Что значит "все жители участвуют в цикле"?
Рассматриваем случай последовательных передач (если при любом наборе последовательных передач всегда, начиная с некоторого момента, карточки будут минимум у трети, то и при одновременной передаче начиная с некоторого момента карточеки будут минимум у трети).
Последовательность передач называется циклом, если в результате все остаются при своих (и соответственно можно эту же последовательность повторить еще раз).
Человек участвует в цикле

раз, если он за эту последовательность отдает карточки

раз.
А это про

откуда следует
Из связности графа. Рассмотрите путь от жителя, раздававших карточки

раз, до жителя, раздававшего карточки больше

раз.
vicvolf, карточки отдаются комплектами по

. Если у Васи

карточки, у соседа Пети

, то после хода у Васи будет

карточек, у Пети

. После хода Пети у Васи будет

карточка и он никому ничего отдать не сможет.