно завалялось:

А это точно решение?
$x$ не проходит по модулю 9 (и по модудю 81)

[worm2]

По ознакомлению с примерами, у меня по-прежнему никаких мыслей о том, как они могли быть получены.
Несколько удивляет, что $y$ мало по сравнению с $x$. Т.е. $1+x^2+x^3$ раскладывается в произведение множителей, сильно отличающихся по порядку величины. Это может быть намёком на метод поиска.
У меня были попытки поиска решений в виде многочленов от некоторого параметра $t$. Но с такими огромными числами ясно, что это тупиковый путь.
Вероятно, для поиска использовалась процедура с экспоненциальным ростом, наподобие сложения точек на эллиптических кривых. Однако не видно, как можно было бы с этой стороны подступиться.

[EUgeneUS]

juna в сообщении #1633584 писал(а):

Допустимые остатки по модулю 9:

$$x\equiv 4 \mod 9, y \equiv \{0,3,6\}\mod 9$$

Три допустимых остатка по модулю 81 - это более жесткое ограничение, чем один допустимый остаток по модулю 9.

[juna]

EUgeneUS в сообщении #1633590 писал(а):

juna в сообщении #1633584 писал(а):

Допустимые остатки по модулю 9:

$$x\equiv 4 \mod 9, y \equiv \{0,3,6\}\mod 9$$

Три допустимых остатка по модулю 81 - это более жесткое ограничение, чем один допустимый остаток по модулю 9.

Это неверно, их 4: 4, 13, 40, 67.
Например, $1+40^2+40^3+30^2\equiv 0 \mod 81$

[EUgeneUS]

juna в сообщении #1633592 писал(а):

Это неверно, их 4: 4, 13, 40, 67.

Перепроверил в своей табличке. Вы, правы, а я этот вариант просмотрел.
Но все равно, один из 9 это больше, чем 4 из 81.

Также снимается этот вопрос:

EUgeneUS в сообщении #1633588 писал(а):

А это точно решение?
$x$ не проходит по модулю 9 (и по модудю 81)