Скажем, если мы дали улицам в городе (координатным линиям) названия вроде "Невский проспект", "Лиговский проспект", "Садовая улица", то мы все еще ничего не знаем о том, какое расстояние от пересечения Невского с Лиговским до пересечения Невского с Садовой. Нужен, грубо говоря, еще "Справочник расстояний", в котором приведены все возможные перекрестки улиц (с выдуманными нами именами, разумеется) и расстояния между ними (перекрестками). Этот справочник и будет метрикой. Закладываешь в него названия улиц, составляющих перекресток - он дает расстояние.
Примерно так и работает человеческий мозг на интуитивном уровне. Мы знаем набор ориентиров (перекресток, магазинов, зданий) и примерная таблица (граф) кто с кем находится "по соседству". Если нужно дойти пешком с точки A до Q, используется именно он чтобы прикинуть путь.
Я вот долго не мог понять, почему координаты не имеют прямого отношения к различным метрическим характеристикам, таким, как расстояние между точками, например. Это особенно в теории относительности выглядело непонятным.
Возможно здесь играет роль и декартовая сетка, которая глубоко вдалбливается еще с молоком в школе. У ней (для отрезков параллельных осей) длины совпадают с численной разнице координат их концов по этих осей. Для непараллельных осей отрезков это хотя и не так, но тем не менее имеется четкая простейшая зависимость (пифагоровая теорема) как из разниц координат извлечь длину.
Вот и цена этого удобства - что координаты выбираются такими, что истинные расстояния/длины выражались через чисел координат как можно попроще - приводит к привыканию, что это обязательно всегда так и должно быть; понятийная разница между длин и координатным меткам размывается.
На самом деле, обычно требование к численным координатам только одно - чтобы они были непрерывными (примерно "близким числам", соответствали бы примерно "близкие по физическому расстоянию точки"; точная формулировка требует нешкольных знаний) и однозначными, на карте на которых их будем применять.... (это устраняет необходимость пользоваться громоздкими таблицами расстояний/соседства именованных мест). И конечно, чтобы была четко определена конкретная процедура "нанесения" конкретных координат, путем их привязки к какими-нибудь физическими объектами/событиями из реальности.