Основания классического математического анализа.

[tolstopuz]

talash в сообщении #1631193 писал(а):

Цитата:

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси, благодаря введению в 1637 г. Рене Декартом прямоугольной системы координат. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция $1:(-1)=(-1):1$ — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Валлис считал, что отрицательные числа меньше нуля, но в то же время больше, чем бесконечность[4]. Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии

Очень показательная цитата. У меня регулярно возникает ощущение, что вы хотите вернуть математику к тем временам. По сравнению с движением к основаниям это направление абсолютно противоположно.

[Booker48]

talash
Посмотрите книгу Ф. Клейна "Элементарная маематика с точки зрения высшей", т. 1. Ей, конечно, лет 150, но написал её крутой математик для учителей математики. Он там делает акцент именно на понимании учениками разных математических тонкостей, и на методических ошибках учителей. В частности тех, которые правило знаков пытались "доказать". В данном случае с помощью геометрических аналогий. Очень подробно разбирает, на стр. 39-44 (издание 4, Москва, Наука, 1987).

[epros]

talash в сообщении #1631291 писал(а):

Давайте называть это не "правила", а "свойства".

Без разницы как называть. Суть в том, что эти правила изучали и использовали.

talash в сообщении #1631291 писал(а):

Так что получается, что одни свойства сохранили, другие нет. Можно было сделать другой выбор, сделать другое определение отрицательных чисел. Это вопрос удобства. Скорее всего проверили на примерах и пришли к выводу, что сохранить эти свойства удобнее, чем другие.

Вот именно, что удобства. Никому не охота переучивать кучу людей, которые приучены раскрывать скобки и менять порядок операций. Из всей аксиоматики Пеано на самом деле ради отрицательных чисел изменили только одну аксиому: что у нуля нет предшественника.

talash в сообщении #1631291 писал(а):

Поэтому, мне и нужен закон Кулона, как пример из физики, который показывает, что сделанный выбор в данном случае удобнее.

А вот закон Кулона и вся остальная физика на это уж точно никак не повлияли.

[talash]

Booker48 в сообщении #1631294 писал(а):

talash
Посмотрите книгу Ф. Клейна "Элементарная маематика с точки зрения высшей", т. 1. Ей, конечно, лет 150, но написал её крутой математик для учителей математики. Он там делает акцент именно на понимании учениками разных математических тонкостей, и на методических ошибках учителей. В частности тех, которые правило знаков пытались "доказать". В данном случае с помощью геометрических аналогий. Очень подробно разбирает, на стр. 39-44 (издание 4, Москва, Наука, 1987).

Спасибо за наводку, на мой взгляд очень толковая и честная книга. Цитата:

Цитата:

Конечно, сомнения еще оставались и должны были оставаться до тех пор, пока все еще старались интерпретировать отрицательное число как количество предметов и не уяснили себе возможности априорного установления формальных законов; в связи с этим возникали постоянные попытки доказать правило знаков. Простое разъяснение, которое принес только XIX в., заключается в том, что о логической необходимости этого положения, о его доказуемости не может быть речи. Напротив, речь может идти только о том, чтобы признать его логическую допустимость; в остальном же оно является произвольным и регулируется лишь соображениями целесообразности и приведенным выше принципом перманентности.

[dmd]

EminentVictorians

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1624978 писал(а):

Кроме чистой алгебраичности, в поле Леви-Чивита есть бесконечно малые, а это Вы тоже вроде хотели (судя по тому, что Вам не нравятся пределы).

Сорри что сразу не ответил.
Нет, в моем представлении алгебраический анализ должен быть полностью финитным, т.е. и без пределов, и без теории множеств, и без безконечномалых. Это просто полиномная алгебра, а не полиномных функций в алгебраическом анализе, IMHO, не существует. Элементарная функция только одна - полином. $sin(x),log(x),exp(x),\sqrt{x}$ и т.п. - не элементарные функции, а операторы, внутрь которых запакованы конечный полином плюс некоторая логика вокруг конструктивной сходимости. Производные - просто меняющиеся коэффициенты полиномной функции, выражения для них получаются школьной алгеброй, без пределов, без каких-либо $dx/dy$, без отбрасывания старших степеней разложений и т.п. Любая частная производная многомерной функции - просто ее соответствующий коэффициент. Конечно, синтаксис таких полиномов с меняющимися коэффициентами должен несколько отличаться от синтаксиса стандартных полиномов.

Цитата:

действительно есть версии анализа, где любая гладкая функция эквивалентна полиному, так что зря все на dmd накидывались все эти годы. Если в качестве базового кольца взять Fermat real numbers (очень классное неархимедово расширение $\mathbb R$ с бесконечно малыми разных порядков, причем среди них есть нильпотенты, из-за чего эти числа не собираются в поле, а только в кольцо), то там действительно любая гладкая функция - локально - в точности полином (т.к. благодаря бесконечно малым тейлоровский остаток становится в точности нулевым)

Думаю, в любом анализе то, в какой форме всегда получается тейлорово разложение, и должно бы заставлять математиков задумываться об изначальной полиномиальности всего.

Переменные и функции - тоже основания мат.анализа. Все ли с ними хорошо в классическом анализе?

Рассмотрим наипростейшее нелинейное движение - падение камня. Держим в руке камень, отпускаем его и он падает на землю под ноги. Пока камень в руке, его скорость $V_0=0$. При соударении камня с землей его скорость $V_{max}$. Где-то в полете у него скорость $V_1$ такая что $V_0<V_1<V_{max}$. Скорость - коэффициент в линейном члене функции движения. Скорость меняется! Но в стандартном мат.ане нет полиномных функций с меняющимися коэффициентами. Тогда сколько у нас функций для полного описания полета камня? Одна функция? Или безконечный набор РАЗНЫХ функций?

(Противоположное мнение: функции вообще не нужны)

Норман Вилдбергер утверждает, что внятно ввести переменные и функции вряд ли возможно. Сначала не понимал, почему это так, но посмотрев его курс алгебраического калкулуса теперь наверное отчасти соглашусь. Рассматривая кривые над рациональными числами на аффинной плоскости, он строит вычисление знакоориентированной площади сегмента между кривой и пересекающей прямой как суммирование площадей вписанных треугольников. Для полиномиально параметризуемых кривых значения площадей получаются алгебраически точными без безконечных процессов, действительно элегантно красиво, для остальных кривых значения площадей получаются приближенными. При обобщении вводится оператор получения площади, равноценный формулам определенного интегрирования в классическом анализе. Заранее предупреждалось, что получить интегрирование на кривых будет значительно проще чем, дифференцирование. Оператор производной он получает из наблюдения за суммами степеней Фаулхабера, что на мой взгляд получилось как-то безсвязно. Выглядит конечно в точности похоже на производные, но как связать с кривыми и почему нужно ввести оператор непонятно. При этом переменные и функции он совсем не вводил в изложение, они просто не понадобились. Все обозначения типа $p(\alpha),S(p),D(p)$ - это операторы, не функции.

[talash]

talash в сообщении #1629515 писал(а):

Переходя к математике - идеальному миру, мы принимаем, что ряд натуральных чисел неограничен, к любому числу можно прибавить единицу. Это интуитивно очевидно, потому что до некоторого предела мы можем это делать в реальности с реальными предметами, а в воображении мы можем это делать всегда. Но аналогичная идея касается и дробления, мы в реальной жизни можем метр последовательно трижды разделить на 10 делений, а в своём воображении мы всегда можем приблизить линейку и увидеть там новые деления.

Ищу изложение оснований математики близкое к этим моим представлениям. Отмечу что-то похожее у Клейна, он пишет об интуитивном представлении вещественного числа, а также о целесообразности разделения математики на точную и приближённую. Вот эта идея с разделением математики представляется интересной, кажется она может красиво разрешить некоторые "костыли" типа неоднозначного представления чисел в виде десятичных дробей.

Цитата:

Здесь я предпочел бы остановиться еще на том, чего вы в книгах обыкновенно не найдете: именно, на том, как можно перейти от изложенной здесь арифметической теории иррациональных чисел к их применению в других областях. В особенности я имею в виду здесь аналитическую геометрию, которую иногда по наивной интуиции принимают за источник иррациональных чисел и которая психологически действительно является этим источником.

Если мы возьмем числовую ось, на которой, как выше, нанесены начало и все рациональные точки, то основное положение, на котором покоится это применение, гласит: каждому рациональному или иррациональному числу отвечает точка, имеющая это число своей координатой; каждой точке на прямой отвечает в качестве координаты рациональное или иррациональное число.

Такого рода исходное положение, которое стоит во главе дисциплины, из которого все дальнейшее вытекает чисто логически, тогда как само оно не может быть логически доказано, мы называем аксиомой. Отдельные математики в зависимости от сложившихся у них взглядов смотрят на аксиому как на интуитивно ясную истину или как на более или менее произвольное соглашение. Настоящая аксиома о взаимно однозначном соответствии между всеми действительными числами, с одной стороны, и точками прямой, с другой стороны, обыкновенно называется аксиомой Кантора, который первый точно ее сформулировал (в 1872 г.).

Здесь будет уместно сказать несколько слов о природе наших пространственных представлений.

Это выражение, строго говоря, можно понимать двояко: с одной стороны, можно иметь в виду непосредственное чувственное, эмпирическое представление о пространстве, которое мы контролируем при помощи измерения; с другой стороны, — отвлеченное, внутреннее представление о пространстве, можно было бы сказать, присущую нам идею о пространстве, которая возвышается над неточностью чувственных восприятий. Такого рода различие вообще имеет место при каждом интуитивном представлении, как я уже имел случай указать по поводу развития понятия числа; лучше всего оно поясняется, быть может, следующим примером. Что означает небольшое число 2, 5 или 7, нам непосредственно ясно, но о больших числах, например о числе 2503, мы уже не имеем такого непосредственного, наглядного представления. Здесь, напротив, находит себе применение внутреннее представление о расположенном числовом ряде, которое мы себе составляем, исходя из начальных чисел, при помощи совершенной индукции. Что касается представления о пространстве, то дело обстоит так: если мы рассматриваем расстояние между двумя точками, то мы можем оценить и измерить его лишь с ограниченным приближением, так как наш глаз неспособен различать отрезки, имеющие длину ниже некоторой границы; это есть так называемый порог ощущения — понятие, играющее чрезвычайно важную роль во всей психологии. Но по существу дело не изменяется и в том случае, если мы усиливаем наш глаз самыми тонкими инструментами, так как и они имеют известные границы точности. Таким же образом и при всяких других физических наблюдениях и измерениях мы наталкиваемся на такого рода пороги ощущения, которые устанавливают предел возможной точности. Указания, попадающие за эти пределы, никакого значения уже не имеют и свидетельствуют с невежестве или даже о недобросовестности.

В противоположность этому свойству эмпирического представления о пространстве, необходимо ограниченного известным приближением, абстрактное или идеальное представление о пространстве обладает неограниченной точностью и в силу канторовой аксиомы обнаруживает полный параллелизм с арифметическим пониманием числа.

В соответствии с этим целесообразно и саму математику разделить на две части: на математику точную и математику приближенную. Выясним это различие на примере уравнения $f(x) = 0$. В приближенной математике, как и в случае наших действительных эмпирических представлений, речь идет не о том, чтобы $f(x)$ точно обратилось в нуль, а только о том, чтобы значение функции $|f(x)|$ оказалось ниже достижимого порога точности; таким образом, равенство $f(x) = 0$ должно служить только сокращенным выражением неравенства

с которым фактически и приходится иметь дело. Выполнение же строгого требования равенства $f(x) = 0$ составляет уже задачу точной математики. Так как в приложениях играет роль только приближенная математика, то можно, выражаясь грубо, сказать, что мы имеем потребность, собственно, в этой последней дисциплине, между тем как точная математика существует только для удовольствия тех, которые ею занимаются, а в остальном составляет лишь опору для математики приближенной.

https://www.mathedu.ru/text/kleyn_eleme ... _1987/p54/

[мат-ламер]

Ф. Клейн в сообщении #1633273 писал(а):

Так как в приложениях играет роль только приближенная математика, то можно, выражаясь грубо, сказать, что мы имеем потребность, собственно, в этой последней дисциплине, между тем как точная математика существует только для удовольствия тех, которые ею занимаются, а в остальном составляет лишь опору для математики приближенной.

Однако

[Alpha AXP]

talash в сообщении #1631193 писал(а):

epros в сообщении #1631154 писал(а):

talash в сообщении #1631136 писал(а):

Сейчас я развиваю мысль, что правило умножения отрицательных чисел не является интуитивно очевидным,

Вам интуитивно не очевидно, что правила выполнения арифметических операций для отрицательных чисел должны быть теми же, что для положительных?

Это очевидно, но при этом получается неожиданный результат.

talash в сообщении #1631123 писал(а):

Продолжите ряд:

$$2 + 2 = 4$$

$$2 \times 2 = 4$$

$$(-2) + (-2) = -4$$

... Что следующее?

$$(-2) \times (-2) = 4\hspace{10} \color{red} WHY???$$

Поэтому появились вопросы.

-- 28.02.2024, 08:29 --

То что вопрос не такой простой, подтверждает исторический очерк, а задним умом многие сильны.

Цитата:

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси, благодаря введению в 1637 г. Рене Декартом прямоугольной системы координат. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция
$\displaystyle 1:(-1)=(-1):1$ — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Валлис считал, что отрицательные числа меньше нуля, но в то же время больше, чем бесконечность[4]. Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.
вики

Отрицательные числа делают геометрию неоднородной. Например переход к другой СК может поменять знак координаты точки. Это вносит неоднородность и неестественность. Без отрицательных чисел в геометрии вполне можно обойтись. Положение любой точки можно однозначно задать положительными вещественными без знака. Причем уравнения кривых получаются очень интересными и появляются ряд новых линий. Также расстояние между точками выражается оригинальными формулами.
С введением декартовой системы координат и отрицательных чисел в геометрию мы подсели на эту искусственную, но очень удобную систему и перестали разрабатывать другие типы оснований, вследствие чего потеряли и не развили огромные направления в геометрии и математике в целом. Незря при введении отрицательных чисел в геометрию шли такие жаркие дебаты. Нужно было развивать оба направления, как с ними, так и без них.
Сейчас направление без отрицательных чисел не пахано и можно там добиться новых и интересных результатов. На мой субъективный взгляд там можно будет найти инструменты, которых недостает современной физике.

[EUgeneUS]

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

Отрицательные числа делают геометрию неоднородной.

Чего?

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

Это вносит неоднородность и неестественность.

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

Без отрицательных чисел в геометрии вполне можно обойтись.

В геометрии вообще можно обойтись без чисел.

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

Положение любой точки можно однозначно задать положительными вещественными без знака.

В полярных или сферических координатах можно ввести соглашения, что все координаты будут больше или равны нулю. И что?

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

и появляются ряд новых линий.

Чего?
Линия - это геометрическое место точек, множество. Она и без любой системы координат может существовать.

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

Также расстояние между точками выражается оригинальными формулами.

Коэффициенты Ламэ - оригинальные формулы? Оригинально.

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

перестали разрабатывать другие типы оснований,

Опасаюсь, что здесь "типы оснований" - это уже что-то из очень сильной химии.

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

вследствие чего потеряли и не развили огромные направления в геометрии и математике в целом.

Чего?

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

На мой субъективный взгляд там можно будет найти инструменты, которых недостает современной физике.

[tolstopuz]

EUgeneUS в сообщении #1633301 писал(а):

(Оффтоп)

Были тут не признающие ньютоновскую механику, не признающие бесконечных десятичных дробей, кто-то не признаёт отрицательных чисел. Наверняка есть и не признающие письменность, но они не могут нам ответить...

[talash]

Alpha AXP
у Вас слишком много оригинальных идей, им будет тесно в этой теме, заведите свою.

[Alpha AXP]

EUgeneUS в сообщении #1633301 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

Отрицательные числа делают геометрию неоднородной.

Чего?

Изложил подробное объяснение в соседней ветке, как просил ТС.

EUgeneUS в сообщении #1633301 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

Это вносит неоднородность и неестественность.

:

Ничего не могу ответить на смайл, т.к. из него непонятно с чем Вы не согласны или что Вам неясно. Лучше вместо смайлов пишите Ваши вопросы или возражения словами.

EUgeneUS в сообщении #1633301 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

Без отрицательных чисел в геометрии вполне можно обойтись.

В геометрии вообще можно обойтись без чисел.

Геометрии и задачи в них бывают разные. В каких- то можно, в каких- то нельзя.

EUgeneUS в сообщении #1633301 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

Положение любой точки можно однозначно задать положительными вещественными без знака.

В полярных или сферических координатах можно ввести соглашения, что все координаты будут больше или равны нулю. И что?

Соглашений можно навводить разных сколько угодно. Главное понимать для чего они вводятся.

EUgeneUS в сообщении #1633301 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

и появляются ряд новых линий.

Чего?
Линия - это геометрическое место точек, множество. Она и без любой системы координат может существовать.

Кривая в одной системе координат может выражаться просто, а в другой очень сложно.
И некоторые кривые, которые выражаются сложно в декартовой и полярной СК неизвестны, но они легко выражаются в рассматриваемой СК

EUgeneUS в сообщении #1633301 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

Также расстояние между точками выражается оригинальными формулами.

Коэффициенты Ламэ - оригинальные формулы? Оригинально.

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

перестали разрабатывать другие типы оснований,

Опасаюсь, что здесь "типы оснований" - это уже что-то из очень сильной химии.

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

вследствие чего потеряли и не развили огромные направления в геометрии и математике в целом.

Чего?

Alpha AXP в сообщении #1633296 писал(а):

На мой субъективный взгляд там можно будет найти инструменты, которых недостает современной физике.

Ну в общем Ваши возражения эмоциональны и неаргументированны, вероятно вследствие того, что Вы не ознакомились с разработками в этом направлении.

-- 18.03.2024, 22:02 --

talash в сообщении #1633305 писал(а):

Alpha AXP
у Вас слишком много оригинальных идей, им будет тесно в этой теме, заведите свою.

Ок.

[talash]

Мне не нравится(потому что непонятно) как часто вводят понятие вещественного числа в основаниях традиционной математики. Интуитивное описание оснований зачастую сводится к натуральным числам, которые используются для счёта предметов. Сложение, умножение натуральных чисел бывает также показывают наглядно на интуитивно понятных примерах. А далее на интуитивные понятие пытаются не опираться. Обыкновенные дроби вводятся, как обобщение операции деления, так получаются рациональные числа. Затем оказывается, что не все числа рациональны и приводят пример квадратного корня из 2. Называют эти числа иррациональными и вроде как в сумме получают вещественные числа. Но тут видна непоследовательность, эти новые числа должны определяться, как алгебраические, то есть числа, которые являются корнями алгебраических уравнений. В итоге непонятно из каких идей получаются вещественные числа.

Я за подход, где вещественные числа считаются такими же интуитивно очевидными, как и натуральные. Интуиция это совокупность приобретённых в результате жизненного опыта, а также врождённых, знаний и способностей. Приобретённых знаний человеку может не хватать, чтобы для него вещественные числа стали интуитивно очевидными. Отсюда желательно иметь подробное описание, интуитивную часть оснований традиционной математики, для лучшего усвоения предмета.

talash в сообщении #1633273 писал(а):

Отмечу что-то похожее у Клейна, он пишет об интуитивном представлении вещественного числа, а также о целесообразности разделения математики на точную и приближённую. Вот эта идея с разделением математики представляется интересной, кажется она может красиво разрешить некоторые "костыли" типа неоднозначного представления чисел в виде десятичных дробей.

Приблизительная идея пока такая. Мы можем наглядно показать, что такое приближённая математика в видеороликах или в интерактивном компьютерном приложении. В идеальном математическом мире есть объекты и наблюдатель. Каждый объект снабжён встроенной идеальной линейкой. Наблюдатель может приблизиться к объекту и увидеть его примерную длину. Далее он может неограниченно приближаться к краю объекта, где находится конец линейки, и видеть всё более точные деления.

Наблюдатель заранее не знает длину объекта. И для него не существует понятий иррациональное или рациональное число, он может увидеть только приближённое число, с той точностью, которую возжелает.

Мы не задаём строгое правило какие деления будут на линейке, можем использовать десятичные дроби, но можем и обыкновенные.

Вот это наблюдаемое число на линейке и будет называться вещественным числом в приближённой математике.

Раз мы можем наблюдать длину объекта с неограниченной точностью, при этом наблюдения можем повторять и будем получать те же значения, то внутри системы должна работать точная математика, должен быть задан алгоритм, который с бесконечной точностью описывает длину объекта. Наблюдатель способен получить только конечное приближение длины объекта, но поскольку нет ограничений сколько раз он может приближаться к линейке, то внутренний алгоритм должен быть бесконечно точным, чтобы покрыть любую возможную потребность в точности.

Если мы зададим внутренний алгоритм вычисления длины объекта точным числом 1.0 или зададим бесконечной дробью 0.(9), то наш наблюдатель очевидно не сможет определить разницу между этими числами точной математики.

[epros]

talash в сообщении #1633353 писал(а):

Но тут видна непоследовательность, эти новые числа должны определяться, как алгебраические, то есть числа, которые являются корнями алгебраических уравнений.

Число $\pi$ не алгебраическое.

talash в сообщении #1633353 писал(а):

В итоге непонятно из каких идей получаются вещественные числа.

Замыкание множества рациональных чисел Вас устроит как "идея"?

talash в сообщении #1633353 писал(а):

Интуиция это совокупность приобретённых в результате жизненного опыта, а также врождённых, знаний и способностей.

"Жизненный опыт" окажется очень убогим, если не читать учебников.

talash в сообщении #1633353 писал(а):

он может увидеть только приближённое число, с той точностью, которую возжелает.

С "приближёнными числами" куча проблем. Для начала нужно определиться с тем, какое именно приближение нас устраивает, одинаково ли оно во всех случаях или в некоторых требуется более высокая точность. Хорошо, допустим, что определились. Выбрали 16-разрядную арифметику в компьютере и решили, что нам достаточно. Теперь проблема в том, чтобы проследить: А не выйдем ли мы за эти требования к точности при вычислениях? А это очень легко. Например, разность двух близких больших чисел имеет относительную точность гораздо хуже точности операндов.

[talash]

epros в сообщении #1633363 писал(а):

Число $\pi$ не алгебраическое.

Смотрите, вводя операцию деления, мы делаем обобщение понятия числа и называем новые числа, включающие целые - рациональными. У нас есть конкретная конструкция как эти числа получаются. А при введении иррациональных чисел таковой конструкции иногда не приводится, то есть, они вводятся по остаточному принципу, мол, все остальные числа, не являющиеся рациональными называются иррациональными. И приводятся какие-то примеры. В результате, есть понимание как получаются некоторые типы иррациональных чисел. А в целом это что-то мутное. Пример.

Когда вводят иррациональные числа через бесконечные непериодические десятичные дроби, то тут уже есть конструкция из которой следует понимание, что на этом понятие одиночного числа закончено. Потому что все разряды заняты до бесконечной точности. Далее обобщение понятия числа может идти только комбинируя одиночные числа, это так называемые комплексные числа. Но с десятичными дробями, как основой понятия числа, получается тоже не всё гладко из-за неоднозначности представления рациональных чисел. Поэтому, ищу лучшее решение.

Аксиоматический метод также является непонятным, потому что непонятно откуда взялись сами аксиомы.