Резюмирую, что можно извлечь из нашего разговора. Давайте прикинем на какие результаты можно рассчитывать, если в эксперименте использовать обычные датчики пересечения светового луча для процессов автоматизации, а не высокоточные для физических экспериментов. Такой датчик имеет следующие технические характеристики:
Время отклика:
![$50 \times 10^{-6} \,\text{с.}$ $50 \times 10^{-6} \,\text{с.}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/3/0238cb6e423999206baaf85ee5a065f482.png)
Точность времени отклика:
![$10 \%\text{.}$ $10 \%\text{.}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/3/f03e35146a09e1c7a5dfa258fb36c6c482.png)
Наименьшая распознаваемая частица:
![$40 \times 10^{-6} \,\text{м.}$ $40 \times 10^{-6} \,\text{м.}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/b/29b229e3eee4da3a78fac3af7167ccd982.png)
Диаметр светового пятна:
За точность измерения координаты принимаем размер наименьшей распознаваемой частицей - именно с таким шагом (но точно не меньше) можно перемещать тело возле датчика, чтобы зафиксировать положение, когда датчик срабатывает и сопоставить его с реальной координатой тела (предположим стенд позволяет узнать реальную координату с высокой точностью).
Для оценки, считаем, что на точность в измерении времени влияет только отклик. Поэтому точность в измерении времени равна
![$50 \times 10^{-6} \times 0.1 = 50 \times 10^{-7}$ $50 \times 10^{-6} \times 0.1 = 50 \times 10^{-7}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/7/537983b7949534d91e5ff03afe90789482.png)
.
Пусть координата и время, измеренные
![$n + 1$ $n + 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/4/0b46f732c83c0e66067b0e50c215608982.png)
- ым и
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
- м датчики, равны
![$x_{n+1}$ $x_{n+1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/e/14e12a1273c346610e9daaf5e3aee29a82.png)
/
![$t_{n+1}$ $t_{n+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/b/a9b85307359e3224805c2d3b5192873a82.png)
и
![$x_{n}$ $x_{n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/e/37eeae40a23e466a5f895eb2634ef75882.png)
/
![$t_{n}$ $t_{n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/9/ec9b770ea2cbdbac68a649eb61dc4a3382.png)
. Тогда измеренная скорость
![$v = \frac{x_{n+1} - x_{n}}{(t_{n+1}-t_{n})}$ $v = \frac{x_{n+1} - x_{n}}{(t_{n+1}-t_{n})}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/f/fff5279a330452a3f55bac2e0a54c3eb82.png)
. Пусть
![$\Delta x = x_{n+1} - x_{n}$ $\Delta x = x_{n+1} - x_{n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/e/88e8180e7ab1be56a3d01a0dec8f5d1382.png)
,
![$\Delta{t} = t_{n+1} - t_{n}$ $\Delta{t} = t_{n+1} - t_{n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/9/66921a4f506c114e27af37542719851d82.png)
. Тогда по известной формуле погрешность в измерении скорости равна:
![$\delta v = \frac{\Delta x}{ {\Delta t}^{2}} \times \delta {t_{n+1}} + \frac{\Delta x}{ {\Delta t}^{2}} \times \delta{t_{n}} + \frac{1}{\Delta t} \times \delta{x_{n+1}} + \frac{1}{dt} \times \delta{x_{n}}$ $\delta v = \frac{\Delta x}{ {\Delta t}^{2}} \times \delta {t_{n+1}} + \frac{\Delta x}{ {\Delta t}^{2}} \times \delta{t_{n}} + \frac{1}{\Delta t} \times \delta{x_{n+1}} + \frac{1}{dt} \times \delta{x_{n}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/b/98bc936f3b8e45d4541a8be60faf54c282.png)
, где
![$\delta v$ $\delta v$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/6/b36887db7d1041e84905215911f7753882.png)
- погрешность в измерении скорости,
![$\delta{x_{n+1}}$ $\delta{x_{n+1}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/3/c43f0fc4a495654b4d9d47b23a6a8ee082.png)
- погрешность в измерении координаты
![$n + 1$ $n + 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/4/0b46f732c83c0e66067b0e50c215608982.png)
- ым датчиком,
![$\delta x_{n}$ $\delta x_{n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/0/1c0f01633a4d5dd4c4b39890d2f5a8ef82.png)
- погрешность в измерении скорости
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
- ым датчиком,
![$\delta t_{n+1}$ $\delta t_{n+1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/a/7eaab8b1fc2b1389f6d1bd0bb5f9620282.png)
- погрешность в измерении времени
![$n + 1$ $n + 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/4/0b46f732c83c0e66067b0e50c215608982.png)
- ым датчиком,
![$\delta t_{n}$ $\delta t_{n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/0/8b07ccc76ac7bad1fb104ea50f5e98a082.png)
- погрешность в измерении времени
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
- ым датчиком
Учитывая, что
![$v = \Delta x / \Delta t$ $v = \Delta x / \Delta t$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/e/6fe891b5df30de9b5267e21fd25647ab82.png)
, получаем
![$\delta v = v \times \frac{\delta t_{n+1}}{\Delta t} + v \times \frac{\Delta t_{n}}{\Delta t} + v \times \frac{x_{n+1}}{\Delta x} + v \times \frac{\Delta x_{n}}{\Delta x}$ $\delta v = v \times \frac{\delta t_{n+1}}{\Delta t} + v \times \frac{\Delta t_{n}}{\Delta t} + v \times \frac{x_{n+1}}{\Delta x} + v \times \frac{\Delta x_{n}}{\Delta x}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/8/7d8d60de39fe4a4d9dead1e960f3373982.png)
Относительная погрешность равна:
![$\delta v/v = \frac{\delta t_{n+1}}{\Delta t} + \frac{\Delta t_{n}}{\Delta t} + \frac{\delta x_{n+1}}{\Delta x} + \frac{\delta x_{n}}{\Delta x}$ $\delta v/v = \frac{\delta t_{n+1}}{\Delta t} + \frac{\Delta t_{n}}{\Delta t} + \frac{\delta x_{n+1}}{\Delta x} + \frac{\delta x_{n}}{\Delta x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/7/137d62f026ee945d53af1997c0b69e5182.png)
Погрешности в измерении времени и координаты каждым датчиком одни и теже, т.е.
![$\delta x_{n+1} = \delta x_{n} = \delta x$ $\delta x_{n+1} = \delta x_{n} = \delta x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/b/62bcb643ef6a4fffbc966c4433c218d182.png)
![$\delta t_{n+1} = \delta t_{n} =\delta t$ $\delta t_{n+1} = \delta t_{n} =\delta t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/2/f422050f9b7ee79ce9e5fecb4c335cd382.png)
Тогда
![$\delta v/v = 2 \times \delta t / \Delta t + 2 \times \delta x / \Delta x$ $\delta v/v = 2 \times \delta t / \Delta t + 2 \times \delta x / \Delta x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/f/bdfacd6f343d35e48d448e706fc5d35182.png)
![$\Delta t = 50 \times 10^{-7}$ $\Delta t = 50 \times 10^{-7}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/c/77c3ab6cbb6a253c744a6d9cb9713f4882.png)
![$\Delta x = 40 \times 10^{-6}$ $\Delta x = 40 \times 10^{-6}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/4/554705c46abdf60b0ea1d91d57bb6f9982.png)
Предположим датчики установлены каждые
![$5 \,\text{см}$ $5 \,\text{см}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/8/7b8072ac66e2f8317b4bd6087f25c5c982.png)
. Это возможно, т.к. диаметр светового пятна
![$6 \,\text{мм} < 5 \,\text{см}$ $6 \,\text{мм} < 5 \,\text{см}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/e/2de7b2d59894d6a6c1d1c4dad19fdd3a82.png)
. Тогда
![$ \Delta x = 0.05 \,\text{м}$ $ \Delta x = 0.05 \,\text{м}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/b/c2bc02de804d34a7d9dee5cbd302bbe482.png)
.
Поскольку скорости в эксперименте
![$v \sim 5 \,\text{мм/с} = 0.005 \,\text{м/с}$ $v \sim 5 \,\text{мм/с} = 0.005 \,\text{м/с}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/a/edae39906c3f28d6059cc8ea33c793f382.png)
, то
![$\Delta t ~ \Delta x / v = 0.05 / 0.005 \,\text{м/с} = 10 \,\text{с}$ $\Delta t ~ \Delta x / v = 0.05 / 0.005 \,\text{м/с} = 10 \,\text{с}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/a/cda5042e7707bb994d0a0ab5c6fc749d82.png)
.
Тогда
![$ \delta v/v = 2 \times \frac{50 \times 10^{-7}}{ 10} + 2 \times \frac{40 \times 10^{-6}}{ 0.05} = 10^{-6} + 1.6 \times 10^{-3} \cong 1.6 \times 10^{-3}$ $ \delta v/v = 2 \times \frac{50 \times 10^{-7}}{ 10} + 2 \times \frac{40 \times 10^{-6}}{ 0.05} = 10^{-6} + 1.6 \times 10^{-3} \cong 1.6 \times 10^{-3}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/d/5edfedc78401eda508b3eae119a79a8982.png)
Т.е. точность в измерении скорости примерно
![$0.16 \%$ $0.16 \%$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/5/3953cbcddf77b7b403f57bfef47a11dd82.png)
Что касается нашего эксперимента, точность
![$0.001 \%$ $0.001 \%$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/8/b18de9d11d5130d22f26fd10a37d5a8082.png)
нужна для рекорда. Ну, а если просто опробовать метод можно и по скромнее.