Теорема Нетер

[Enceladoglu]

Теорему формулируют приблизительно так:
Если при бесконечно малом преобразовании координат и времени вида {q_i}' = q_i + \varepsilon \Phi_i (q,t), t' = t + \varepsilon X(q,t) не меняется вид действия \int\limits_{t_1}^{t_2} L (q,\dot{q},t)dt = \int\limits_{t_1'}^{t_2'} L (q',\dot{q'},t')dt', то величина \sum\limits_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i} }(\dot{q_i} X - \Phi_i) - LX есть интеграл движения
Доказательство начинают с таких слов: Пусть первоначальная траектория системы q_i = f_i(t), тогда так как вид действия не меняется, то равенство q_i'= f_i(t') так же действительная траектория системы
И тут у меня возникает вопрос. Я могу получить траекторию из уравнения Лагранжа в том случае, если мне, например, заданы граничные условия q(t_1) = q_1, q(t_2) = q_2(ограничимся одномерным случаем) . И пусть я с такими условиями получил траекторию q_i = f_i(t). Тогда, для того что бы вторая траектория была аналогична первой, мне бы еще хотелось помимо сохранения действия( или вывести ИЗ сохранения действия) предоположение что q'(t_1) = q_1, q' (t_2) = q_2, и тогда по идее уже функция f_i будет траекторией и в штрихованых координатах. Одним словом, мне не очевидно что при преобразования координат при условии сохранения действия у нас сохраняется траектории

[warlock66613]

Enceladoglu в сообщении #1631415 писал(а):

для того что бы вторая траектория была аналогична первой

По-идее, этого не требуется. Достаточно что она также траектория при некоторых (других) граничных условиях.

[Enceladoglu]

warlock66613
Я не совсем понял, Вы имейте ввиду что это утверждение не о том что траектория такая же, просто штрихуем t и q, не нужна в дальнейшем доказательстве ?

[warlock66613]

Действие делит все возможные траектории на действительные — те, на которых действие минимально — и остальные. Утверждение в том, что штрихованная траектория так же из класса действительных траекторий.

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1631415 писал(а):

Если при бесконечно малом преобразовании координат и времени вида ${q_i}' = q_i + \varepsilon \Phi_i (q,t), t' = t + \varepsilon X(q,t)$ не меняется вид действия

Произведем такое преобразование для какой-то "настоящей" траектории. Она перейдет в какую-то другую траекторию, мало (если $\varepsilon$ мало) отличающуюся от исходной. Эта траектория удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа, но имеет другие граничные условия, что приводит к появлению внеинтегральных членов при варьировании. Далее - по тексту.

[Red_Herring]

warlock66613 в сообщении #1631424 писал(а):

Действие делит все возможные траектории на действительные — те, на которых действие минимально

стационарно, не обязательно минимально

[Enceladoglu]

Наверное имеет смысл сказать, что дальше там из вышесказанного делается утверждение что $q_i +\delta q_i = f_i(t+\delta t)$

[pppppppo_98]

Enceladoglu в сообщении #1631415 писал(а):

тогда так как вид действия не меняется, то равенство q_i'= f_i(t') так же действительная траектория системы

странная однако формулировка. обычно теорема нетер формулируется в рамках активного действия групп - траектория пули переносится действием элемента группы, ну например в пространстве (трансляция из которой выводмтся закон созранения импульс), и согласитесь имеет значение летит на высоте сердца или метром выше

Enceladoglu в сообщении #1631415 писал(а):

при условии сохранения действия у нас сохраняется траектории

о чем я и говорю - траектория не сохраняется

amon в сообщении #1631426 писал(а):

Она перейдет в какую-то другую траекторию, мало (если $\varepsilon$ мало) отличающуюся от исходной.

и не только я

[Padawan]

Можно считать, что кривая осталась та же (мировая линия в пространстве-времени), а координаты поменялись, тогда уравнение кривой изменится (например, в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное исчисление такой подход, и похоже, что в Вашем тексте тоже). А можно считать, что преобразование переводит одну кривую в другую кривую, но координаты не меняются, тогда уравнение преобразованной кривой изменится. Математически это эквивалентно.

Enceladoglu в сообщении #1631415 писал(а):

Пусть первоначальная траектория системы $q_i = f_i(t)$, тогда так как вид действия не меняется, то равенство $q_i'= f_i(t')$ так же действительная траектория системы

Нет, уравнение исходной траектории в новых координатах изменится.

[pppppppo_98]

Padawan в сообщении #1631437 писал(а):

а координаты поменялись, тогда уравнение кривой изменится (например, в учебнике Гельфанд, Фомин Вариационное исчисление такой подход, и похоже, что в Вашем тексте тоже).

какой-то странный однако подход. Функционал это отображение из пространства путей (бесконечномерного однако) в действительные числа. То есть каждому пути ставится в соответствие какое число. Разные пути - разные числа. А потом намеряли кучу таких путей, с сопоставленными числами, и выбрали пути с минимумом чисел (хрен с ним экстремумом). И вот вам оптимальный в смысле того что тело непринуждаемое ничем внешним будет двигаться по этому пути. А если рассматривать пассивное действие, то получается вдоль одного и того же пути репараметризовали координаты со временем, но путь остался тем же - тогда и действие остается тем же, при любой репараметризации - оно зависит от пути , а не от выдуманной параметризации.

[Enceladoglu]

Имеет смысл кинуть полное доказательство
Как видно, относительно старых координат, новая траектория сдвинута на малую величину, но урвнение движение в новых координатах выглядит так же. Вообще, дальнейшие выкладки выглядят простыми и поэтому хотелось как то это доказательство понять. У меня есть предположение что ${q_i}^{'} = {f_i}(t^{'}) + \varepsilon^2 F$, т.е. как то можно получить квадратичный член, котором можно пренебречь. Если я правильно понял, что-то подобное кто то писал

[Padawan]

pppppppo_98 в сообщении #1631458 писал(а):

А если рассматривать пассивное действие, то получается вдоль одного и того же пути репараметризовали координаты со временем, но путь остался тем же - тогда и действие остается тем же, при любой репараметризации - оно зависит от пути , а не от выдуманной параметризации.

В общем случае в новых координатах функционал будет задаваться другой формулой, то есть $\int_{t_1}^{t_2}L(t,q(t), \dot q(t)) dt=\int_{t_1^*}^{t_2^*}L^*(t^*,q^*(t^*), \dot q^*(t^*)) dt^*$. А теорема Нётер рассматривает как раз случай, когда лагранжиан в новых координатах задается той же формулой, что и в старых, т. е. $L^*=L$.

[pppppppo_98]

Padawan в сообщении #1631467 писал(а):

А теорема Нётер рассматривает как раз случай, когда лагранжиан в новых координатах задается той же формулой, что и в старых, т. е. $L^*=L$.

Это понятно.. но какая-то ненаглядная формулировка...

[Enceladoglu]

Я тут понял такой факт, что для $$\Phi = const, X = const $ $ у нас q_i'= f_i(t') в силу однородности и изотропности пространства. Для более сложных преобразований как этот факт доказать я так и не понял.

-- 01.03.2024, 21:02 --

amon
Вот пытался вчитаться, и вероятно так и не понял)

Цитата:

что приводит к появлению внеинтегральных членов при варьировании. Далее - по тексту.

Вы про то что у нас что-то вроде такого ?

Цитата:

${q_i}^{'} = {f_i}(t^{'}) + \varepsilon^2 F$

-- 01.03.2024, 21:04 --

warlock66613
Ну там утверждение прямо в том траектория такая же, и оттуда же делается вывод что

Enceladoglu в сообщении #1631429 писал(а):

Наверное имеет смысл сказать, что дальше там из вышесказанного делается утверждение что $q_i +\delta q_i = f_i(t+\delta t)$

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1631524 писал(а):

Вот пытался вчитаться, и вероятно так и не понял)

Пусть функция Лагранжа $L=\frac{\dot {q}^2}{2}.$ Пусть траектория начинается в $q=0$ и заканчивается в точке $q=1.$ Тогда экстремаль функционала

$$S[q]=\int\limits_{0}^{T}\frac{\dot {q}^2}{2}dt$$

будет

$$q(t)=\frac{t}{T}.$$

Сдвиг $q\to q+a$ не меняет значения $L.$ При этом траектория переходит в

$$\tilde{q}=\frac{t}{T}+a,$$

она отличается от исходной и по-прежнему удовлетворяет уравнению Эйлера, но граничные условия $\tilde{q}(0),\tilde{q}(T)$ становятся другими. Изменение траектории $\delta q=q(t)-\tilde{q}(t)$ можно использовать как вариацию исходной траектории, зависящей от параметра $a$ и проделать стандартные манипуляции

$$\delta S=\int\limits_{0}^{T}\dot {q}\delta\dot {q}dt=(\dot {q}(T)-\dot {q}(0))a-\int\limits_{0}^{T}\ddot {q}\delta q dt.$$

Интеграл - ноль, поскольку $\ddot {q}=0,$ значит $\dot {q}(T)=\dot {q}(0),$ а поскольку вместо нуля и $T$ можно взять все что угодно, то на траектории $\dot {q}=\operatorname{const}.$
Фокус тут в том, что при таком варьировании сползают концы траектории, а когда выводят уравнения движения, то считается, что на концах $\delta q(0)=\delta q(T)=0.$