Основания классического математического анализа.

[epros]

talash в сообщении #1630133 писал(а):

В то же время, я слышал про так называемую "интуиционистскую логику" по которой нельзя делать утверждения, выделенные жирным в предыдущем абзаце. Я не понимаю как они пришли к такой странной логике.

Очень просто. Есть вещи, которые не удаётся доказать или опровергнуть, а в интуиционистской логике за истину считается только то, что доказано (соответственно, за ложь - то, что опровергнуто).

[Mikhail_K]

talash в сообщении #1630133 писал(а):

В то же время, я слышал про так называемую "интуиционистскую логику" по которой нельзя делать утверждения, выделенные жирным в предыдущем абзаце. Я не понимаю как они пришли к такой странной логике.

Интуиционисты рассуждают примерно так. На самом деле в природе не существует никаких чисел, они есть только в нашем мышлении. Поэтому и утверждения о числах - не могут быть объективно верными или объективно неверными. Но есть те, которые мы доказали и те, которые опровергли.

Если у нас есть число и мы не доказали, что оно рационально, но не доказали и того, что оно иррационально - у нас нет оснований думать, что "на самом деле" оно всё-таки или рационально или иррационально. Потому что "на самом деле" его вообще не существует, а существует (в наших мыслях) лишь то, что мы доказали или опровергли.

[talash]

epros, Mikhail_K, спасибо, наконец понял.

Читал про такую теорему в википедии:

Цитата:

Предположим, что мы хотим доказать теорему, что существуют иррациональные числа $a$ и $b$ такие, что $a^{b}$ рационально.
Известно, что $\sqrt {2}$ иррациональное число. Рассмотрим число:
${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$.
Очевидно (исключая третий вариант), что это число либо рационально, либо иррационально. Если данное число рационально, то теорема доказана. Искомые числа:
$a={\sqrt {2}}$ и $b={\sqrt {2}}$

Но если число ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ является иррациональным, тогда пусть $a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ и ${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$. Следовательно,
${\displaystyle a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2,}$
то есть
${\displaystyle a^{b}}$— рациональное число.

По закону исключённого третьего иных вариантов быть не может. Поэтому теорема в общем случае доказана. Причём доказательство предельно просто и элементарно. С другой стороны, если принять интуиционистскую точку зрения и отказаться от закона исключённого третьего, теорема хотя и может быть доказана, но доказательство её становится исключительно сложным.
link

Допустим, мы не знаем можно ли доказать что число ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ рационально либо иррационально, но ведь мы можем предположить, что такое доказательство отыщется в дальнейшем. И оставаясь на интуиционистской точке зрения привести такие же рассуждения как в цитате выше. После того как искомое доказательство отыщется, наши рассуждения станут истинными.

А если допустить, что принципиально невозможно доказать, что число ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ рационально либо иррационально. То из этого бы следовало, что мы не можем доказать теорему из цитаты в интуиционистской логике. Но в то же время эта теорема была бы доказана в классической логике.

Очень интересно, но осталось понять какая логика совпадает с моей интуитивной логикой.

[epros]

talash, а в чём вопрос?

Замечу, что "принципиальную невозможность доказать" (в некой конкретной аксиоматике) тоже нужно доказывать - на метатеоретическом уровне. Примеры таких доказательств есть.

Насколько я помню, процитированный фрагмент буквально взят из книжки Гейтинга про интуиционизм в переводе и с комментариями Маркова. Это известный пример того, что снятие двойного отрицания - не всегда настолько тривиальная вещь, как принимается в классической логике.

[talash]

Тут вскрылась проблема поглубже. Мы так привыкли к отрицательным числам, что не задумываемся откуда они взялись. Я их себе просто представлял геометрически на числовой прямой, слева от нуля, как симметричное продолжение положительных чисел. А тут задумался и неожиданно осознал, что симметрия нарушается уже в такой элементарной операции, как умножение. $2\times2=4$, значит из соображений симметрии должно быть $(-2)\times(-2)=-4$, а это не так.

В интернетах нашёл кучи якобы интуитивно понятных объяснений отрицательных чисел и их свойств. Но кажется это бесполезная идея искать такие объяснения. Потому что идея введения отрицательных чисел это удобство вычислений, мы хотим сделать операцию вычитания всегда возможной, чтобы не следить за областью определения, можно показать на примерах, что это упрощает расчёты. Иначе мы бы начинали с интуитивной идеи и вводили бы отрицательные числа, отталкиваясь от неё. Но интуиция здесь используется в другом месте, мы исходим из того, что прежде всего не должны пострадать наши правила, касающиеся положительных чисел, потому что они получены из интуитивно очевидных оснований. Например, должна остаться верной общая формула $n\times1 = n$. Отсюда: $1\times(-1) = -1$. И следовательно: $1 = \frac{-1}{-1}$. Как столь же просто получить правило $(-1)\times(-1)=1$? Пока не придумал.

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1630412 писал(а):

Как столь же просто получить правило $(-1)\times(-1)=1$?

Это свойство выполняется в любом (не обязательно даже ассоциативном) кольце с единицей. Доказать можно, например, так:

1) Сначала докажите, что $-(-a) = a$
2) Потом докажите, что $(-1) \cdot a = -a$.
3) И в итоге: $(-1) \cdot (-1) = -(-1) = 1$.

Так что, если Вы хотите, чтобы числа образовывали кольцо, то от свойства "минус на минус равно плюс" никуда не деться.

[Mikhail_K]

talash в сообщении #1630412 писал(а):

Как столь же просто получить правило $(-1)\times(-1)=1$? Пока не придумал.

Если интуитивно, то нарисуйте на числовой прямой числа $(-1)\cdot 1$, $(-1)\cdot 2$, $(-1)\cdot 3$, ... . А потом, когда нарисуете, продолжите эту последовательность точек в другую сторону и увидите, где находятся $(-1)\cdot 0$, $(-1)\cdot (-1)$.

Ещё можно рассуждать как-то так: $(-1)\cdot(-1)-1\cdot 1=(-1)(-1+1)=(-1)\cdot 0=0$. Значит, $(-1)\cdot (-1)=1\cdot 1$.

А как это (и многое другое подобное) доказывается строго, смотрите, например:
Кудрявцев. Курс математического анализа, в 3 томах. Том 1, глава 2;
Ландау. Основы анализа
Демидов. Основания арифметики

[talash]

EminentVictorians, Mikhail_K спасибо.
В самом деле:
1. $a + (-a) = 0$. По определению. Следовательно: $a = 0 - (-a)$ или просто $a = -(-a)$
Со сложением просто, теперь переходим к умножению.

2. Вследствие нашего желания, чтобы общие формулы и законы умножения работали с отрицательными числами, учитывая формулу $1\times{a} = a$ определяем, что $1\times(-1) = -1$.
Далее, подставляем в общие формулы $a=-1$. Получаем:
$2\times{a} = a + a = (-1) + (-1) = -2$
$3\times{a} = a + a + a = (-1) + (-1) + (-1) = -3$
и т.д. Тут умножение интуитивно понятно, один раз взять -1 получим -1, два раза взять -1 получим -2 и т.д. Непонятно что значит -1 раз взять 1 и т.п? Но тут мы хотим чтобы коммутативный закон работал и определяем общую формулу $(-1)\times{a}=-a$

3. Подставляем в эту формулу $-1$ и получаем $(-1)\times(-1) = -(-1)$ и в итоге $(-1)\times(-1) = 1$

В результате мы получили правило, что при умножении и делении минус на минус даёт плюс. В то же время плюс на плюс не даёт минус. Получилась такая несимметричность и непонятно есть ли у умножения отрицательных чисел какой-либо физический смысл? Наверное нету. Но нас это не волнует, так как основная цель была упростить математические рассчёты. Про это хорошо написано в википедии с примером:

Цитата:

Основной целью расширения было желание сделать вычитание такой же полноценной операцией, как сложение. В рамках натуральных чисел можно вычесть только меньшее число из большего, а переместительный закон не включает вычитание — например, выражение:
${\displaystyle 3+4-5}$ допустимо, а выражение с переставленными операндами:
${\displaystyle 3-5+4}$ недопустимо.
link

Но часто, делая математические обобщения, мы получаем удобные инструменты, связанные с физикой. Например, кватернионы. С помощью них можно задавать повороты трёхмерного тела.

[alisa-lebovski]

Да ничего удивительного в отрицательных числах нет, если речь идет, например, о деньгах (убытки, долги) или о времени (сколько-то времени назад). И умножение тоже не удивительно. Например, если каждый день вы становитесь беднее на 2 тысячи рублей, то 2 дня назад вы были богаче на 4 тысячи рублей.

[мат-ламер]

Можно ещё сослаться на третий закон диалектики Энгельса

[Батороев]

talash в сообщении #1630412 писал(а):

Как столь же просто получить правило $(-1)\times(-1)=1$? Пока не придумал.

Расширьте таблицу Пифагора в область отрицательных чисел... и будет Вам счастье.

[bot]

talash в сообщении #1630522 писал(а):

В то же время плюс на плюс не даёт минус

А с какого переляку оно должно давать? Чёт на чёт ведь тоже не даёт нечёт, хотя нечёт на нечёт даёт чёт.
.

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1630414 писал(а):

Так что, если Вы хотите, чтобы числа образовывали кольцо

А почему мы хотим, чтобы числа образовывали "кольцо"? А если мы хотим симметрии?
Из соображений симметрии определяем:

$a\times{a} = a\times{a}$
$(-a)\times(-a) = -(a\times{a})$
$(-a)\times{a} = a\times{a}$
$a\times(-a) = -(a\times{a})$

Некоммутативность умножения выглядит меньшим "злом", чем несимметричность. При таком определении умножения свойство ассоциативности сохраняется. Коммутативность умножения будет действовать для чисел одного знака. Некоммутативно только умножение положительных чисел на отрицательные.

А что приобретаем? Получаем возможность извлекать корни из отрицательных чисел. То есть, алгебраические выражения будут всегда определены, кроме случая деления на 0.

-- 23.02.2024, 08:35 --

bot в сообщении #1630623 писал(а):

А с какого переляку оно должно давать? Чёт на чёт ведь тоже не даёт нечёт, хотя нечёт на нечёт даёт чёт.

Умножение натуральных чисел это закон природы и мы можем проверить его с помощью реальных объектов. А что такое -1 объект умножить на 1 объект мы определяем сами.

[alisa-lebovski]

talash в сообщении #1630624 писал(а):

Умножение натуральных чисел это закон природы и мы можем проверить его с помощью реальных объектов. А что такое -1 объект умножить на 1 объект мы определяем сами.

Нет, это тоже закон природы, на реальных объектах. Исторически так оно и было. Написала об этом выше.

[epros]

мат-ламер в сообщении #1630582 писал(а):

Можно ещё сослаться на третий закон диалектики Энгельса

Но лучше не ссылаться.

talash в сообщении #1630624 писал(а):

Умножение натуральных чисел это закон природы

Это всего лишь определение примитивно рекурсивной функции. Одной из. В каком смысле оно могло существовать "в природе" до того, как люди его придумали, я даже вообразить не могу.

А на отрицательные числа, очевидно, мы просто хотим чтобы распространялись те же правила арифметики, к которым мы привыкли на примере положительных чисел, вот и всё.