Теорема Нетер

[Enceladoglu]

amon
Спасибо, понял. Правда я не понял как мне это поможет))

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1631547 писал(а):

Правда я не понял как мне это поможет

Вам надо проделать тоже самое. В качестве вариации взять $\delta q = \varepsilon \Phi_i (q,t), \delta t = \varepsilon X(q,t),$ найти внеинтегральные члены, возникающие от интегрирования по частям и от изменения пределов интегрирования ($ \delta t$) и собрать их так, чтобы можно было вынести $ \varepsilon.$ То, что окажется множителем при $ \varepsilon,$ и будет сохраняющейся величиной.

[Enceladoglu]

amon
Аааааааа, я теперь точно понял. Дело в том что я это давно проделал) Ну тоеть взял разницу \int\limits_{t_1}^{t_2} L (q,\dot{q},t)dt - \int\limits_{t_1'}^{t_2'} L (q',\dot{q'},t')dt', разложил в ряд функцию Лагранжа во втором интеграле, разделил интеграл на три части от ${t_1}^{'}, до {t_1}$, от ${t_1},{t_2},$ и от ${t_2},{t_2}^{'},$, проигнорировал все члены где есть $\varepsilon ^ 2$ и оставил только линейные по $\varepsilon$
В итоге я получил что эта величина сохраняется. Правда, интегрирование по частям мне там к удивлению не понадобилось, хотя первоначально я пробовал с ним. Вероятно вы имели ввиду что-то подобное
Но ведь дело в том что мне не нужно найти другое решение, я хочу понять это, то что скидывал) В крайнем случае установить что оно не верно если таковое. А именно, проблема в формуле $q_i^{'}(t^{'}) = f_i(t^{'})$. Я же получил в процессе доказательства что описал $q_i(t) = q_i(t) - \dot{q_i}(t)\varepsilon X_i + \varepsilon \Phi_i $

[amon]

Enceladoglu, логика такая. При преобразовании решение переходит в решение (другое). Значит при вариации действия от "настоящего" решения, при которой $\delta q = \varepsilon \Phi_i (q,t), \delta t = \varepsilon X(q,t),$ должен получаться ноль, поскольку измененное решение - тоже решение (другое). Тогда сосчитаем $\int\limits_{t_1}^{t_2} L (q,\dot{q},t)dt - \int\limits_{t_1+\delta t}^{t_2+\delta t} L (q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q},t+\delta t)dt,$ раскладывая разность до первого порядка по $\varepsilon$ или $\delta,$ что тоже самое. Всякие члены, содержащие производные по времени от дельт, интегрируем по частям. В результате под интегралом останется обычное уравнение Эйлера, которое ноль на траектории, и возникнет кучка внеинтегральных членов, которую надо приравнять нулю и получить оттуда интеграл движения. При этом никаких $q_i'(t') = f_i(t')$ не возникает.

-- 03.03.2024, 00:28 --

Посмотрите учебник В.И. Смирнова "Курс высшей математики" т.4 часть 1 параграф 85 (стр. 247) издание 1974 года - вдруг поможет.

[Enceladoglu]

amon
Все, теперь окончательно понял. $+$1 одно доказательство

Цитата:

При этом никаких $q_i'(t') = f_i(t')$ не возникает.

Ну и флаг с ним) значит доказательство в книге неверное/сложнее обоснуемое чем те которые у нас есть