Импликация и другие логические связки

[warlock66613]

Vladimir Pliassov в сообщении #1630782 писал(а):

Бинарная булева функция это функция от двух аргументов $p$ и $q$, каждый из которых определен на множестве $\{0, 1\}$, и высказывания, соответствующие этим аргументам (эти высказывания можно обозначить теми же буквами $p$ и $q$) должны быть как истинными, так и ложными (в зависимости от условий), чтобы соответствующий высказыванию аргумент булевой функции мог принимать как значение $0$, так и значение $1$.

Следуя вашей логике, нельзя сложить 1 и 2, ведь функция сложения определена для любых целых чисел, а у нас конкретные, а не любые.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1630761 писал(а):

значит, высказывания $p$ и $q$ должны быть как истинными

Нет, не значит.

Vladimir Pliassov в сообщении #1630782 писал(а):

аргумент булевой функции мог принимать

Это, выдуманное Вами требование, нигде и никогда не входит в определение. Потому что иначе нельзя будет произвольно комбинировать функции. Например, функцию $A\wedge\lnot A$ нельзя, по Вашему, подставить ни в одну другую функцию.

Или, к примеру, функция $x^2$ не обязана быть определена исключительно на всех вещественных числах. Она может быть определена на отрезке $[0,1]$ или только на чётных натуральных числах.

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1630789 писал(а):

Или, к примеру, функция $x^2$ не обязана быть определена исключительно на всех вещественных числах. Она может быть определена на отрезке $[0,1]$ или только на чётных натуральных числах.

Функция $x^2$, определенная на отрезке $[0,1]$, и функция $x^2$, определенная только на чётных натуральных числах, это две разных функции. Булева функция определена на множестве $\{0,1\}$. Если определить ее на множестве $\{0\}$ или на множестве $\{1\}$, это будет уже другая функция, не булева.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1630804 писал(а):

Булева функция определена на множестве $\{0,1\}$.

Пусть у нас есть функция, заданная формулой $f(x)=x^2$ и определённая на всей числовой прямой.
И пусть в какой-то задаче нам требуется подставлять в эту функцию только значение $x=5$. Другие значения, в рамках этой задачи, $x$ принимать не может, исходя из физического смысла задачи.
Тогда всё равно можно этот $x$ подставить в данную функцию, ничего не мешает.
Для этого не надо придумывать отдельную функцию с областью определения $\{5\}$.

А лучше всего, просто поверьте: таких ограничений, которые Вы предлагаете, в математике нет. Просто потому что они никому не нужны. Ведь про многие высказывания (предикаты) мы не можем сказать, являются ли они тождественно истинными, тождественно ложными или же могут принимать оба значения истинности. Было бы очень неудобно, если бы приходилось вначале ответить на этот вопрос, и только потом иметь право строить из них импликацию.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1630810 писал(а):

Пусть у нас есть функция, заданная формулой $f(x)=x^2$ и определённая на всей числовой прямой.
И пусть в какой-то задаче нам требуется подставлять в эту функцию только значение $x=5$. Другие значения, в рамках этой задачи, $x$ принимать не может, исходя из физического смысла задачи.
Тогда всё равно можно этот $x$ подставить в данную функцию, ничего не мешает.
Для этого не надо придумывать отдельную функцию с областью определения $\{5\}$.

Конечно, можно подставить любой $x\in \mathbb R$, но если это не будет $x=5$, то это будет другая функция, потому что функция это совокупность отображений элементов в элементы, и если отображаются не те элементы, то это не та функция.

Как я понимаю, $x^2$ это еще не функция, а только закон, по которому отображаются элементы, а чтобы была функция, надо еще и определить, какие элементы отображаются (задать область определения функции).

Mikhail_K в сообщении #1630810 писал(а):

Ведь про многие высказывания (предикаты) мы не можем сказать, являются ли они тождественно истинными, тождественно ложными или же могут принимать оба значения истинности. Было бы очень неудобно, если бы приходилось вначале ответить на этот вопрос, и только потом иметь право строить из них импликацию.

Да, я тоже об этом думал: мало кто может сразу сказать, делится $410 061$ на $2579$ или нет. Или даже возьмем такую ситуацию: машина не знает, делится $5$ на $2$ или нет, но имеет схему импликации, которая, как известно, представляет собой таблицу

$$\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&p \to q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}$$

В нее закладывают данные, никак не связанные между собой и не обязательно истинные: $p= и $q=\text {, -- и дают задание построить из них импликацию, она, не задаваясь вопросами, связаны ли данные между собой и все ли они истинные, выдает эту же таблицу, в которой вместо $p$ и $q$ стоят их заложенные значения.

Может возникнуть вопрос: почему задано было построить импликацию из не связанных между собой и не всех истинных $p$ и $q$, но подозреваю, что в каких-то случаях, например, при доказательствах теорем, это может понадобиться.

Кстати, даю ссылку на Ваше сообщение, которое оказалось для меня очень полезным: post1185880.html.

[Vladimir Pliassov]

1.

Попытаюсь на конкретном примере объяснить, как я понимаю бинарные логические связки (среди которых есть и импликация). Оговорюсь, что в этом примере высказывания связаны по смыслу, что, как известно, не обязательно.

Возьмем множество $\mathbb N$ натуральных чисел (включая $0$). Каждый элемент этого множества либо делится на $2$, либо нет, а также либо делится на $3$, либо нет. При этом $\mathbb N$ разбивается на четыре непересекающихся подмножества:

1) $N_1$, элементами которого являются все числа, которые не делятся ни на $2$, ни на $3$,

2) $N_2$, элементами которого являются все числа, которые не делятся на $2$ и при этом делятся на $3$,

3) $N_3$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$, но не делятся на $3$,

4) $N_4$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$ и на $3$.

Возьмем два утверждения: $p= и $q=.

Для элементов $N_1$ оба они являются ложными,

для элементов $N_2$ $p$ является ложным, а $q$ истинным,

для элементов $N_3$ $p$ является истинным, а $q$ ложным,

для элементов $N_4$ оба они являются истинными.


Составим таблицу

$$\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&\textbf {1}\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 1 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} $$

Она является таблицей булевой функции "тождественная единица," которой соответствует все множество $\mathbb N$, то есть в этой таблице для любого элемента $\mathbb N$ найдется строка, которая ему соответствует, например, если число делится на $2$ и не делится на $3$, то ему соответствует третья строка -- не считая строки с $p$ и $q$, которую будем считать нулевой).

Теперь если, например, в последнем столбце заменить первые три единицы (разумеется, не считая жирной единицы, обозначающей функцию "тождественная единица,") на $0$, то получим таблицу функции "конъюнкция":

$$\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&\wedge\\ \hline 0& 0& 0\\ \hline 0& 1& 0 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}$$

которой соответствует то, что останется от множества $\mathbb N$, если из него убрать подмножества $N_1$, $N_2$ и $N_3$, то есть оставить только подмножество $N_4$ (элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$ и на $3$).

А если в последнем столбце заменить единицу только третьей строки на $0$, то получим таблицу функции "импликация":

$$\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&p \to q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}$$

которой соответствует множество $\mathbb N\setminus N_3$ -- то есть то, что останется от $\mathbb N$, если из него убрать подмножество $N_3$ и оставить только подмножества $N_1$,$N_2$ и$N_4$.

2.

Здесь хотелось бы сказать, почему, как мне кажется, из всех бинарных логических связок именно под импликацией часто подразумевают причинно-следственную связь, и наоборот, хотя понятие импликации шире понятия причинно-следственной связи: в импликации, как и во всякой трехстрочной функции (я имею в виду стоки таблицы, которые не оканчиваются нулем, и, разумеется, не нулевую строку), имеется две причинно-следственные связи (обозначенные $\Rightarrow$):

$$\begin {matrix} \vee \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 0\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \neg p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} \leftarrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 0 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \neg p\Rightarrow \neg q\\ q\Rightarrow p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} \rightarrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow \neg p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} \uparrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 0 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ p\Rightarrow \neg q\\ q\Rightarrow \neg p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} (2) \end {matrix} $$

Здесь вместо двух высказываний: $p$ и $q$, -- и их оценок ($1$ -- истина, $0$ -- ложь) употреблены четыре высказывания: $p$, $\neg p$, $q$ и $\neg q$, -- которые все полагаются истинными (при соответствующих условиях). Впрочем, я думаю, на эти четыре переменные можно смотреть непосредственно как на качества элементов $\mathbb N$:

$p=, $\neg p=,

$q=, $\neg q=, --

вместо того, чтобы смотреть на них как на высказывания об этих качествах.

Что же касается двухстрочных функций, то две из них: эквиваленция и исключающее "или" имеют каждая по четыре причинно-следственной связи:

$$\begin {matrix} \equiv \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 0 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \neg p\Leftrightarrow \neg q\\ p\Leftrightarrow q \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} \oplus \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 0\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 0 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \neg p\Leftrightarrow q\\ \neg q\Leftrightarrow p \end {matrix}\eqno (3) $$

Почему, например, в дизъюнкции ($\vee$) мы имеем $\neg p\Rightarrow q$? Потому что пара $(\neg p, \neg q)$ отображается в нуль, то есть исключается (и вместе с ней из множества $\mathbb N$ исключаются все числа, которые делятся одновременно на $2$ и на $3$, то есть из множества $\mathbb N$ исключается подмножество $N_1$). Таким образом, $\neg p$ остается только в составе пары $(\neg p, q)$, и если число $x$ имеет качество $\neg p$, то необходимо имеет его вместе с качеством $q$ (поэтому для каждого числа из $\mathbb N\setminus N_1$, которое не делится на $2$, необходимо следует, что оно делится на $3$). Аналогично в дизъюнкции ($\vee$) мы имеем $\neg q\Rightarrow p$.

Аналогично же обстоит и с причинно-следственными связями всех остальных бинарных булевых функций, в которых они есть [причинно-следственные связи есть не во всех функциях, их нет в шести из шестнадцати -- если считать, что они есть в четырех однострочных функциях (в числе которых конъюнкция и стрелка Пирса)].

Дело в том, что сомнительно, считать ли, что, например, в конъюнкции из $p$ следует $q$ (и наоборот), потому что можно считать, что $q$ следует не из $p$, а из того, что все остальные пары, кроме $(p, q)$, исключены (и вместе с ними исключены все подмножества $N_i$, кроме $N_4$, так что все остающиеся числа делятся как на $2$, так и на $3$), а пара $(p, q)$ остается, так что у $q$ нет другого выбора, как только оставаться.

Но если 6 или даже 10 функций имеют причинно-следственные связи, почему же именно импликация часто отождествляется с причинно-следственной связью (что, кстати, может приводить к путанице)?

Я думаю, вот почему. Одни качества можно считать основными, другие производными от них, тогда, если $p$ и $q$ это основные, то $\neg p$ и $\neg q$ производные, и наоборот. Конечно, все равно, какое качество: $\text { или $\text {, -- назначить основным, но когда оно уже назначено, то основным и считается. Я назначил для $x$ основными качествами $p=\text { и $q=\text {. Так вот, прямая импликация, в отличие от многих других функций, имеет причинно-следственную связь между основными качествами: $p\Rightarrow q$ (причем первое качество стоит на первом месте, а второе на втором). В обратной импликации тоже есть причинно-следственная связь между основными качествами, но в обратном порядке: $q\Rightarrow p$.

В этом с обеими импликациями конкурирует эквиваленция, в ней есть и причинно-следственная связь $p\Rightarrow q$, и причинно-следственная связь $q\Rightarrow p$ (эти две связи обозначаются одним знаком: $p\Leftrightarrow q$), так что

прямая импликация это единственная из всех 16 бинарных булевых функций (если не считать конъюнкции), в которой есть $p\Rightarrow q$, и при этом нет $q\Rightarrow p$, и в этом она совпадает с причинно-следственной связью между $p$ и $q$ (то есть совпадает с $p\Rightarrow q$),

но, как сказано, понятие импликации шире понятия причинно-следственной связи.

Правильно ли я понимаю?

[Vladimir Pliassov]

warlock66613 в сообщении #1630744 писал(а):

Любые два высказывания можно соединить стрелочкой, то есть образовать импликацию.

Как я уже говорил, одни качества рассматриваемого объекта можно считать основными, другие производными от них, тогда, если $p$ и $q$ это основные, то $\neg p$ и $\neg q$ производные, и наоборот. При этом все равно, какое, например, качество: $\text { или $\text {, -- назначить для $x\in \mathbb N$ основным, а какое производным.

Как можно видеть из предыдущего поста, в импликации из первого основного качества следует второе основное качество: $p\Rightarrow q$ (а также из второго производного следует первое производное: $\neg q\Rightarrow \neg p$, -- но об этом обычно не говорят).

То же можно сказать о высказываниях $p, q, \neg p, \neg q$.

Таким образом, если у Куратовского и Мостовского (см. самое начало темы) $x\in \varnothing \to x\in A$ это верная импликация, то $p= они полагают первым основным, а $q= -- вторым основным высказыванием.

При этом $\neg p= это первое производное, а $\neg q= -- второе производное высказывание.

Тут я, очевидно, должен взять назад свои слова, что $x\in \varnothing \to x\in A$ это не импликация, это, конечно же, импликация, она соответствует таблице

$$\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&p \to q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}$$

Но можно ли сказать, что в этом примере из истинного высказывания следует истинное высказывание, как это обычно говорят в отношении импликации? Можно, если считать, что $x\in \varnothing$, но лично я так не считаю. По моим представлениям $x\notin \varnothing$, и, значит, здесь из лжи следует истина (разумеется, если $x\in A$, но это возможно, в отличие от $x\in \varnothing$).

Как же такое построение может служить основанием для доказательства истинного утверждения, каким, по-моему, является $\varnothing\subset A$?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631157 писал(а):

Но можно ли сказать, что в этом примере из истинного высказывания следует истинное высказывание, как это обычно говорят в отношении импликации?

А в отношении импликации так не говорят.

$A\subset B$ означает, что $\forall x,\,(x\in A\,\to\,x\in B)$. Верно ли здесь, что $x\in A$? Нет, $x$ стоит под знаком квантора $\forall$, т.е. импликация должна быть справедлива и для тех $x$, что лежат в $A$, и для тех что не лежат (хотя для последних она справедлива просто автоматически).

Когда вы говорите "если завтра пойдёт дождь, то на улице будут лужи", вы не говорите этим, что завтра пойдёт дождь. Он может и не пойти, а импликация справедлива всё равно.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1631160 писал(а):

Когда вы говорите "если завтра пойдёт дождь, то на улице будут лужи", вы не говорите этим, что завтра пойдёт дождь. Он может и не пойти, а импликация справедлива всё равно.

Пусть мы имеем непустое множество $C$ и его собственные подмножества $A$ и $B$, причем $B\subset A$.

Тогда $B\subset A\subset C$, $B\ne \varnothing$ и $A\ne C$.

Проверим, является ли эта ситуация импликативной. Возьмем утверждения:

$p=,

$\neg p=,

$q=,

$\neg q=.

Поскольку $B\ne \varnothing$ и $A\ne C$ (ни одно из них не является несобственным), для каждого из этих утверждений найдется $x\in C$, то есть каждое из них при соответствующем $x$ является истинным.

Составим из них пары:

$(\neg p, \neg q)$,

$(\neg p, q)$,

$(p, \neg q)$,

$(p, q)$.

Каждую пару, для которой найдется $x\in C$ -- истинную пару, -- отобразим в $1$, каждую пару, для которой не найдется $x\in C$ -- ложную пару, -- отобразим в $0$, получим таблицу прямой импликации:

$$ \begin {matrix} \rightarrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow \neg p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; $$

Отметим, что в ней имеется две причинно-следственные связи: $p\Rightarrow q$ и $\neg q\Rightarrow \neg p$.

Теперь перейдем к моменту с дождем и лужами. Что если мы изменим условия: возьмем $B=\varnothing$ и $A=C$? Тогда утверждения $p= и $\neg q= перестанут быть истинными (ни для одного из них не найдется $x\in C$), и из четырех пар только одна пара $(\neg p, q)$ будет истинной (то есть для нее найдется $x\in C$), так как в ее составе нет ни $p$, ни $\neg q$, а в составе каждой из остальных пар есть либо $p$, либо $\neg q$, либо оба сразу -- пара не может быть истинной, если в ее составе есть хотя бы одно неистинное утверждение.

Тем не менее, причинно-следственные связи $p\Rightarrow q$ и $\neg q\Rightarrow \neg p$ все же будут иметь место, если понимать $p\Rightarrow q$ не как "$x\in \varnothing$ и поэтому $x\in A$", а как "если $x\in \varnothing$, то $x\in A$, а если $x\notin \varnothing$, то неизвестно, $x\in A$ или $x\notin A$",

и если понимать $\neg q\Rightarrow \neg p$ не как "$x\notin A$ и поэтому $x\notin \varnothing$", а как "если $x\notin A$, то $x\notin \varnothing$, а если $x\in A$, то неизвестно, $x\in \varnothing$ или $x\notin \varnothing$",

то есть если рассуждение:

"если $x\in B$, то $x\in A$ (после вычеркивания третьей строки $p$ остается только в четвертой строке) -- ("если пойдет дождь, то будут лужи), -- а если $x\notin B$, то неизвестно, $x\in A$ или $x\notin A$" ($\neg p$ остается и в первой, и во второй строке) -- (а если дождь не пойдет, то неизвестно, будут лужи или нет), --

и если $x\notin A$, то $x\notin B$ ($\neg q$ остается только в первой строке) -- (если нет луж, значит, не было дождя), -- а если $x\in A$, то неизвестно, $x\in B$ или $x\notin B$" ($q$ остается как во второй, так и в четвертой строке) -- (а если есть лужи, то неизвестно, был дождь или нет")

(при $B\ne \varnothing$ и $A\ne C$ оно не вызывает никакого недоумения)

проводить, заменив $B$ на $\varnothing$ и имея в виду, что может быть $A=C$.

Правильно?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631233 писал(а):

если понимать $p\Rightarrow q$ не как "$x\in \varnothing$ и поэтому $x\in A$", а как "если $x\in \varnothing$, то $x\in A$, а если $x\notin \varnothing$, то неизвестно, $x\in A$ или $x\notin A$"

Никто никогда не понимает импликацию первым образом и все всегда её понимают вторым образом.
"Если я упаду с крыши, то разобьюсь насмерть" - вовсе не значит "я упаду с крыши и поэтому разобьюсь насмерть".

-- 28.02.2024, 16:38 --

Ещё бывает удобно различать знаки $\to$ (импликация) и $\Rightarrow$ (логический вывод).
Знак $\to$ употребляется внутри высказывания. Знак $\Rightarrow$ употребляется между высказываниями.
Например, если мы строим доказательство теоремы шаг за шагом, то между предыдущим шагом и следующим мы ставим знак $\Rightarrow$.
$A\to B$ - это утверждение, которое может быть верным или неверным, в соответствии с таблицей истинности импликации.
$A\Rightarrow B$ - это не утверждение, а часть логического рассуждения, доказательства ("Справедливо $A$. Следовательно, справедливо $B$").
Для того чтобы доказать утверждение $A\to B$, надо построить логическую цепочку, начинающуюся с предположения $A$ и заканчивающуюся выводом $B$, в которой шаги соединены знаком логического вывода $\Rightarrow$.
Если мы доказали утверждения $A$ и $A\to B$, то можем сделать логический вывод $B$ (правило modus ponens). То есть $A,$ $A\to B$ $\Rightarrow$ $B$.
Вместо знака $\Rightarrow$ в учебниках по математической логике часто используется просто горизонтальная черта:

$$ \dfrac{A,\,A\to B}{B} $$

Сразу предупрежу, что в разных источниках обозначения могут быть разными. Бывает что и знак $\Rightarrow$ означает импликацию.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1630977 писал(а):

Правильно ли я понимаю?

По-моему, Вы какой-то ерундой занимаетесь.

Начиная отсюда:

Vladimir Pliassov в сообщении #1630977 писал(а):

2.

Здесь хотелось бы сказать, почему, как мне кажется, из всех бинарных логических связок именно под импликацией часто подразумевают причинно-следственную связь, и наоборот

я уже перестал что-то понимать.

На самом деле импликация рассматривается как (может быть не совсем полноценный) аналог причинно-следственной связи по причине, которая заключается в:
1) Правиле вывода modus ponens.
2) Теореме дедукции.

Первое, собственно, утверждает, что импликацию буквально можно использовать для вывода следствия из предосылки. Вторая, наоборот, утверждает, что если в некоторой системе аксиом из некой предпосылки выводится некое следствие, то в этой системе аксиом выводима и импликация.

Две эти вещи, рассмотренные вместе, похожи на утверждение о равносильности понятий импликации и выводимости. Однако всё не так просто....

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631239 писал(а):

По-моему, Вы какой-то ерундой занимаетесь.

Начиная отсюда:

Vladimir Pliassov в сообщении #1630977 писал(а):

2.

Здесь хотелось бы сказать, почему, как мне кажется, из всех бинарных логических связок именно под импликацией часто подразумевают причинно-следственную связь, и наоборот

Я там написал (привожу в сокращенном виде и с некоторыми исправлениями):

"во всякой трехстрочной функции (я имею в виду стоки таблицы, которые не оканчиваются нулем, и, разумеется, не нулевую строку), в том числе и в импликации, имеется две причинно-следственные связи (обозначенные $\Rightarrow$):

$$\begin {matrix} \vee \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 0\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \neg p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} \leftarrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 0 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \neg p\Rightarrow \neg q\\ q\Rightarrow p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} \rightarrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow \neg p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} \uparrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 0 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ p\Rightarrow \neg q\\ q\Rightarrow \neg p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} (2) \end {matrix} $$

Что же касается двухстрочных функций, то две из них: эквиваленция и исключающее "или" имеют каждая по четыре причинно-следственной связи:

$$\begin {matrix} \equiv \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 0 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \neg p\Leftrightarrow \neg q\\ p\Leftrightarrow q \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} \oplus \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 0\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 0 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \neg p\Leftrightarrow q\\ \neg q\Leftrightarrow p \end {matrix}\eqno (3) $$

Почему, например, в дизъюнкции ($\vee$) мы имеем $\neg p\Rightarrow q$? Потому что пара $(\neg p, \neg q)$ отображается в нуль, то есть исключается (и вместе с ней из множества $\mathbb N$ исключаются все числа, которые делятся одновременно на $2$ и на $3$, то есть из множества $\mathbb N$ исключается подмножество $N_1$). Таким образом, $\neg p$ остается только в составе пары $(\neg p, q)$, и если число $x$ имеет качество $\neg p$, то необходимо имеет его вместе с качеством $q$ (поэтому для каждого числа из $\mathbb N\setminus N_1$, которое не делится на $2$, необходимо следует, что оно делится на $3$). Аналогично в дизъюнкции ($\vee$) мы имеем $\neg q\Rightarrow p$.

Аналогично же обстоит и с причинно-следственными связями всех остальных бинарных булевых функций, в которых они есть [причинно-следственные связи есть не во всех функциях, их нет в шести из шестнадцати -- если считать, что они есть в четырех однострочных функциях (в числе которых конъюнкция и стрелка Пирса)].

Дело в том, что сомнительно, считать ли, что, например, в конъюнкции из $p$ следует $q$ (и наоборот) ...

Но если 6 или даже 10 функций имеют причинно-следственные связи, почему же именно импликация часто отождествляется с причинно-следственной связью (что, кстати, может приводить к путанице)?

прямая импликация это единственная из всех 16 бинарных булевых функций (если не считать конъюнкции), в которой есть $p\Rightarrow q$, и при этом нет $q\Rightarrow p$, и в этом она совпадает с причинно-следственной связью между $p$ и $q$ (то есть совпадает с $p\Rightarrow q$),

но, как сказано, понятие импликации шире понятия причинно-следственной связи (поскольку в ней одной есть целых две причинно-следственных связи)."

[Vladimir Pliassov]

Что такое посылка импликации? Вот импликация (прямая):

$$ \begin {matrix} \rightarrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow \neg p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; $$

Что в ней является посылкой? Только $p$? Тогда у нее одно следствие -- $q$?

Я раньше думал, что у нее две посылки: $p$ и $\neg p$, -- и два следствия: $q$ и $\neg q$, -- из $p$ следует только $q$ (потому что третья строка вычеркнута, а четвертая остается), из $\neg p$ следует как $q$, так и $\neg q$ (потому что ни первая, ни вторая строки не вычеркнуты).

Также я думал (и сейчас так думаю), что $p$ и $q$ это основные высказывания, а $\neg p$ и $\neg q$ производные (хотя можно назначить наоборот) и что основные и производные противоположны по смыслу, и еще думал (но уже так не думаю и не знаю, что думать), что основные высказывания истинные, а производные ложные, и поэтому из истинного высказывания (из $p$) следует истинное ($q$), а из ложного (из $\neg p$) следует как ложное ($\neg q$), так и истинное ($q$): "из истины следует истина, а из лжи -- как истина, так и ложь". Я полагал, что это общепризнанное предложение, но получил опровержение:

Mikhail_K в сообщении #1631160 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631157 писал(а):

из истинного высказывания следует истинное высказывание, как это обычно говорят в отношении импликации

А в отношении импликации так не говорят.

У Куратовского и Мостовского тоже:

Цитата:

Поскольку импликация с ложной посылкой истинна ...

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 18, 19

Почему импликация с ложной посылкой истинна?

У меня здесь все спуталось.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631240 писал(а):

Я там написал (привожу в сокращенном виде и с некоторыми исправлениями):

Зачем это всё писать, да ещё по второму разу? Мы знаем, какая в классической логике таблица значений истинности у импликации. Она выводится из аксиоматики классического исчисления высказываний. А вот откуда взята аксиоматика - более интересный вопрос.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631256 писал(а):

Мы знаем, какая в классической логике таблица значений истинности у импликации. Она выводится из аксиоматики
классического исчисления высказываний.

Мне кажется, что ее можно легко вывести из следующего конкретного примера.

Возьмем множество $\mathbb N$ и два качества элемента $x\in \mathbb N$:

$p=, $\neg p=,

$q=, $\neg q=.

Из этих качеств сама собой выявится прямая импликация, потому что не найдется $x\in \mathbb N$, который делился бы на $4$ и при этом не делился на $2$.

Об этом примере можно почитать здесь post1185880.html.