Задача про плоский конденсатор

[paranoidandroid]

Ende
Название темы изменено на более содержательное. Пожалуйста, давайте темам названия, хотя бы минимально отражающие содержание задач.

Плоский конденсатор подключен к источнику тока. Пластины конденсатора имеют квадратную форму и изначально, диэлектриком в конденсаторе является воздух. Найдите силу, которую необходимо приложить к новому диэлектрику, чтобы поместить его в конденсатор. если емкость конденсатора $c$ , Диэлектрическая проницаемость нового диэлектрика равна $k$ И Э.Д.С источника равно $V$. Длина стороны пластины конденсатора - $a$. (Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало ,Трения и ускорения тоже нет и новый диэлектрик полностью заполняет емкость конденсатора).

Напряжение на обкладках конденсатора равно напряжению источника, как до размещения нового диэлектрика, так и после $V_{1}=V_{2}=V$.

Формулы: $E_{1}= \frac{cV^2}{2}; E_{2}=\frac{kcV^2}{2}; Q_{1}=cV ; Q_{2}=kcV \to \Delta Q =cV(k-1)$.

Так как, работа внешних сил равна изменению энергии конденсатора, имеем:

$A+V \Delta Q=- \Delta E \to F \cdot a + V \Delta Q=E_{1}-E_{2} \to F=\frac{1}{a}( \frac{cV^2}{2} - \frac{kcV^2}{2} - cV(k-1))$.

Где я ошибаюсь?

Спасибо заранее..

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1632812 писал(а):

Где я ошибаюсь?

<del>

Как минимум Вы ошиблись в описании.
С одной стороны:

paranoidandroid в сообщении #1632812 писал(а):

Так как, работа внешних сил равна изменению энергии конденсатора,

Что неверно, так как изменение энергии конденсатора равно работе внешних сил (механических) и источника тока.

Но, с другой стороны, в формуле ниже Вы учитываете работу источника тока.

-- 14.03.2024, 17:33 --

Теперь про формулу. Там две ошибки:

1. Почему у Вас работа внешней (механической силы) плюс работа источника тока равна минус изменению энергии конденсатора?

2. При подстановке в результирующую формулу $\Delta Q$ Вы забыли умножить на $V$, и в этом члене уравнения разъехалась размерность.

[paranoidandroid]

Я думал, что источник тока тоже считается внешней силой и поэтому так..

$- \Delta E $ потому что, ''электрическая сила'' , которую мы должны преодолеть - это потенциальная сила, а работа , совершаемая потенциальной силой, равна минус изменению потенциальной энергии.

-- 14.03.2024, 18:23 --

приведу аналогию: Какую работу необходимо совершить, чтобы поднять тело массы m с поверхности земли на высоту h?

В этом процессе гравитация совершит работу $A=- \Delta E=-(mgh - mg \cdot 0)=-mgh$ Но мы совершим работу $ A_{1}=-A=-(-mgh)=mgh$.

А в случае конденсатора будет :

$A+V \Delta Q = -(- \Delta E ) \to F=\frac{1}{a}(\frac{kcV^2}{2}-\frac{cV^2}{2}-cV^{2}(k-1))$..

Кажется, я осознал свою ошибку

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1632821 писал(а):

Я думал, что источник тока тоже считается внешней силой и поэтому так..

Можно и так считать, конечно.

paranoidandroid в сообщении #1632821 писал(а):

$- \Delta E $ потому что, ''электрическая сила'' , которую мы должны преодолеть - это потенциальная сила, а работа , совершаемая потенциальной силой, равна минус изменению потенциальной энергии.

Всё верно. Но нам нужно посчитать работу не этой силы, а внешней, которая эту уравновешивает.

paranoidandroid в сообщении #1632821 писал(а):

Кажется, я осознал свою ошибку

Вот и хорошо.

-- 14.03.2024, 19:17 --

EUgeneUS в сообщении #1632828 писал(а):

Но нам нужно посчитать работу не этой силы, а внешней, которая эту уравновешивает.

Вообще-то, про уравновешивание в условиях нет ни слова.
Но подумайте, что будет происходить с диэлектриком, если к нему вообще не будет приложена никакая внешняя сила? Вопрос интересный, кстати.

[paranoidandroid]

Предположим, что заряд конденсатора равен $Q$ , напряжение - $V$, Емкость - $c$ . внутри , кроме воздуха ничего нет и отключен от источника. Допустим, диэлектрик каким-то образом оказался в конденсатор и занял половину его объема.

Я думаю, мы можем представить этот конденсатор, как два конденсатора, соединенных параллельно (Пусть емкости этих конденсаторов равны $c_{1}$ и $c_{2}$).

$c_{1}=\frac{k \cdot {\varepsilon}_{0}S/2}{d}$ ; $c_{2}=\frac{1 \cdot {\varepsilon}_{0} S/2}{d}$ $\to$ $c_{\text{общ}}=c_{1}+c_{2}$

$c_{\text{общ}}=\frac{k+1}{2}c$

$E_{2}-E_{1}=\frac{c_{\text{общ}} V^2}{2} - \frac{c V^2}{2} $. Разность энергий не равна нулю, поэтому совершилась некоторая работа. Я думаю, эта энергия использовалась для поляризации зарядов так как количество зарядов на поверхности, занятой диэлектриком , k - раз больше, чем количество зарядов, оказавшихся на остальной части поверхности.

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1632854 писал(а):

кроме воздуха ничего нет и отключен от источника.

Тогда $V$ не будет постоянным (постоянным будет суммарный заряд).

Но Вы пытаетесь решить какую-то другую, новую задачу.

Предлагаю пока обсудить старую.
1. Вы получили ответ? Если да, то приведите его.
2. После этого, предлагаю подумать, что будет с диэлектриком, расположенным рядом с конденсатором, но не помещенным внутрь конденсатора, если на диэлектрик не действует никакая сила, кроме электростатической со стороны конденсатора.

[paranoidandroid]

Аа да.. нуу по моим расчетам, ответ на старую задачу выглядит так:

$A+V \Delta Q = -(- \Delta E ) \to F=\frac{1}{a}(\frac{kcV^2}{2}-\frac{cV^2}{2}-cV^{2}(k-1))$.

Что касается нового вопроса.. не знаю. Я думаю, что электрическое поле конденсатора будет поляризовать заряды в диэлектрике если мы поднесем его слишком близко.

[amon]

paranoidandroid в сообщении #1632812 писал(а):

Где я ошибаюсь?

Пусть у Вас имеется таинственный объект под названием Черная Дырка (ЧД). Про нее, как про всякую уважающую себя ЧД, ничего не известно, кроме того, что если в нее засунуть палку, то энергия ЧД зависит от глубины засовывания $x$ как $E(x).$ Палка засунута на глубину $x_0.$ Какую силу надо приложить что бы удержать палку?

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1632868 писал(а):

Аа да.. нуу по моим расчетам, ответ на старую задачу выглядит так:

Упростите выражение в скобках.

[paranoidandroid]

amon

Я думаю что $|F(x_{0})|=|-\frac{dE(x_{0})}{dx}|$.

EUgeneUS

$F=-\frac{cV^{2}(k-1)}{2a}$. Что за странная задача.. у меня нет идей.

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1632919 писал(а):

$F=-\frac{cV^{2}(k-1)}{2a}$.

Обратите внимание, что сила отрицательная. Что это означает?
После чего попробуйте ответить на второй вопрос:

EUgeneUS в сообщении #1632855 писал(а):

2. После этого, предлагаю подумать, что будет с диэлектриком, расположенным рядом с конденсатором, но не помещенным внутрь конденсатора, если на диэлектрик не действует никакая сила, кроме электростатической со стороны конденсатора.

[amon]

paranoidandroid в сообщении #1632919 писал(а):

Я думаю что $|F(x_{0})|=|-\frac{dE(x_{0})}{dx}|$.

Бинго! Теперь разберемся со знаками. Если энергия ЧД при засовывании палки увеличивается, то палка затягивается в ЧД или выталкивается?

[paranoidandroid]

По определению $E=E(x)$ - возрастающая функция. Это значит, что $\frac{d(E(x))}{dx}>0$ и соответственно $-\frac{d(E(x))}{dx}<0$ Оказалось, что проекция силы всегда отрицательна, т.е. при увеличении энергии, палка выталкивается..

[amon]

paranoidandroid в сообщении #1632933 писал(а):

т.е. при увеличении энергии, палка выталкивается..

Именно так. А что вас удивляет? Всякая уважающая себя физическая система норовит уменьшить свою энергию. Стаканы падают, тросы рвутся. Теперь замените ЧД на конденсатор с батарейкой, а палку на диэлектрик и насладитесь ответом в одну строчку.

[paranoidandroid]

Так как любая система пытается минимизировать собственную потенциальную энергию и учитывая, что первоначально энергия конденсатора была больше, чем после размещения диэлектрика, Получается, что конденсатор сам пытается вместить в себе диэлектрик, а мы препятствуем его