2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение20.03.2024, 18:04 
Аватара пользователя


11/12/16
13848
уездный город Н
Ivan 09 в сообщении #1633514 писал(а):
$t^3+4t^2+5t+3=9(t+1)zy$


Тут про нечетный $y^2$ слева забыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение20.03.2024, 18:09 


16/08/19
120
Разложение корней ничем не примечательно:
x = 5 * 37 * 349 * 130369 * 2325997176536213467129
y = 3 * 110066147 * 307870658807
z = 2 * 3 * 61 * 670613 * 1116593 * 35525281210219 * 43031852039279

Я надеялся, что факторизация будет очень простая, что-то типа 2^n + 1, 3^n-1 ....

-- 20.03.2024, 19:13 --

maxal в сообщении #1632219 писал(а):
Найдите хотя бы одно решение уравнения $1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz$ в целых числах $x,y,z$.


Другие решения известны ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение20.03.2024, 18:27 


14/09/16
281
EUgeneUS в сообщении #1633517 писал(а):
Тут про нечетный $y^2$ слева забыли.

Чётность\нечётность зависит от $3+y^2-9yz$
$y(y-9z)$
Получается, доказал, что z-чётная. Так как одинаковой четности($z$, $y$ ) они не могут быть.
Теперь, правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение20.03.2024, 19:05 
Аватара пользователя


11/12/16
13848
уездный город Н
Ivan 09 в сообщении #1633521 писал(а):
Теперь, правильно?


Нет.
Из обязательной четности левой части, следует, что $9xyz$ - четное.
Откуда следует, что $xy$ - четное. И всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение20.03.2024, 19:18 


14/09/16
281
EUgeneUS в сообщении #1633525 писал(а):
Нет.

В начальном уравнении $x,y,z$ одновременно не могут быть нечётными(все три), так как правая часть будет нечётной при чётной левой.
Поэтому $9xyz$-всегда четное.
То есть, я исходил что правая часть чётная и уже надо рассматривать левую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение20.03.2024, 19:38 


16/08/19
120
Ivan 09 в сообщении #1633527 писал(а):
EUgeneUS в сообщении #1633525 писал(а):
Нет.

В начальном уравнении $x,y,z$ одновременно не могут быть нечётными(все три), так как правая часть будет нечётной при чётной левой.
Поэтому $9xyz$-всегда четное.
То есть, я исходил что правая часть чётная и уже надо рассматривать левую.


Рассуждения о четности-нечетности корней в данном контексте не несут особой пользы
Представьте, что у вас есть бесконечно множество чисел, которые разделены на 2 группы - четные и нечетные
Мы решаем, что корень четный, и убираем нечетную половину
В результате мы получаем четную половину от исходной бесконечности, которая также является бесконечностью
Это фильтр никак не поможет в поиске

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение20.03.2024, 23:09 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
mathpath в сообщении #1633519 писал(а):
Другие решения известны ?

На всех решений не напасешься :-) Но вот ещё одно завалялось:
Код:
x = 134398663297274547209137686278055005569690302475018
y = 99289900600732241944365446997153
z = 20213536978090153723578064261881061403832912545088461051439794069731

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение20.03.2024, 23:29 


23/02/12
3357
maxal в сообщении #1633492 писал(а):
Подавляющее большинство проголосовало за букву - вот одна из:
Код:
x = -19578556686240310295378317903565
y = 101658411567714319887
z = 418962851513108789978912616277180591709694
Я предлагал сделать перебор для $x<0$.
vicvolf в сообщении #1632713 писал(а):
Интересным свойством исходного уравнения, как уже говорилось, является то, что левая часть уравнения должна быть кратна $9$, так как это значительно сокращает количество вариантов перебора. Кроме того, для того, чтобы левая часть была отрицательна, значение $x$ должно быть отрицательно. В этом случае, для того чтобы правая часть тоже была отрицательна, произведение $yz>0$, т.е $y,z$ должны иметь одинаковые знаки. Интересно в переборе рассмотреть именно этот случай: $x<0$, $yz>0$ и значение $1+x^2+x^3+y^2$ - кратно $9$. Может быть это что-то даст?
Без перебора вариантов не обойтись. Другое дело сократить количество вариантов и проверить только неизвестные с небольшим количеством делителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 10:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
EUgeneUS в сообщении #1633472 писал(а):
Допустимые остатки $x$ по модулю $81$: $4, 13, 67$.

Допустимые остатки по модулю 9:
$$x\equiv 4 \mod 9, y \equiv \{0,3,6\}\mod 9$$
Можно заметить, что $y\equiv 0\mod 3$, значит $y_1 = \frac{y}{3}, 1+x^2+x^3+9y_1^2=27xy_1z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 10:40 


16/08/19
120
В обоих решениях
НОД(y² + 1, x) = x

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 11:04 
Аватара пользователя


11/12/16
13848
уездный город Н
maxal в сообщении #1633562 писал(а):
На всех решений не напасешься :-) Но вот ещё одно завалялось:


А это точно решение?
$x$ не проходит по модулю 9 (и по модудю 81)

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 11:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3127
Уфа
По ознакомлению с примерами, у меня по-прежнему никаких мыслей о том, как они могли быть получены.
Несколько удивляет, что $y$ мало по сравнению с $x$. Т.е. $1+x^2+x^3$ раскладывается в произведение множителей, сильно отличающихся по порядку величины. Это может быть намёком на метод поиска.
У меня были попытки поиска решений в виде многочленов от некоторого параметра $t$. Но с такими огромными числами ясно, что это тупиковый путь.
Вероятно, для поиска использовалась процедура с экспоненциальным ростом, наподобие сложения точек на эллиптических кривых. Однако не видно, как можно было бы с этой стороны подступиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 11:08 
Аватара пользователя


11/12/16
13848
уездный город Н
juna в сообщении #1633584 писал(а):
Допустимые остатки по модулю 9:
$$x\equiv 4 \mod 9, y \equiv \{0,3,6\}\mod 9$$


Три допустимых остатка по модулю 81 - это более жесткое ограничение, чем один допустимый остаток по модулю 9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
EUgeneUS в сообщении #1633590 писал(а):
juna в сообщении #1633584 писал(а):
Допустимые остатки по модулю 9:
$$x\equiv 4 \mod 9, y \equiv \{0,3,6\}\mod 9$$


Три допустимых остатка по модулю 81 - это более жесткое ограничение, чем один допустимый остаток по модулю 9.

Это неверно, их 4: 4, 13, 40, 67.
Например, $1+40^2+40^3+30^2\equiv 0 \mod 81$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz
Сообщение21.03.2024, 11:24 
Аватара пользователя


11/12/16
13848
уездный город Н
juna в сообщении #1633592 писал(а):
Это неверно, их 4: 4, 13, 40, 67.


Перепроверил в своей табличке. Вы, правы, а я этот вариант просмотрел. :roll:
Но все равно, один из 9 это больше, чем 4 из 81.

Также снимается этот вопрос:
EUgeneUS в сообщении #1633588 писал(а):
А это точно решение?
$x$ не проходит по модулю 9 (и по модудю 81)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 79 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group