Уравнение в частных производных

[ewert]

да, про пять икс я зевнул, а Вы -- молодец.

А "почти все" -- да. Раскладываемая функция будет пропорциональна базисной при $k=4$, потому именно ровно она и будет единственным членом разложения.

(там при формальном счёте коэффициентов Фурье при $k=4$ появляется ноль в знаменателе)

[АленаВ]

При $k=2$ же..
А тогда константу,да и вообще все решение тоже записывать для двух случаев?
(Потому что с помощью индикатора не хочется записывать..)

[ewert]

ну Вы меня совсем запутали. Да, при двух.

Не надо индикаторов. Тупо выпишите слагаемые при 0, 1 и 2, а дальше -- ряд.

[АленаВ]

ewert писал(а):

ну Вы меня совсем запутали. Да, при двух.

Не надо индикаторов. Тупо выпишите слагаемые при 0, 1 и 2, а дальше -- ряд.

Чем запутала?(
Да,я поняла как выписывать,спасибо!

[V.V.]

АленаВ, да.

[АленаВ]

И все таки не очень понятно,как например записать эту константу при разных $n$ ..

$T_2(0)=2$,
$T_n(0)=0$, если $n\ne 2$

$$C_n(0)=T_n-\frac {2(-1)^n} {2187p^4}-\frac {4(-1)^n} {81p^2}$$

,где

$$p=(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}$$

Ведь здесь не стоит знак суммы,а просто $n-ые$ слагаемые.
(Или же там не

$$C_n$$

, а просто $C$) ?

[V.V.]

Подставьте ряд в уравнение. Пусть
$u(t,x)=T_n(t)\sin(\pi/4+\pi k/2)$, $f(t,x)=f_n(t)\sin(\pi/4+\pi k/2)$.

Получим
$T'_n+(\pi/4+\pi k/2)^2T_n=f_n(t)$,
$T_n=2\delta_{2n}$, где $\delta_{ij}$ - символ Кронекера.

И решайте себе эти линейные ОДУ...

[АленаВ]

V.V. писал(а):

Подставьте ряд в уравнение. Пусть
$u(t,x)=T_n(t)\sin(\pi/4+\pi k/2)$, $f(t,x)=f_n(t)\sin(\pi/4+\pi k/2)$.

Получим
$T'_n+(\pi/4+\pi k/2)^2T_n=f_n(t)$,
$T_n=2\delta_{2n}$, где $\delta_{ij}$ - символ Кронекера.

И решайте себе эти линейные ОДУ...

Так я уже решила эту систему,правда вот симоволом кронекера не пользовалась,поэтому и не могу записать эту константу..
А что он означает,я уже забыла..

[V.V.]

АленаВ писал(а):

Так я уже решила эту систему,правда вот симоволом кронекера не пользовалась,поэтому и не могу записать эту константу..
А что он означает,я уже забыла..

А что Вам еще надо, если эту систему Вы уже решили???

$\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{cc} 1, & \mbox{\rm если}\, i=j,\\ 0,& \mbox{\rm если}\, i\ne j.\\ \end{array}\right.$

[АленаВ]

V.V. писал(а):

АленаВ писал(а):

Так я уже решила эту систему,правда вот симоволом кронекера не пользовалась,поэтому и не могу записать эту константу..
А что он означает,я уже забыла..

А что Вам еще надо, если эту систему Вы уже решили???

$\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{cc} 1, & \mbox{\rm если}\, i=j,\\ 0,& \mbox{\rm если}\, i\ne j.\\ \end{array}\right.$

Я решила,нашла общее решение,но когда стала находить константу,там получилось что при $n=2$ на одна ,а при других $n$ она другая.Вот я и спросила как это записать..А Вы вот мне и ответил,что с помощью символа Кронекера!