Решение уравнений с модулями

[Andrey from Mos]

Уважаемые участники, не знаю, точно, как называются подобные уравнения. Название моё. Если есть какое-то название - подскажите.

Вот такой простенький случай из учебника:

$ \left\lvert x+2\right\rvert=\left\{ \begin{array}{rcl} &(x+2) \quad\Rightarrow x+2\geqslant 0 \quad\Rightarrow x\geqslant -2& \\ &-(x+2) \quad\Rightarrow x+2 \leqslant 0 \quad\Rightarrow x\leqslant -2& \\ \end{array} \right. $ В обоих неравенствах стоит "равно)!
а потом автор рассматривает значение переменной:
$ x<-2\;\quad-2\leqslant x $
вот, не очень понятно на счет правомерности употребления автором в начале (где он расписывает интервалы) "больше-равно" и одновременно "меньше-равно". Получается же неоднозначность? А ниже автор пишет только знак "меньше", уже без равно. Как-будто бы исправился.
Насколько правомерно в обоих случаях приписывать "равно"?

[dgwuqtj]

Если он буквально так пишет, то всё в порядке. Из равенства $|a| = a$ действительно следует $a \geq 0$, а из $|a| = -a$ - что $a \leq 0$ (но не $a < 0$). Конечно, из $-a = |a| = a$ будут следовать одновременно $a \geq 0$ и $a \leq 0$ (то есть что $a = 0$).

[Andrey from Mos]

В другом примере этот же автор пишет:

$ y=\left\lvert x \right\rvert = \left\{ \begin{array}{rcl} & x \quad \Rightarrow x \geqslant 0 &\\ & -x \quad \Rightarrow x <0 &\\ \end{array} \right. $
В этом случае он во второй строчке ставит знак "меньше".
Может, это вообще не важно: включать ли ноль только в один интервал или в оба?
(Значение функции будет либо +0, либо -0, что одно и то же)

[dgwuqtj]

Если это читать буквально, как "из $|x| = -x$ следует $x < 0$", то это просто неверно. Обычно вместо $\Rightarrow$ ставят запятые, тогда такая запись означает, что $|x| = x$ при $x \geq 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$. То есть импликации в обратную сторону. И тогда не имеет особого значения, писать строгое или нестрогое неравенство, лишь бы все случаи (все значения $x$) были покрыты.

Ещё, если это именно определение, то надо всегда проверять, что разные случаи друг другу не противоречат. То есть в вашем первом примере формулы $x + 2$ и $-(x + 2)$ дают одинаковое значение при $x + 2 = 0$. Но конкретно модуль числа определяется в учебниках только по одному разу.

[Andrey from Mos]

Я, конечно, имел ввиду "при x<0". Только не нашел возможности вставить текст посреди мат. выражения и использовал стрелку. Это не "следует", конечно же, а указание, чему равна функция при переменной в таком-то интервале.
Если нельзя вставить текст, то, наверное, лучше вообще ничего не писать, чтобы избежать ошибок

[Combat Zone]

Andrey from Mos в сообщении #1627853 писал(а):

В другом примере этот же автор пишет:

$
y=\left\lvert x \right\rvert = \left\{
\begin{array}{rcl}
& x \quad \Rightarrow x \geqslant 0 &\\
& -x \quad \Rightarrow x <0 &\\
\end{array}
\right.


$
В этом случае он во второй строчке ставит знак "меньше".
Может, это вообще не важно: включать ли ноль только в один интервал или в оба?
(Значение функции будет либо +0, либо -0, что одно и то же)

$|x|=\begin{cases} x ,&\text{если }x\ge 0\\ -x,&\text{если }x < 0 \end{cases}$

Пользуйтесь. То, как вы набрали, процитируется именно так, как у меня.

куда включена граница интервалов x=0 - туда или сюда, или и туда и сюда, не имеет значеня - в нуле модуль равен нулю, а это и +0, и -0.
Лишь бы она (граница) была хоть куда-то включена.

[Andrey from Mos]

Отдельное спасибо Combat Zone за подробное описание. Ну, значит, я правильно предполагал.
И специалисту с труднопроизносимым ником тоже спасибо)