Задача про плоский конденсатор

[EUgeneUS]

Несколько позже отвечу развернуто.

А пока скажите, если:

paranoidandroid в сообщении #1633287 писал(а):

$F(x)>0$.

то диэлектрик втягивается в конденсатор или выталкивается?

[paranoidandroid]

Исходя из того, что работа силы F отрицательна, диэлектрик притягивается.

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1633349 писал(а):

Исходя из того, что работа силы F отрицательна, диэлектрик притягивается.

Вы написали:

paranoidandroid в сообщении #1633287 писал(а):

$F(x)>0$.

При этом с ростом $x$ диэлектрик перемещается внутрь конденсатора.
То есть работа силы при перемещении диэлектрика внутрь конденсатора, должна быть положительной. А Вы пишите, что она отрицательная. Разберитесь с этим.

[paranoidandroid]

Внутри конденсатора да, но я подразумевал ту работу которую совершаем мы, то есть держим диелектрика чтоб он не разгонялса.. но с другой стороны, F - внешняя сила и как так получилось, не понимаю.

[amon]

paranoidandroid в сообщении #1633364 писал(а):

Внутри конденсатора да, но я подразумевал ту работу которую совершаем мы, то есть держим диелектрика чтоб он не разгонялса.. но с другой стороны, F - внешняя сила и как так получилось, не понимаю.

Считайте, что в качестве источника питания используется конденсатор очень большой емкости.

[EUgeneUS]

paranoidandroid в сообщении #1633364 писал(а):

F - внешняя сила и как так получилось, не понимаю.

Придется вернуться на несколько шагов назад.

1. Насколько понимаю, Вы знаете, что сила, действующая на частицу в потенциальном поле $U(\mathbf{r})$, равна: $\mathbf{F} = - \nabla U(\mathbf{r})$

2. Однако, в нашем случае это (в таком виде) мало помогает. Так как кусок диэлектрика, конечно, находится в потенциальном силовом поле, как-то связанным с электрическим полем, но этим электрическим полем не являющимся. Но можем применить "расширенный" вариант (1). А именно:
а) если у нас есть механическая система, при этом силы, действующие внутри системы, потенциальны, то есть зависят только от координат (возможно, от координат всех тел), то опять же можно ввести потенциальную энергию.
б) но она уже будет зависеть не от координат одного тела, а от координат всех тел: $U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\mathbf{r_3},....)$
в) и тогда снова, сила действующая на i-тое тело: $\mathbf{F_i} = - \nabla_{r_i} U(\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\mathbf{r_3},....)$. Здесь символ $\nabla_{r_i}$ подчеркивает, что для расчета силы берутся частные производные по координатам i-того тела.
г) вывод этого, в общем-то понятного, но нетривиального утверждения, оставим за скобками. Посмотрите в учебниках.
д) при этом сила $\mathbf{F_i}$ - это сила, действующая на i-тое тело со стороны силового поля, а значит со стороны других тел, входящих в систему.

(продолжение следует)

-- 19.03.2024, 18:07 --

3. Предположим, что все тела системы удерживаются в состоянии покоя внешними силами $\mathbf{\tilde{F_i}}$, тогда $\mathbf{\tilde{F_i}} = - \mathbf{F_i}, \forall i$.
4. В момент времени $t=0$, одно из тел "отпустили": $\mathbf{\tilde{F_i}} = 0$. Как будет двигаться это тело близко к этом моменту? Очевидно, будет двигаться в направлении силы $\mathbf{F_i}$, тогда элементарная работа этой силы в этом момент: $\delta A (t=0) = \mathbf{F_i} \mathbf{s} = F_i s > 0$, то есть всегда будет больше нуля (или равно нулю при $\mathbf{F_i}=0$). Вне зависимости, втягивается диэлектрик в конденсатор или выталкивается! Но это, конечно, при свободном движении тела. Если же его внешней силой толкают (или тянут ) против $\mathbf{F_i}$, тогда работа силы $F_i$ будет отрицательной.

-- 19.03.2024, 18:09 --

5. Теперь нужно ввести систему координат. Задача одномерная, достаточно одной оси.
Вы выбрали $x$ так, что при его росте диэлектрик глубже вставляется в конденсатор. Так и выберем направление оси $Ox$. Тут попрошу сделать чертеж к задаче.

-- 19.03.2024, 18:13 --

а) Источника нет, заряд конденсатора постоянный.

paranoidandroid в сообщении #1633075 писал(а):

Пусть расстояние между обкладками конденсатора - $d$.

а) $q= \operatorname{const} \to c(x)=c_{1}+c_{2}=\frac{k {\varepsilon}_{0}ax}{d}+\frac{{\varepsilon}_{0}a(a-x)}{d}=\frac{(k-1) {\varepsilon}_{0}ax}{d}+\frac{a^{2}{\varepsilon}_{0}}{d}=\frac{(k-1) {\varepsilon}_{0}ax}{d}+c=\frac{(k-1) {\varepsilon}_{0}ax+cd}{d} \to E(x)=\frac{q}{2c(x)}=\frac{d q^{2}}{2((k-1) {\varepsilon}_{0}ax+cd)}$

Собственно, энергию конденсатора тут посчитали верно. А это в данном случае и есть потенциальная энергия системы.

paranoidandroid в сообщении #1633196 писал(а):

а) $F(x)=- \frac{d}{dx} (\frac{dq^{2}}{2((k-1){\varepsilon}_{0}ax+cd)})$

Тут Вы поставили минус перед производной. Вопросы:
1. Это Вы какую силу посчитали? Со стороны конденсатора? Или внешнюю, которая её уравновешивает?
2. Результат получился отрицательным. Что это означает?

-- 19.03.2024, 18:16 --

И замечания по обозначениям:
1. Если используете $d$ для обозначения дифференциалов, то не нужно использовать ту же букву для других целей.
2. Электрическую емкость принято обозначать $C$, чтобы не путалась со скоростью света $c$.

-- 19.03.2024, 18:27 --

paranoidandroid в сообщении #1633075 писал(а):

б) $V=\operatorname{const} \to c(x)=c_{1}+c_{2}=\frac{(k-1) {\varepsilon}_{0}ax+cd}{d} \to E(x)=\frac{c(x) V^{2}}{2}=\frac{((k-1) {\varepsilon}_{0}ax+cd) V^{2}}{2d}$.

Тут Вы правильно записали энергию конденсатора. Но в данном случае энергия конденсатора не равна потенциальной энергии системы!
Запишите полную потенциальную энергию системы для этого случая.

Удобно, в первую очередь для понимания, воспользоваться вот этим советом:

amon в сообщении #1633368 писал(а):

Считайте, что в качестве источника питания используется конденсатор очень большой емкости.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1633402 писал(а):

2. Результат получился отрицательным. Что это означает?

Уточнение:
а) производная получилась отрицательной.
б) а с учетом знака минус перед производной, результат будет положительным.
Вопрос тот же:

EUgeneUS в сообщении #1633402 писал(а):

Что это означает?

-- 19.03.2024, 19:28 --

EUgeneUS в сообщении #1633402 писал(а):

: $\delta A (t=0) = \mathbf{F_i} \mathbf{s} = F_i s > 0$

Ещё уточнение:
$\delta A (t=0) = \mathbf{F_i} d \mathbf{s} = F_i ds > 0$

[paranoidandroid]

Во первых , я безумно благодарен вам, за такое подробное объяснение и за внимание тоже.

EUgeneUS в сообщении #1633402 писал(а):

paranoidandroid в сообщении #1633196 писал(а):

а) $F(x)=- \frac{d}{dx} (\frac{dq^{2}}{2((k-1){\varepsilon}_{0}ax+cd)})$

Тут Вы поставили минус перед производной. Вопросы:
1. Это Вы какую силу посчитали? Со стороны конденсатора? Или внешнюю, которая её уравновешивает?
2. Результат получился отрицательным. Что это означает?

1. Да, это сила, с которой конденсатор действует на диэлектрик (втягивает его).

2. $(q=const) $( $F(x)=- \frac{d}{dx}(\frac{d_{0}q^2}{2((k-1){\varepsilon}_{0}ax+cd_{0}}))=\frac{2(k-1){\varepsilon}_{0}ad_{0}q^{2}}{4{((k-1){\varepsilon}_{0}ax+cd_{0})}^{2}} \to A(x)=\int_{0}^{x}{F(y)dy}=\int_{0}^{x}{ \frac{2(k-1){\varepsilon}_{0}ad_{0}q^{2}}{4{((k-1){\varepsilon}_{0}ay+cd_{0})}^{2}} dy}=\frac{2((k-1){\varepsilon}_{0}ad_{0}q^{2})}{4((k-1){\varepsilon}_{0}a)}\int_{0}^{x}{\frac{d((k-1){\varepsilon}_{0}ay+cd_{0})}{((k-1) {\varepsilon}_{0} ay+cd_{0})^{2}}}=\frac{2((k-1){\varepsilon}_{0}ad_{0}q^{2})}{4((k-1){\varepsilon}_{0}a)}(-\frac{1}{(k-1) {\varepsilon}_{0} ay+cd_{0}}|^{x}_{0})=\frac{2((k-1){\varepsilon}_{0}ad_{0}q^{2})}{4((k-1){\varepsilon}_{0}a)}(- \frac{1}{(k-1) {\varepsilon}_{0} ay+cd_{0}} |_{0}^{x}=\frac{2((k-1){\varepsilon}_{0}ad_{0}q^{2})}{4((k-1){\varepsilon}_{0}a)})(\frac{1}{cd_{0}}-\frac{1}{(k-1) {\varepsilon}_{0} ax+cd_{0}})>0$ И это, так и должно быть. А, работа внешней силы , которая её уравновешивает ($F_{\text{вн}}(x)=-F(x)$) будет отрицательным.

3. $(V=cons)$ Когда конденсатор подключен к источнику , полная энергия системы $E(x)=\frac{(c(x))V^{2}}{2}+V \cdot Vc(x)$ и, следовательно, сила, с которой ''конденсатор+источник'' притягивает диэлектрик будет $F(x)=- \frac{d(E(x))}{dx}>0$ ($F(x)=-F_{\text{вн}}(x))$ .

$A_{\text{системы}}=Fa>0 ; A_{\text{внешняя}}=F_\text{внешняя}a<0$.