![$\sqrt{\alpha}x+\dot{x}=o(x)$ $\sqrt{\alpha}x+\dot{x}=o(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/d/c5d1ec47a5f6e1aae94c4d79479c83c782.png)
.
Не будет!
Извиняюсь. Сумма потенциальной (как я написал по-новому - со знаком минус) и кинетической энергии сохраняется.
В Ваших договорённостях
![$\dot x^2/2 - \alpha x^2 = H$ $\dot x^2/2 - \alpha x^2 = H$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/1/15153876a2b235d7211a381af1d5170282.png)
,
![$\alpha > 0$ $\alpha > 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/7/027fadd6000dcab00d8ea8a8007ce45082.png)
.
Т.к.
![$U_m = 0$ $U_m = 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/c/9bc63989c5e85698c6b2759fbca0d4e182.png)
,
![$H < 0$ $H < 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/b/9bb03bfce7087bd892d855999f6fd9bc82.png)
,
![$\varepsilon = U_m - H = -H > 0$ $\varepsilon = U_m - H = -H > 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/f/0ffd55646c2f86fb4b31067b4e03e81c82.png)
.
![$\dot x = \pm \sqrt {\alpha x^2 -\varepsilon}$ $\dot x = \pm \sqrt {\alpha x^2 -\varepsilon}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/e/cbe24ddd3cc837cd580570c6beea481782.png)
.
Я понял, что я решаю не совсем ту задачу, что в сборнике. Но удивительным образом она оказывается асимптотически эквивалентной исходной. В сборнике предлагается решить семейство задач, зависящих от параметра
![$\varepsilon=U_m-E$ $\varepsilon=U_m-E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/f/c0fc9486d69ae9b25fba15c90239562482.png)
и рассмотреть, как период колебаний зависит от этого параметра. Я же рассматриваю одну задачу. У меня
![$U_m=E$ $U_m=E$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/b/32b66b28f9b7e4234ac437325fd71bbc82.png)
. Понятно, что тут колебаний вообще не будет. И время достижения точки
![$x=a$ $x=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/7/4d74936f278565f42f4bb42d6534712a82.png)
с уровнем энергии
![$U_m$ $U_m$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/a/b9aa063f031779454dd6ab58da9018ac82.png)
вообще бесконечно. Но тут возникает вопрос, а сколько времени занимает достижение точки с энергией
![$\varepsilon = U_m-E$ $\varepsilon = U_m-E$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/d/f1d773bd6fe7d3f77163a34fae16027782.png)
? Понятно, что для конкретного
![$\varepsilon$ $\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae7733dac2b7b4470696ed36239b67682.png)
это время конечно и не равно полупериоду колебаний в исходной задаче. Но интуитивно кажется, что асимптотически при
![$\varepsilon \to 0$ $\varepsilon \to 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/6/9165d8b997e55d29f10c3d840ef9f9b182.png)
эти времена совпадают. Тем более, что прямые вычисления это подтверждают. Но хотелось бы обосновать это без прямых вычислений. Я пока покину тему, чтобы не мешать помощи топик-стартеру.