Импликация и другие логические связки

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631988 писал(а):

Это всё одна импликация.

Это таблица истинности импликации:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

Можете Вы представить какую-нибудь одну импликацию, которую можно по ней проверить?

Но импликация должна быть в таком виде, чтобы в ней можно было выделить эти четыре импликации, о которых Вы говорите, что всё это одна импликация.

[epros]

EminentVictorians, вот зачем Вы человека, который и так себя уже изрядно запутал, ещё больше путаете со всякими "разными смыслами импликации"? Импликация - это вполне определённая вещь в исчислении высказываний. Все другие "смыслы" - это неточности или жаргонизмы. В частности:
1) "Стрелка" это только символ для обозначения импликации, а не она сама. Кроме стрелки там ещё должно быть что-то слева и что-то справа.
2) и 4) по-сути одно и то же. На естественном ли языке с использованием слова "следовательно" или на специальном языке с использованием стрелки, это всё равно импликация.
3) Вот не надо функцию $B^2 \to B$ назвать импликацией.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1631992 писал(а):

Импликация - это вполне определённая вещь в исчислении высказываний.

Не только в исчислении высказываний. В исчислении предикатов тоже есть импликация. Причем это уже не та же самая импликация, что в исчислении высказываний (т.к. формальная система уже другая). Более того, импликация в исчислении предикатов первого порядка и импликация в исчислении предикатов второго порядка - это тоже 2 разные импликации (по той же самой причине).

Топикстартер путается не из-за меня, а как раз из-за авторов, которые съедают формулировки и отождествляют несовпадающие вещи.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631991 писал(а):

Можете Вы представить какую-нибудь одну импликацию, которую можно по ней проверить?

По этой таблице можно "проверить" любую импликацию. Например "Слон имеет хобот". Здесь $P=$"Нечто является слоном", $Q=$"Это нечто имеет хобот". Проверяйте. На примере любых "нечто".

Vladimir Pliassov в сообщении #1631991 писал(а):

Но импликация должна быть в таком виде, чтобы в ней можно было выделить эти четыре импликации, о которых Вы говорите, что всё это одна импликация.

Нет "четырёх импликацией". Есть две пропозициональные переменные, вместо которых можно подставить любые утверждения.

-- Ср мар 06, 2024 17:49:08 --

EminentVictorians в сообщении #1631993 писал(а):

Не только в исчислении высказываний. В исчислении предикатов тоже есть импликация. Причем это уже не та же самая импликация, что в исчислении высказываний (т.к. формальная система уже другая).

Вот не пудите людям мозги. Импликация в исчислении предикатов унаследована от исчисления высказываний, ибо исчисление предикатов расширяет исчисление высказываний. Так что смело можно утверждать, что это одна и та же импликация.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631995 писал(а):

Например "Слон имеет хобот". Здесь $P=$"Нечто является слоном", $Q=$"Это нечто имеет хобот". Проверяйте.

"Нечто не является слоном и не имеет хобота" -- бывает,

"Нечто не является слоном и имеет хобот" -- бывает,

"Нечто является слоном и не имеет хобота" -- не бывает,

"Нечто является слоном и имеет хобот" -- бывает.

Значит, "если нечто является слоном, то оно имеет хобот."

Это прямая импликация и при этом причинно-следственная связь. Почему не сказать просто, что импликация это причинно-следственная связь?

EminentVictorians в сообщении #1631990 писал(а):

некоторую функцию вида $B^2 \to B$ (где $B = \{0, 1\}$)

Это та функция (бинарная булева), которая называется "прямая импликация"?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631998 писал(а):

"Нечто не является слоном и не имеет хобота" -- бывает,

"Нечто не является слоном и имеет хобот" -- бывает,

"Нечто является слоном и не имеет хобота" -- не бывает,

"Нечто является слоном и имеет хобот" -- бывает.

Значит, "если нечто является слоном, то оно имеет хобот."

Давайте так. Импликация одна: "Если нечто является слоном, то это нечто имеет хобот".

Африканский слон по имени Гоша - подходит и под предпосылку, и под следствие.
Тапир по имени Вася не подходит под предпосылку, но подходит под следствие.
Кот по имени Мурзик не подходит ни под предпосылку, ни под следствие.
Ничего такого, что бы подходило под предпосылку, но не под следствие, не нашлось, стало быть это истинная импликация.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631998 писал(а):

Это прямая импликация и при этом причинно-следственная связь. Почему не сказать просто, что импликация это причинно-следственная связь?

Пожалуйста, можете сказать.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631998 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1631990 писал(а):

некоторую функцию вида $B^2 \to B$ (где $B = \{0, 1\}$)

Это та функция (бинарная булева), которая называется "прямая импликация"?

Не стоит называть её импликацией, это жаргонизм. На самом деле это булева функция от двух аргументов, выражающая значение истинности импликации в зависимости от значений истиности её предпосылки и следствия.

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631998 писал(а):

Почему не сказать просто, что импликация это причинно-следственная связь?

Потому что импликация может быть истинной и без причинно-следственной связи, как она понимается в естественных науках.
Не знаю, хороший ли привожу пример (наверное, для кого как), но посмотрите.

[epros]

svv, тем не менее, при формализации утверждений естественного языка обороты со словом "следовательно" заменяются на импликацию. И при обратном преобразовании импликация заменяется на "следовательно". Ибо других вариантов нет, хотя некоторые "следствия" получаются странными.

[svv]

epros в сообщении #1632002 писал(а):

при формализации утверждений естественного языка обороты со словом "следовательно" заменяются на импликацию. И при обратном преобразовании импликация заменяется на "следовательно"

К первому претензий нет. При обратном преобразовании я бы употреблял синонимичную связку, так, чтобы утверждалась лишь импликация, а не причинно-следственная связь. Хорошее приближение: "если $A$, то $B$". Например: "если я собираюсь на пикник, то начинается дождь".
Это ведь звучит лучше, чем "я собираюсь на пикник, следовательно, идёт дождь", верно?

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631999 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631998 писал(а):

Это прямая импликация и при этом причинно-следственная связь. Почему не сказать просто, что импликация это причинно-следственная связь?

Пожалуйста, можете сказать.

Превосходно! С этим разобрались.

epros в сообщении #1631999 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631998 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1631990 писал(а):

некоторую функцию вида $B^2 \to B$ (где $B = \{0, 1\}$)

Это та функция (бинарная булева), которая называется "прямая импликация"?

Не стоит называть её импликацией, это жаргонизм. На самом деле это булева функция от двух аргументов, выражающая значение истинности импликации в зависимости от значений истинности её предпосылки и следствия.

Я и не хочу ее так называть! Я ведь и пытался показать, что эта булева функция и импликация это разные вещи. И кстати, не один я так считаю.

Но, к сожалению, очень многие ее так называют. Запретить ее так называть нельзя, но хорошо бы было, чтобы знали, что это название условно, это позволило бы избежать недоразумений.

svv в сообщении #1632001 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631998 писал(а):

Почему не сказать просто, что импликация это причинно-следственная связь?

Потому что импликация может быть истинной и без причинно-следственной связи, как она понимается в естественных науках.

Но не в логике, где берется четыре конъюнкции и из них исключается третья.

svv в сообщении #1632001 писал(а):

Не знаю, хороший ли привожу пример (наверное, для кого как), но посмотрите.

Пример хороший. Здесь третью конъюнкцию исключить не получится, потому что не всех президентов убили.

svv в сообщении #1632005 писал(а):

epros в сообщении #1632002 писал(а):

при формализации утверждений естественного языка обороты со словом "следовательно" заменяются на импликацию. И при обратном преобразовании импликация заменяется на "следовательно"

К первому претензий нет. При обратном преобразовании я бы употреблял синонимичную связку, так, чтобы утверждалась лишь импликация, а не причинно-следственная связь.

Что Вы меня расстраиваете! Уже ведь решили, что причинно-следственная связь и импликация это одно и то же.

svv в сообщении #1632005 писал(а):

Хорошее приближение: "если $A$, то $B$". Например: "если я собираюсь на пикник, то начинается дождь".
Это ведь звучит лучше, чем "я собираюсь на пикник, следовательно, идёт дождь", верно?

Вы хотите сказать, что высказывания

"если я собираюсь на пикник, то начинается дождь"

и

"я собираюсь на пикник, следовательно, идёт дождь"

не являются оба причинно-следственными связями?

[svv]

В той ситуации, которую я подразумеваю ("что за невезение, как соберусь на прогулку — начинается дождь") — нет, не являются. Ну, если только не допускать злого умысла где-то там, наверху.

Причинно-следственная связь — понятие сложное и выходящее за рамки формальной логики.
К тому же, я бы на философском уровне различал физическую причину (одно явление вызывает другое, как свет солнца согревает землю) и логическую причину (одно утверждение является основанием для другого).

[epros]

svv в сообщении #1632005 писал(а):

"если я собираюсь на пикник, то начинается дождь".
Это ведь звучит лучше, чем "я собираюсь на пикник, следовательно, идёт дождь", верно?

А как звучит: "Если идёт дождь, то $2 \times 2 = 4$"? Это ведь несомненно истинная импликация. К сожалению, от таких случаев никуда не деться. Все попытки это "исправить" (типа т.н. "релевантной логики") смотрятся воистину слабо.

svv в сообщении #1632008 писал(а):

Причинно-следственная связь — понятие сложное и выходящее за рамки формальной логики.

Увы, в таком смысле оно не имеет внятного определения.

svv в сообщении #1632008 писал(а):

К тому же, я бы на философском уровне различал физическую причину (одно явление вызывает другое, как свет солнца согревает землю) и логическую причину (одно утверждение является основанием для другого).

Я бы сказал, что различия совершенно не очевидны. Когда "одно явление вызывает другое", то это скорее всего означает, что некая естественнонаучная теория приписала этим явлениям связь между собой. "Логическая причина" в свете вышеприведённого примера про дождь - тоже очень сомнительное понятие.

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632007 писал(а):

Вы хотите сказать, что высказывания

"если я собираюсь на пикник, то начинается дождь"

и

"я собираюсь на пикник, следовательно, идёт дождь"

не являются оба причинно-следственными связями?

svv в сообщении #1632008 писал(а):

В той ситуации, которую я подразумеваю ("что за невезение, как соберусь на прогулку — начинается дождь") — нет, не являются. Ну, если только не допускать злого умысла где-то там, наверху.

Причинно-следственная связь — понятие сложное и выходящее за рамки формальной логики.
К тому же, я бы на философском уровне различал физическую причину (одно явление вызывает другое, как свет солнца согревает землю) и логическую причину (одно утверждение является основанием для другого).

Я уже писал:

"Доказать, что ваза разобьется, если ее выбросить из окна, можно исходя из житейского опыта, тогда математика не нужна. Но если надо доказать, что она разобьется, исходя из законов математики (логики), то нужно взять четыре утверждения:

$p=\text {, $\neg p=\text {, $q=\text {, $\neg q=\text {,

составить из них четыре конъюнкции (четыре случая):

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2)$\neg p\wedge q$,

3)$p\wedge \neg q$,

4)$p\wedge q$, --

и исключить третью конъюнкцию -- $p\wedge \neg q$. На каком основании ее исключить, это другой вопрос и к логике отношения не имеет. Но если ее исключить, а остальные оставить, то будет логически доказано, что ваза разобьется."

Обратите внимание: на каком основании исключить третью конъюнкцию, к логике отношения не имеет. Исключают ее полагая, что она невозможна, просто из каприза или по жребию, для логического построения значения не имеет.

svv в сообщении #1632008 писал(а):

Причинно-следственная связь — понятие сложное и выходящее за рамки формальной логики.

По-моему, оно как раз очень простое: берем четыре конъюнкции и исключаем третью.

Какая тут может быть сложность, и за какие рамки может выходить это понятие?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632014 писал(а):

По-моему, оно как раз очень простое: берем четыре конъюнкции и исключаем третью.

Следует ли $2 \times 2 = 4$ из "Идёт дождь"? Конъюнкция "Идёт дождь и $2 \times 2 \ne 4$" очевидно исключается.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632017 писал(а):

Следует ли $2 \times 2 = 4$ из "Идёт дождь"? Конъюнкция "Идёт дождь и $2 \times 2 \ne 4$" очевидно исключается.

О таких случаях я писал в первом сообщении темы:

"Есть высказывания, которые истинны при одних условиях и ложны при других условиях, и они (как аргументы) годятся для булевых функций, потому что оценка их истинности может принимать как значение $0$, так и значение $1$. Например, высказывание $p= истинно при $x=4$, и таким образом, $p$ может принимать значение $1$, и ложно при $x=2$, и таким образом, $p$ может принимать значение $0$.

А есть высказывания тождественно истинные, то есть истинные при всех условиях, и они, как я понимаю, не годятся для булевых функций (например, для импликации), потому что оценка их истинности может принимать только значение $1$, например, высказывание $p= истинно при любых условиях, и таким образом, $p$ может принимать только значение $1$;

и есть высказывания тождественно ложные, то есть ложные при всех условиях, и они тоже не годятся для булевых функций (например, для импликации), потому что оценка их истинности может принимать только значение $0$, например, высказывание $p= ложно при любых условиях, и таким образом, $p$ может принимать только значение $0$."