Лучшая ставка в игре

[Geen]

Geen в сообщении #1626165 писал(а):

Вероятность того, что за $n$ раундов случится $k$ выигрышей состовляет $\left(^n_k\right)p^kq^{n-k}$, выигрыш при этом $1.5^k 0.5^{n-k}$.

-- 19.01.2024, 11:00 --

Так что "возводить в степень" не то что можно, нужно.
А при постоянной ставке выигрыш будет $1.1 N$....

[Parkhomuk]

Пусть $N$ число испытаний, $k$ - случайная величина числа успехов в испытаниях, введем величину $B(k)$ (банк после $N$ испытаний) зависимую от $k$, $B(k)=a1.5^k0.5^{N-k}$, где $a$ начальный банк.
Вероятность конкретной реализации величины $B(k)$ определяется так: $P(k)=\left(^N_k\right)0.6^k0.4^{N-k}$ Тогда, мат.ожидание величины банка после $N$ испытаний: $B(N)=\sum\limits_kP(k)B(k)$
Тогда получится оценка та, что у Geen, мне показалось, что он предлагает именно это.

Евгений Машеров Ваш подход мне тоже понятен и я не вижу в нем ошибки. Но тогда получается что вы оцениваете разные вещи и вот в этом мое непонимание: чем Ваш "Ерема" отличается от "Фомы" Geen

[Null]

talash в сообщении #1626471 писал(а):

И всё-таки правильно, как Geen написал.

Да.

[Евгений Машеров]

Мы хотим максимизировать наш средний доход. Но средние бывают разные. Можно арифметическое использовать, можно геометрическое. Недостаток подхода, основанного на среднем арифметическом, состоит в том, что он приводит к "оптимальной ставке" в 100% капитала. Мы либо необычайно богатеем, либо гарантировано разоряемся. Среднее геометрическое - даёт более консервативную ставку, определяемую критерием Келли.
По мере роста числа испытаний распределение величины выигрыша стремится к логнормальному, а у него "правый хвост длиннее". То есть может быть большинство серий игр проигрышной, но небольшое число очень больших выигрышей даст положительное матожидание.

[talash]

Евгений Машеров в сообщении #1626704 писал(а):

Недостаток подхода, основанного на среднем арифметическом, состоит в том, что он приводит к "оптимальной ставке" в 100% капитала. Мы либо необычайно богатеем, либо гарантировано разоряемся. Среднее геометрическое - даёт более консервативную ставку, определяемую критерием Келли.

Ну с этим кажется уже никто не спорит. Но можем ли мы как-то вот это более рациональное с нашей человеческой точки зрения "среднее геометрическое" применить для игры, где ставка фиксирована - полкапитала, а варьировать можем только начальный капитал и количество раундов, при этом играем один раз в жизни?

[Parkhomuk]

Евгений Машеров в сообщении #1626704 писал(а):

Но средние бывают разные. Можно арифметическое использовать, можно геометрическое.

Спасибо, это замечание, помогло мне разобраться с моим непониманием.

[Евгений Машеров]

talash в сообщении #1626757 писал(а):

Но можем ли мы как-то вот это более рациональное с нашей человеческой точки зрения "среднее геометрическое" применить для игры, где ставка фиксирована - полкапитала, а варьировать можем только начальный капитал и количество раундов, при этом играем один раз в жизни?

Значит, критерий Келли неприменим по двум причинам. Его условия применимости: раундов бесконечно много (или конечно, но много и неизвестно сколько) и доля ставки к капиталу есть предмет выбора.
В описанных условиях "математического", в смысле точного и не зависящего от неуказанных и даже неформализуемых условий, нет. Для выработки рекомендаций надо знать, какую сумму мы вправе потерять, какая вероятность потери для нас "допустимый риск" и можем ли мы распорядиться очень большой суммой, или лучше сравнительно небольшая, но с гарантией.
Положим, что в качестве начальной ставки берём всю наличность за вычетом денег на пропитание до зарплаты. Тогда проигрыш всех денег обиден, но несмертелен. Можем волевым решением задать вероятность пролететь (скажем, 50%). И тогда оптимизировать ставку и число раундов. Максимизируя средний выигрыш (но можно и максимальный, "пан или пропан").
Простенькая модель для 10 раундов даёт:

Ставка к капиталу 0.1
Ср.выигрыш 1.220186658
Макс. Выигрыш 2.59374246
Доля выигрышей 0.63

Ставка к капиталу 0.2
Ср.выигрыш 1.467225368
Макс. Выигрыш 6.191736422
Доля выигрышей 0.6316

Ставка к капиталу 0.5
Ср.выигрыш 2.540201563
Макс. Выигрыш 57.66503906
Доля выигрышей 0.3813

Ставка к капиталу 0.9
Ср.выигрыш 4.937405618
Макс. Выигрыш 613.1066258
Доля выигрышей 0.168

[talash]

Евгений Машеров в сообщении #1626888 писал(а):

В описанных условиях "математического", в смысле точного и не зависящего от неуказанных и даже неформализуемых условий, нет. Для выработки рекомендаций надо знать, какую сумму мы вправе потерять, какая вероятность потери для нас "допустимый риск" и можем ли мы распорядиться очень большой суммой, или лучше сравнительно небольшая, но с гарантией.

Согласен, похоже здесь нету красивых математических стратегий, выгодных с человеческой точки зрения.

[Doctor Boom]

Geen в сообщении #1626472 писал(а):

А при постоянной ставке выигрыш будет $1.1 N$..

Вы правы, если говорить о чистом матожидании Но вот только оно получается за счет крайне маловероятных событий, которые вносят большой вклад в выигрыш, поэтому игра убыточная (выигрыш будет как по моим расчетам). Это легко видеть, если промоделировать сотни игр с 10000 раундов, видно, что везде выигрыш будет почти нулевой, поэтому в игру играть не нужно

[Geen]

Doctor Boom в сообщении #1627604 писал(а):

если говорить о чистом матожидании

Дайте определение грязного матожидания и говорите о нём.

Doctor Boom в сообщении #1627604 писал(а):

поэтому в игру играть не нужно

В какую игру? Вы ничего не перепутали?
При фиксированной (не долевой) ставке "эта игра" очень даже выгодна, как не считай.

[Doctor Boom]

Geen в сообщении #1627666 писал(а):

Дайте определение грязного матожидания и говорите о нём

Ну например такое, которое получается путем отбрасывания хвостов

Geen в сообщении #1627666 писал(а):

В какую игру? Вы ничего не перепутали?
При фиксированной (не долевой) ставке "эта игра" очень даже выгодна, как не считай.

Разумеется, речь про долевую ставку на большой (или средней) дистанции