Здравствуйте!
Имеется такая задача: монетка подбрасывается до тех пор, пока число орлов не окажется равным удвоенному числу решек. Монетка выпадает орлом с вероятностью
. Найдите вероятность того, что монетка будет подбрасываться вечно.
Я решала похожую задачу (Монетка выпадает орлом с вероятностью
. Монетку подбрасывают до тех пор, пока впервые не
выпадет орёл. Какова вероятность того, что будет сделано чётное число подбрасываний?) сведением результата к формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:
но в исходной задаче возникли небольшие трудности с вычислениями. Я решаю так: нахожу вероятность того, что подбрасывание монетки когда-то прекратится, а затем из 1 думаю вычесть найденную вероятность. Вероятность того, что подбрасывание монетки когда-то прекратится, я нахожу при помощи введения двух вспомогательных величин:
и
, где
- это число всех последовательностей из
решек и
орлов (то есть всего из
монет),
- это число последовательностей из
решек и
орлов (то есть всего из
монет), которые не имеют подпоследовательностей, в которых число решек равно
и число орлов равно
, где
(это сделано для того, чтоб учитывать такой случай, как, например,
(последовательность из 6 монет, где 2 решки и 4 орла), который может принимать вид
, где
- это решка, а
- орёл, и подбрасывание в этом случае завершится после 3-го броска, а не после 6). Таким образом:
Тогда искомая вероятность того, что подбрасывание монетки когда-то прекратится, равна:
Далее у меня случился ступор, но как мне подсказали, нужно выразить
из самого первого равенства про
и подставить значения
,
,
и так далее, чтобы вычислить значение вероятности того, что подбрасывание монетки когда-то прекратится, свернуть это как-то по формуле (может, суммы степенного ряда) и вычесть из 1, однако я никак не могу, к сожалению, сообразить, как выразить
через n. Также вычислив собственноручно, без выражения
через
, я получила, что
,
,
, и пока так тоже не совсем понимаю, как можно будет в будущем это свернуть по какой-либо из известных формул. Подскажите, пожалуйста, как следует дальше поступить в решении и верны ли приведённые выше рассуждения? Или может быть существует менее сложный путь решения, чем данный?