Закон по которому период обращаеться в бесконечность

[GAA]

мат-ламер в сообщении #1626836 писал(а):

Извиняюсь. Сумма потенциальной (как я написал по-новому - со знаком минус) и кинетической энергии сохраняется.

Если обозначить через $E$ сумму кинетической и потенциальной энергии (которая сохраняется), то мы получаем $\dot x ^2/2 +U(x) = E$. И указанное Вами уравнение не получить (энергия не равна нулю).

мат-ламер в сообщении #1626839 писал(а):

Вообще-то моё решение не про колебание.

А упражнение про колебание. И вот это

мат-ламер в сообщении #1626839 писал(а):

Движение вдали от потенциального максимума занимает конечное время и не учитывается.

как раз и нужно обосновывать.

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1626840 писал(а):

И указанное Вами уравнение не получить (энергия не равна нулю).

Я там писал:

мат-ламер в сообщении #1626813 писал(а):

Для простоты будем считать, что ... $U_m=0$

На (недостижимом) потенциальном максимуме у меня сумма потенциальной и кинетической энергий равна нулю. Какая разница, от какого уровня считается потенциальная энергия?

GAA в сообщении #1626840 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1626839

писал(а):
Движение вдали от потенциального максимума занимает конечное время и не учитывается. как раз и нужно обосновывать.

Это-то вроде очевидно. Другое дело, что у меня решение для квадратичного потенциала. И тут надо обосновать, что ответ не изменится, если к этому квадратичному потенциалу добавить более высокие степени. Меня удовлетворило, что ответ сходится с вашим и в принципе (с точностью до мультипликативной константы, которой нет в задачнике) с ответом в задачнике. Но, если это представляет интерес, надо будет подумать над более строгим обоснованием.

-- Пн янв 22, 2024 22:51:43 --

GAA в сообщении #1626840 писал(а):

И указанное Вами уравнение не получить (энергия не равна нулю).

Для квадратичного потенциала уравнение вроде верно. Для неквадратичного там возникает бесконечно малая поправка.

[GAA]

мат-ламер в сообщении #1626847 писал(а):

На (недостижимом) потенциальном максимуме у меня сумма потенциальной и кинетической энергий равна нулю. Какая разница, от какого уровня считается потенциальная энергия?

В задаче есть максимум потенциальной энергии $U_m$ и энергия $E$, см. рисунок к упражнению. $\varepsilon = U_m-E$. Конечно, $U_m$ можно взять равным нулю. Но $E$ при этом не будет равна нулю, см. рис. в начальном сообщении ветки или Сборнике задач.

Запишите закон сохранения механической энергии правильно!

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1626849 писал(а):

Но $E$ при этом не будет равно нулю, см. рисунок в начальном сообщении.

У меня буква $E$ обозначает кинетическую энергию. Она не будет равна нулю, а будет стремиться к нулю по мере приближения к потенциальному максимуму. Также при этом по условию $\varepsilon = U_m-E \to 0$ .

-- Пн янв 22, 2024 23:15:21 --

GAA в сообщении #1626849 писал(а):

Запишите закон сохранения механической энергии правильно!

Уже завтра.

[GAA]

Лучший способ усложнить общение это использовать обозначения в своём смысле.
Хорошо. Пусть энергию вы обозначите через $H$. Тогда $\varepsilon = U_m - H$.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1626813 писал(а):

получаем уравнение $\sqrt{\alpha}x=-\dot{x}$

Это будет для квадратичного потенциала. На самом деле там наверное будет
$\sqrt{\alpha}x+\dot{x}=o(x)$ .

[Cosmochelik]

Раз уж у вас тут бурная дискуссия, может кто то сможет обьяснить почему мы можем выбрать такое дельта (Задача 1.5(а) Коткин-Сербо) ?
Очевидо что она может быть какой угодно малой по отношению к длинне $L$, но вот про скорость мне совсем не очевидно
Просто это ключ к пониманию некоторых нюансов задачи которые мы обсуждали ранее

[GAA]

мат-ламер в сообщении #1626852 писал(а):

$\sqrt{\alpha}x+\dot{x}=o(x)$ .

Не будет!

мат-ламер в сообщении #1626836 писал(а):

Извиняюсь. Сумма потенциальной (как я написал по-новому - со знаком минус) и кинетической энергии сохраняется.

В Ваших договорённостях
$\dot x^2/2 - \alpha x^2 = H$, $\alpha > 0$.
Т.к. $U_m = 0$, $H < 0$, $\varepsilon = U_m - H = -H > 0$.

$\dot x = \pm \sqrt {\alpha x^2 -\varepsilon}$.

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1626855 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1626852 писал(а):

$\sqrt{\alpha}x+\dot{x}=o(x)$ .

Не будет!

мат-ламер в сообщении #1626836 писал(а):

Извиняюсь. Сумма потенциальной (как я написал по-новому - со знаком минус) и кинетической энергии сохраняется.

В Ваших договорённостях
$\dot x^2/2 - \alpha x^2 = H$, $\alpha > 0$.
Т.к. $U_m = 0$, $H < 0$, $\varepsilon = U_m - H = -H > 0$.

$\dot x = \pm \sqrt {\alpha x^2 -\varepsilon}$.

Я понял, что я решаю не совсем ту задачу, что в сборнике. Но удивительным образом она оказывается асимптотически эквивалентной исходной. В сборнике предлагается решить семейство задач, зависящих от параметра $\varepsilon=U_m-E$ и рассмотреть, как период колебаний зависит от этого параметра. Я же рассматриваю одну задачу. У меня $U_m=E$ . Понятно, что тут колебаний вообще не будет. И время достижения точки $x=a$ с уровнем энергии $U_m$ вообще бесконечно. Но тут возникает вопрос, а сколько времени занимает достижение точки с энергией $\varepsilon = U_m-E$? Понятно, что для конкретного $\varepsilon$ это время конечно и не равно полупериоду колебаний в исходной задаче. Но интуитивно кажется, что асимптотически при $\varepsilon \to 0$ эти времена совпадают. Тем более, что прямые вычисления это подтверждают. Но хотелось бы обосновать это без прямых вычислений. Я пока покину тему, чтобы не мешать помощи топик-стартеру.

[GAA]

Cosmochelik в сообщении #1626755 писал(а):

Сегодня в течении дня пытался доказать что второй интеграл растет медленнее, но чет не вышло особо

Разбиваем второй интеграл на сумму интегралов

Вложение:

K2.PNG [ 3.49 Кб | Просмотров: 375 ]

$\int_{b_1}^{\hat b_2} \frac{dx}{\sqrt{u_0(x) - \varepsilon}} + \int_{\hat b_2}^{b_2} \frac{dx}{\sqrt{u_0(x) - \varepsilon}}.$
Здесь $u_0(x)= U_m-U(x)$.
Первый интеграл — это интеграл от непрерывной функции.
$\int_{b_1}^{\hat b_2} \frac{dx}{\sqrt{u_0(x) - \varepsilon}} = \int_{b_1}^{\hat b_2} \frac{dx}{\sqrt{u_0(x)}} + \frac {\varepsilon} 2 \int_{b_1}^{\hat b_2} \frac{dx}{u_0^{3/2}(x)} + o(\varepsilon)$.
На последнем участке потенциал «выпукл вниз». Интуиция подсказывает, что худший вариант — это линейная зависимость. Заменяя потенциал на этом участке линейной возрастающей функцией, получаем оценку роста (сверху).

-- Tue 23.01.2024 22:20:41 --

Да, там вторая часть упражнения есть: случай, когда $U^{(2)}(a) = 0$, $U^{(n-1)}(a) = 0$, но $U^{(n)}(a) \ne 0$.