Бесконечное подбрасывание монеты

[moonruleni9ne]

Здравствуйте!
Имеется такая задача: монетка подбрасывается до тех пор, пока число орлов не окажется равным удвоенному числу решек. Монетка выпадает орлом с вероятностью $p$. Найдите вероятность того, что монетка будет подбрасываться вечно.
Я решала похожую задачу (Монетка выпадает орлом с вероятностью $p$. Монетку подбрасывают до тех пор, пока впервые не
выпадет орёл. Какова вероятность того, что будет сделано чётное число подбрасываний?) сведением результата к формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$(1-p)p+(1-p)^3p +\ldots = (1-p)p(1+(1-p)^2 + (1-p)^4 + \ldots) = (1-p)p/(1-(1-p)^2)=(1-p)/(2-p),$$

но в исходной задаче возникли небольшие трудности с вычислениями. Я решаю так: нахожу вероятность того, что подбрасывание монетки когда-то прекратится, а затем из 1 думаю вычесть найденную вероятность. Вероятность того, что подбрасывание монетки когда-то прекратится, я нахожу при помощи введения двух вспомогательных величин: $T_{n}$ и $S_{n}$, где $S_{n}$ - это число всех последовательностей из $n$ решек и $2n$ орлов (то есть всего из $3n$ монет), $T_{n}$ - это число последовательностей из $n$ решек и $2n$ орлов (то есть всего из $3n$ монет), которые не имеют подпоследовательностей, в которых число решек равно $m$ и число орлов равно $2m$, где $m < n$ (это сделано для того, чтоб учитывать такой случай, как, например, $S_{2}$ (последовательность из 6 монет, где 2 решки и 4 орла), который может принимать вид $ROOROO$, где $R$ - это решка, а $O$ - орёл, и подбрасывание в этом случае завершится после 3-го броска, а не после 6). Таким образом:

$$S_{n}=T_{n}+T_{n-1}C_{3}^{1}+T_{n-2}C_{6}^{2}+\ldots+T_{1}C_{3(n-1)}^{n-1}=C_{3n}^{n}.$$

Тогда искомая вероятность того, что подбрасывание монетки когда-то прекратится, равна:

$$T_{1}p^2(1-p)+T_{2}p^4(1-p)^2+T_{3}p^6(1-p)^3+\ldots$$

Далее у меня случился ступор, но как мне подсказали, нужно выразить $T_{n}$ из самого первого равенства про $S_{n}$ и подставить значения $T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$ и так далее, чтобы вычислить значение вероятности того, что подбрасывание монетки когда-то прекратится, свернуть это как-то по формуле (может, суммы степенного ряда) и вычесть из 1, однако я никак не могу, к сожалению, сообразить, как выразить $T_{n}$ через n. Также вычислив собственноручно, без выражения $T_{n}$ через $n$, я получила, что $T_{1}=3$, $T_{2}=6$, $T_{3}=21$, и пока так тоже не совсем понимаю, как можно будет в будущем это свернуть по какой-либо из известных формул. Подскажите, пожалуйста, как следует дальше поступить в решении и верны ли приведённые выше рассуждения? Или может быть существует менее сложный путь решения, чем данный?

[ipgmvq]

Здравствуйте!
Т.к. остановка всегда будет при количестве подбрасываний кратным 3, можно упростить задачу, оперируя последовательностями трех подбрасываний.
Таких последовательностей (событий) четыре: ООО, ООР, ОРР, РРР с вероятностями $p^3$, $3p^2(1-p)$, $3p(1-p)^2$, $(1-p)^3$ соответственно.
Обозначим кумулятивную сумму этих событий как A, B, C, D.
Для остановки требуется выполнение условия:
$3A + 2B + C = 2(B + 2C + 3D)$
$3A + 2B + C = 2B + 4C + 6D$
$2D + C - A = 0$
Можно смоделировать временной ряд $X_i \propto 2D + C - A$ перекошенным случайным блужданием, где $X_0 = 0$, и на каждом шаге инкремент или равен $0$ (событие B), или $+1$ (событие D), или $+2$ (событие C) или $-2$ (событие A).
Соответственно
$\mathbb{E}[X_{i+1} - X_{i}] = (1-p^3) + 6p(1-p)^2 - 2 p^3 = 3 p^3 - 9 p^2 + 3 p + 1$
$\mathbb{E}^2[X_{i+1} - X_{i}] = (3 p^3 - 9 p^2 + 3 p + 1)^2 = 9 p^6 - 54 p^5 + 99 p^4 - 48 p^3 - 9 p^2 + 6 p + 1$
$\mathbb{E}[(X_{i+1} - X_{i})^2] = (1-p^3) + 12p(1-p)^2 + 4 p^3 = 15 p^3 - 24 p^2 + 12 p + 1$
$\text{Var}(X_{i+1} - X_{i}) = 15 p^3 - 24 p^2 + 12 p + 1 - (9 p^6 - 54 p^5 + 99 p^4 - 48 p^3 - 9 p^2 + 6 p + 1) = -9 p^6 + 54 p^5 - 99 p^4 + 63 p^3 - 15 p^2 + 6 p$
Соответственно желанный ноль будет асимптотически располагаться от математического ожидания на расстоянии такого количества стандартных отклонений (в зависимости от вероятности выпадения орла):
$\frac{3 p^3 - 9 p^2 + 3 p + 1}{\sqrt{-9 p^6 + 54 p^5 - 99 p^4 + 63 p^3 - 15 p^2 + 6 p}}$

Данный временной ряд будет пересекать ось времени бесконечное число раз. Вероятность стопа очевидно будет равна единице, не так ли?

[mihaild]

ipgmvq в сообщении #1631078 писал(а):

Соответственно желанный ноль будет асимптотически располагаться от математического ожидания на расстоянии такого количества стандартных отклонений

Нет, у вас же стандартное отклонение растет как корень, от номера шага, а ожидание линейно.

Плюс Вы не учли, что пересечение оси времени в данной задаче не обязательно означает остановку, т.к. шаги дискретные и через ноль сверху вниз можно перескочить, выкинув решку когда число орлов нечетно.

[ipgmvq]

mihaild в сообщении #1631113 писал(а):

Нет, у вас же стандартное отклонение растет как корень, от номера шага, а ожидание линейно.
Плюс Вы не учли, что пересечение оси времени в данной задаче не обязательно означает остановку, т.к. шаги дискретные и через ноль сверху вниз можно перескочить, выкинув решку когда число орлов нечетно.

Большое спасибо за коррекцию и подсказку. На основании тех же аргументов (несмотря на то, что возможны перескоки сверху вниз и снизу вверх) я склоняюсь к тому, что при $p = 2/3$ вероятность того, что монетка будет подбрасываться вечно, равна нулю, а при любом ином $0 < p < 1$ она будет < 1, но сколько... Надо подумать ещё.

[ipgmvq]

moonruleni9ne
mihaild

Нашел ответ.
Действтельно при $p = 2/3$ вероятность того, что монетка будет подбрасываться вечно, равна нулю.
Вероятность остановки:
$\(4 \sin^2\left(\frac{1}{3} \sin^{-1}\left( \frac{3}{2} \sqrt{3} p \sqrt{1 - p}\right)\right)\)$
Экспериментально получил первые несколько искаженных биномиальных коэффициентов для вероятностей остановок на каждом третьем броске. Нагуглил, что они из себя представляют — оказалась последовательность A024485.

Таким образом вероятность остановки равна:
$\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(3n - 1)}\binom{3n}{n} (1 - p)^n (p)^{2n}\] = \(4 \sin^2\left(\frac{1}{3} \sin^{-1}\left( \frac{3}{2} \sqrt{3} p \sqrt{1 - p}\right)\right)\)$

[moonruleni9ne]

Спасибо!
Оказывается, эта задача в одном из сборников находится в разделе, посвящённому методу первого шага.
Я пыталась составить какое-либо уравнение с искомой вероятностью, построив перед этим вероятностное дерево, но, к сожалению, пока ничего не получилось.

[vacsol]

В каком сборнике?

[moonruleni9ne]

vacsol
Сборник задач Бориса Демешева (сборник в виде pdf-файла) в репозитории на гитхабе: https://github.com/bdemeshev/probabilit ... ty_pro.pdf (обсуждаемая задача под номером 2.16)

[moonruleni9ne]

Удалось найти решение этой задачи для правильной монеты: https://math.stackexchange.com/question ... s-many-hea, но пока разобраться в том, как составлялись уравнения не совсем удаётся.