Критерии наилучшего распределения

[epros]

mihaild в сообщении #1626401 писал(а):

(добавляя в неё "готовность ждать")

Ну я же задачу не переопределяю. Я признаю, что при нулевой стоимости броска и отсутствии ограничений на их количество рано или поздно игрок сможет окупить любую стоимость серии. Это чисто формальный вывод, практической пользы от которого немного.

А вот "решения парадокса", которые предлагает та же Википедия, основаны на переопределении задачи.

mihaild в сообщении #1626401 писал(а):

И когда там последний раз реализовывалось что-то даже не неограниченное, а хотя бы вовлекающее суммы больше $\text{BB}(8000)$ долларов?)

Я не могу рассуждать в ****ионах вовлечённых долларов США. Я только знаю, что биржевые котировки относятся к процессам самоорганизованной критичности, для которых характерны степеннЫе законы распределения, а значит если не первый, то какие-то из следующих моментов окажутся расходящимися.

И это не только в экономике. С биологической эволюцией, с процессами в фотосфере Солнца, с вулканической и тектонической активностью - ситуация в точности такая же. Это значит, что хотя мы и привыкли к некоторому "среднему" масштабу происходящих событий, но иногда, ооочень редко происходят события, выходящие за рамки любых ожидаемых масштабов. Никакие "правила шести сигма" тут не работают.

[mihaild]

epros в сообщении #1626410 писал(а):

А вот "решения парадокса", которые предлагает та же Википедия, основаны на переопределении задачи

Я не вижу, в чем разница между "я не готов ждать больше 1000 бросков" и "для меня нет разницы, получить $2^{1000}$ или $2^{2000}$ долларов".

epros в сообщении #1626410 писал(а):

Я только знаю, что биржевые котировки относятся к процессам самоорганизованной критичности, для которых характерны степеннЫе законы распределения

Нет конечно, это модель для упрощения вычислений. На практике все суммы, массы и т.д. конечны.
Тяжелые хвосты и бесконечные моменты вообще никак не связаны, вероятность отклонения на много сигм может быть какой угодно (разрешенной неравенством Чебышева) даже для ограниченных распределений.

[epros]

mihaild в сообщении #1626413 писал(а):

Я не вижу, в чем разница между "я не готов ждать больше 1000 бросков" и "для меня нет разницы, получить $2^{1000}$ или $2^{2000}$ долларов".

Так ограничение числа бросков и не относится к условию задачи. Я об этом говорил только в контексте объяснения того, почему я бы не стал играть на условии стоимости серии в 5, а тем более в 25 дукатов. Кстати, там не только количество бросков имеет значение, но и количество денег, которое игрок должен иметь на руках. Потому что если ему в какой-то момент не хватит денег на очередной взнос, ему придётся покинуть казино в состоянии "проигрался в пух и прах". Вот я и говорю, что если у меня на руках 5000 дукатов и для того, чтобы иметь реальный шанс выиграть ещё 500, я должен весь день бросать монетку, то это не стоит того, хотя это всё и не имеет никакого отношения к условиям задачи.

mihaild в сообщении #1626413 писал(а):

Нет конечно, это модель для упрощения вычислений. На практике все суммы, массы и т.д. конечны.

Каким образом это опровергает самоорганизованную критичность? Разумеется, в рамках наших представлений о том, что такое экономика, кризис не может привести к тому, что инвесторы потеряют больше, чем стоят все мировые активы в совокупности. Если формально посмотреть на степенное распределение, то какая-то мизерная вероятность этого, конечно, обнаружится. Но она настолько мизерная, что Вы можете смело трактовать её как относящуюся к событию, которое в корне изменит наши представления о том, что такое экономика.

mihaild в сообщении #1626413 писал(а):

Тяжелые хвосты и бесконечные моменты вообще никак не связаны, вероятность отклонения на много сигм может быть какой угодно (разрешенной неравенством Чебышева) даже для ограниченных распределений.

Прям вообще никак не связаны? А "ограниченное распределение" это значит на отрезке? Каким образом тогда у него могут быть бесконечные моменты?

[mihaild]

epros в сообщении #1626418 писал(а):

Так ограничение числа бросков и не относится к условию задачи

Так нелинейная полезность денего и не относится к условию задачи. Википедия о ней говорит только в контексте объяснения того, почему люди могут отказываться играть.

epros в сообщении #1626418 писал(а):

Прям вообще никак не связаны?

А какую меру Вы вводите на распределениях, чтобы говорить о "вообще"?

epros в сообщении #1626418 писал(а):

А "ограниченное распределение" это значит на отрезке? Каким образом тогда у него могут быть бесконечные моменты?

А какая связь между нарушением правила шести сигм и бесконечными моментами?

[epros]

mihaild в сообщении #1626419 писал(а):

Так нелинейная полезность денего и не относится к условию задачи. Википедия о ней говорит только в контексте объяснения того, почему люди могут отказываться играть.

Да ладно, там это преподносится как "решение парадокса". И объяснение, что реальные люди не хотят использовать реальную возможность заработать деньги из-за того, что у них, оказывается, ценность этих денег "нелинейная" (т.е. по-сути им просто деньги не нужны) - это так себе объяснение.

И другой вариант объяснения - что маловероятные события считаются за в принципе невозможные, это тоже очень сомнительно.

mihaild в сообщении #1626419 писал(а):

А какую меру Вы вводите на распределениях, чтобы говорить о "вообще"?

Не понял. Распределение, имеющее хвост, убывающий по степенному закону, будет иметь бесконечными моменты, начиная с некоторой степени.

mihaild в сообщении #1626419 писал(а):

А какая связь между нарушением правила шести сигм и бесконечными моментами?

Правило шести сигм, которому учат в бизнес-школах, оно про нормальное распределение. У него все моменты конечные. К процессам, связанным с организованной критичностью, это не относится.

[mihaild]

epros в сообщении #1626421 писал(а):

ценность этих денег "нелинейная" (т.е. по-сути им просто деньги не нужны)

А что, единственная известная Вам нелинейная функция - это константа?

epros в сообщении #1626421 писал(а):

это так себе объяснение

Это вполне нормальное объяснение. На нём половина экономики работает.

epros в сообщении #1626421 писал(а):

Распределение, имеющее хвост, убывающий по степенному закону, будет иметь бесконечными моменты, начиная с некоторой степени

Я про "вообще никак не связано". Есть две характеристики распределения - бесконечные моменты и тяжелые хвосты. Чтобы говорить о том, "вообще" ли они не связаны, нужно сказать, что такое "вообще".

epros в сообщении #1626421 писал(а):

К процессам, связанным с организованной критичностью, это не относится.

И еще ко многим процессам не относится.
Я про то, что нарушение правила шести сигм не означает, что у распределения какие-то моменты бесконечные.

[Евгений Машеров]

Деньги несъедобны (возможное исключение - кожаные деньги Русско-Американской компании, их можно варить и получить некий бульон, но вряд ли их потребляли так). Деньги нужны для обмена их на блага и потребления этих благ. А благами можно насытиться, и удовольствие от потребления растёт медленнее, чем затраты. Представление, что важно относительное изменение, ведёт к выбору логарифмической функции полезности, и никакого парадокса нет.

[epros]

mihaild в сообщении #1626432 писал(а):

А что, единственная известная Вам нелинейная функция - это константа?

Я же не про константу. Я про то, что игрок не настолько обрадуется разом полученному выигрышу в 10 дукатов, чтобы это компенсировало огорчение из-за двух его отдельных взносов по 5 дукатов. Это и значит, что деньги ему не нужны (в той степени, как должны были бы быть нужны).

mihaild в сообщении #1626432 писал(а):

Это вполне нормальное объяснение. На нём половина экономики работает.

Если Вы про убывающую предельную полезность благ, то это явно не тот случай. Там вообще предлагалась логарифмическая шкала ценности ценности денег, всё только ради того, чтобы искусственным образом получить конечное мат. ожидание ценности. Это просто смешно рассуждать о том, что разовый выигрыш в 5000 дукатов вовсе не в 1000 раз ценее взноса в 5 дукатов. Когда на самом деле всё не так: Игрок участвует в тысяче серий бросков ради того, чтобы однажды или дважды выпавший выигрыш в тысячи дукатов компенсировал ему тысячи дукатов, вносимые по нескольку штук за раз.

Я ради интереса промоделировал тысячу серий бросков с помощью генератора случайных чисел и убедился, что средний выигрыш на серию колеблется обычно где-то около 4-8 дукатов, хотя изредка случаются выбросы в сторону нескольких десятков дукатов. Так что моя грубая оценка, что для компенсации стоимости серии в 5 дукатов потребуются тысячи бросков, оказывается близкой к истине.

mihaild в сообщении #1626432 писал(а):

Я про "вообще никак не связано". Есть две характеристики распределения - бесконечные моменты и тяжелые хвосты. Чтобы говорить о том, "вообще" ли они не связаны, нужно сказать, что такое "вообще".

"Вообще" относилось к предполжению о том, что Вы, наверное, знаете какие-то специфические примеры распределений без "тяжёлых хвостов" (особенно интересны "ограниченные"), но с бесконечными моментами (особенно интересно бесконечное мат. ожидание). Потому что по моим понятиям бесконечные моменты обычно получаются именно из-за "тяжёлых хвостов".

mihaild в сообщении #1626432 писал(а):

И еще ко многим процессам не относится.
Я про то, что нарушение правила шести сигм не означает, что у распределения какие-то моменты бесконечные.

А я про то, что распределение с бесконечными моментами не относится к тем, на которые распространяется правило шести сигм. Т.е. не во всех случаях можно пренебречь событиями с малой вероятностью.

-- Пт янв 19, 2024 10:16:29 --

Евгений Машеров в сообщении #1626458 писал(а):

Деньги несъедобны

Вот и я говорю, что Вы пишете о вещах, не относящихся к постановке задачи, в которой реальное казино предлагает реальному игроку за $x$ дукатов побросать монетку в надежде на выигрыш, а тот должен решить, стоит ли ему в этом участвовать.

[Евгений Машеров]

Правильно. Потому, что у реального игрока реальные потребности. А руководствоваться исключительно матожиданием может матмодель игрока. И чем она дальше от реальности, тем более парадоксальным будет её поведение. Матожидание линейно, и оценка через матожидание это одна из форм линеаризации нелинейных в действительности зависимостей. А линеаризация полезный и удобный приём - но работает в небольшой окрестности. Если мы пытаемся выйти за пределы этой окрестности - линейность утрачивается.

[epros]

Вопрос в том, где тут лежит нелинейность. Она явно не в том, что реальные потребности игрока в 1000 дукат якобы не в 1000 раз превосходят его реальные потребности в 1 дукате, потому что он не съест 1000 котлет ценой в 1 дукат. Очевидно, что с таких позиций никто оценивать целесообразность игры не будет. Вот подумайте за себя, станете ли Вы реально играть, если Вам предложат платить за серию бросков 5 дукатов? (Пусть дукат - это 100 рублей). От чего зависит решение? Лично я решал бы, исходя из того, сколько у меня есть времени и денег с собой. Уж точно я бы не стал думать о том, так ли уж мне нужны $10^{100}$ рублей.

[juna]

epros в сообщении #1626460 писал(а):

"Вообще" относилось к предполжению о том, что Вы, наверное, знаете какие-то специфические примеры распределений без "тяжёлых хвостов" (особенно интересны "ограниченные"), но с бесконечными моментами (особенно интересно бесконечное мат. ожидание). Потому что по моим понятиям бесконечные моменты обычно получаются именно из-за "тяжёлых хвостов".

Не понял, а чем Вам классическое распределение Коши не годится? Нет там никаких тяжелых хвостов.

[mihaild]

epros в сообщении #1626460 писал(а):

Я же не про константу.

Но "деньги не нужны" соответствует как раз константной функции полезности.

epros в сообщении #1626460 писал(а):

Я про то, что игрок не настолько обрадуется разом полученному выигрышу в 10 дукатов, чтобы это компенсировало огорчение из-за двух его отдельных взносов по 5 дукатов

А так никто и делает. Ну точнее делает, но это другой вопрос, не связанный с нелинейной полезностью. Подход, при котором дважды заплатить по 5 и получить назад 10 оценивается как что-то сильно плохое, не порождается вообще никакой функцией полезности.
А вот подход, при котором человек не хочет ставить 5 чтобы с вероятностью 60% выиграть 10 - порождается. Как и подход, при котором человек готов поставить 5 чтобы с вероятностью 40% выиграть 10. Подход же, когда человек согласен поставить 5 чтобы выиграть 10 с вероятностью 40%, но не 60% - опять нет.

epros в сообщении #1626460 писал(а):

Это просто смешно рассуждать о том, что разовый выигрыш в 5000 дукатов вовсе не в 1000 раз ценее взноса в 5 дукатов

Это просто смешно, так уверенно отрицать общеизвестные истины.
Вам предлагают выбор: либо с вероятностью $1$ Вы получаете $10^{10}$ долларов, либо с вероятностью $10^{-100}$ Вы получаете $10^{200}$ долларов. Что Вы выберете?

epros в сообщении #1626460 писал(а):

"Вообще" относилось к предполжению о том, что Вы, наверное, знаете какие-то специфические примеры распределений без "тяжёлых хвостов" (особенно интересны "ограниченные"), но с бесконечными моментами (особенно интересно бесконечное мат. ожидание).

А что Вы тут понимаете под "тяжестью хвоста", если нет второго момента - как масштаб брать? Собрать распределение, для которого $P(|x| > k\cdot \sigma)$ быстро убывает, а третий момент бесконечен, несложно.
Но я имел в виду обратное - тяжелые хвосты не влекут бесконечность моментов (и даже неограниченность случайной величины).

epros в сообщении #1626460 писал(а):

Т.е. не во всех случаях можно пренебречь событиями с малой вероятностью.

Нарушение правила шести сигм - это про то, что не во всех случаях вероятность большого отклонения от среднего мала. Причем тут пренебрежение событиями с малой вероятностью?

epros в сообщении #1626473 писал(а):

Уж точно я бы не стал думать о том, так ли уж мне нужны $10^{100}$ рублей

А я в том числе об этом бы и подумал.

Кстати Ваше ограничение на "время" - это тоже нелинейность функции полезности. Либо у Вас полезность денег сублинейна, либо времени сверхлинейна.

[epros]

juna в сообщении #1626477 писал(а):

Не понял, а чем Вам классическое распределение Коши не годится? Нет там никаких тяжелых хвостов.

Степенной закон убывания плотности - по моим понятиям это "тяжёлый хвост".

mihaild в сообщении #1626482 писал(а):

Подход, при котором дважды заплатить по 5 и получить назад 10 оценивается как что-то сильно плохое, не порождается вообще никакой функцией полезности.
А вот подход, при котором человек не хочет ставить 5 чтобы с вероятностью 60% выиграть 10 - порождается. Как и подход, при котором человек готов поставить 5 чтобы с вероятностью 40% выиграть 10. Подход же, когда человек согласен поставить 5 чтобы выиграть 10 с вероятностью 40%, но не 60% - опять нет.

Я не понял, что Вы хотели сказать. Речь воообще не шла ни о какой функции полезности. Если за ставку 5 Вам с вероятностью 60% дают 10, то это выгодно, несмотря на возможное Ваше субъективное нежелание рисковать. Если с первого раза не выиграли, поставьте ещё десяток раз и наверняка получите больше, чем поставили, практически без риска.

mihaild в сообщении #1626482 писал(а):

Вам предлагают выбор: либо с вероятностью $1$ Вы получаете $10^{10}$ долларов, либо с вероятностью $10^{-100}$ Вы получаете $10^{200}$ долларов. Что Вы выберете?

Не существующую в природе сумму я точно не выберу, потому что это очевидное надувательство. И расчёты мат. ожидания здесь уже точно не срабатывают по причинам, не связанным ни с какими функциями полезности денег. О каких "общеизвестных истинах" Вы сейчас говорите?

mihaild в сообщении #1626482 писал(а):

А что Вы тут понимаете под "тяжестью хвоста", если нет второго момента - как масштаб брать? Собрать распределение, для которого $P(|x| > k\cdot \sigma)$ быстро убывает, а третий момент бесконечен, несложно.
Но я имел в виду обратное - тяжелые хвосты не влекут бесконечность моментов (и даже неограниченность случайной величины).

Про хвосты заговорили Вы, так что Вам бы и следовало давать им определения. Своё понимание я изложил: Тяжёлый хвост - это убывание плотности не быстрее, чем по степенному закону. Как я понимаю, это влечёт бесконечность соответствующих моментов.

mihaild в сообщении #1626482 писал(а):

Нарушение правила шести сигм - это про то, что не во всех случаях вероятность большого отклонения от среднего мала. Причем тут пренебрежение событиями с малой вероятностью?

Вероятность может быть и мала, но это не значит, что событие само по себе пренебрежимо. Если вероятность солнечной вспышки, которая уничтожит всю нашу электронику, мала, это не означает, что от этой возможности нужно отмахнуться и даже не пытаться к этому подготовиться.

mihaild в сообщении #1626482 писал(а):

epros в сообщении #1626473 писал(а):

Уж точно я бы не стал думать о том, так ли уж мне нужны $10^{100}$ рублей

А я в том числе об этом бы и подумал.

Ну и зря. Даже если у Вас вдруг выпадут 1000 решек подряд, казино Вам всё равно не заплатит. Это я Вам говорю не с точки зрения формальных условий задачи, а с точки зрения житейского здравого смысла.

mihaild в сообщении #1626482 писал(а):

Кстати Ваше ограничение на "время" - это тоже нелинейность функции полезности. Либо у Вас полезность денег сублинейна, либо времени сверхлинейна.

Не вижу смысла переводить всё в термины какой-то функции полезности. В реальных жизненных ситуациях срабатывают реальные ограничения. Я заведомо не стану играть, если буду знать, что мне потребуется 500 лет и запас в 500 миллиардов долларов в кармане.

[mihaild]

epros в сообщении #1626506 писал(а):

Речь воообще не шла ни о какой функции полезности. Если за ставку 5 Вам с вероятностью 60% дают 10, то это выгодно, несмотря на возможное Ваше субъективное нежелание рисковать

Что такое "выгодность" - положительность мат. ожидания суммы выигрыша?
Вот предлагается при моделирования поведения людей (а также при принятии решений самому) руководствоваться не просто мат. ожиданием суммы выигрыша.

epros в сообщении #1626506 писал(а):

Не существующую в природе сумму я точно не выберу, потому что это очевидное надувательство

Специально для Вас ФРС будет по мере необходимости допечатывать новые купюры.
Но ладно, допустим с вероятностью $1$ получаете $10^9$ долларов, или с вероятностью $2\cdot 10^{-4}$ получаете $10^{13}$, такие суммы существуют. Что выбираете?

epros в сообщении #1626506 писал(а):

О каких "общеизвестных истинах" Вы сейчас говорите?

О тех, что полезность денег нелинейна.

epros в сообщении #1626506 писал(а):

Тяжёлый хвост - это убывание плотности не быстрее, чем по степенному закону

Что такое "не быстрее": $\exists C, n \forall^\infty x: p(x) \geq C x^{-n}$ или $\exists C, n \exists^\infty x: p(x) \geq C x^{-n}$?
Первое очевидно влечет бесконечность моментов, начиная с $n - 1$-го, второе нет.

epros в сообщении #1626506 писал(а):

Если вероятность солнечной вспышки, которая уничтожит всю нашу электронику, мала, это не означает, что от этой возможности нужно отмахнуться и даже не пытаться к этому подготовиться

Зависит от того, насколько имено мала. $10^{-3}$, $10^{-10}$, $10^{-100}$, $10^{-\text{BB}(8000)}$ - это всё маленькие вероятности, но готовиться к ним нужно сильно по-разному.

epros в сообщении #1626506 писал(а):

Не вижу смысла переводить всё в термины какой-то функции полезности

В торговле Вы тоже смысла не видите? Если я продаю Вам яблоко, то либо я продаю его дешевле, чем оно стоит (и тогда зачем мне это?), либо дороже (и тогда зачем Вам это?), либо по "истинной" цене (и тогда зачем нам возиться?).
Моделирование через полезность это позволяет легко описать: легко может быть, что полезность яблока для меня ниже, чем полезность 100 рублей, а для Вас выше, тогда если я продаю Вам яблоко за 100 рублей, то мне становится лучше по моему мнению, а Вам - по вашему.

[epros]

mihaild в сообщении #1626509 писал(а):

Что такое "выгодность" - положительность мат. ожидания суммы выигрыша?
Вот предлагается при моделирования поведения людей (а также при принятии решений самому) руководствоваться не просто мат. ожиданием суммы выигрыша.

В нулевом приближении - да. Дополнительно могут учитываться другие факторы, но "ценность денег" - в последнюю очередь.

mihaild в сообщении #1626509 писал(а):

Но ладно, допустим с вероятностью $1$ получаете $10^9$ долларов, или с вероятностью $2\cdot 10^{-4}$ получаете $10^{13}$, такие суммы существуют. Что выбираете?

Не уверен, что и $10^{13}$ где-то в чистом виде существуют. Эта сумма на два порядка больше самого большого частного состояния. А частные состояния тоже не лежат в наличности или на счетах. Так что перемещение такой суммы денег будет неслабым шоком для мировой экономики, побочные эффекты которого нужно учитывать. Лично я не в состоянии даже представить реакцию мирового сообщества на появление первого в истории долларового триллионера. Это, конечно, не настолько экстремально, как допечатывание специально для меня немыслимой суммы долларов, но всё равно разумным оценкам вряд ли поддаётся. И это вовсе не вопрос "ценности денег", а вопрос именно побочных эффектов для экономики и не только её.

mihaild в сообщении #1626509 писал(а):

О тех, что полезность денег нелинейна.

Это утверждение может иметь смысл только в каком-то очень специфическом контексте.

mihaild в сообщении #1626509 писал(а):

Что такое "не быстрее": $\exists C, n \forall^\infty x: p(x) \geq C x^{-n}$ или $\exists C, n \exists^\infty x: p(x) \geq C x^{-n}$?

Второе я вообще не понимаю о чём. Вообще-то $\exists C, n, x_0~\forall x~(x>x_0 \to p(x) > C x^{-n})$.

mihaild в сообщении #1626509 писал(а):

Зависит от того, насколько имено мала. $10^{-3}$, $10^{-10}$, $10^{-100}$, $10^{-\text{BB}(8000)}$ - это всё маленькие вероятности, но готовиться к ним нужно сильно по-разному.

Думаю, все Ваши оценки излишне оптимистичны, если говорить о вероятности такой вспышки, скажем, в течение 21 века. Астрофизики наверняка могут дать достаточно точную оценку, но уже по тому факту, что за недолгую историю наблюдений нечто похожее уже было, можно судить о многом. Тем не менее, никто никак не готовится. Да и что, в сущности, сделаешь? Наверное, эту позицию можно охарактеризовать так: Когда случится, будем плакать, а сейчас не заморачивайтесь.

mihaild в сообщении #1626509 писал(а):

В торговле Вы тоже смысла не видите? Если я продаю Вам яблоко, то либо я продаю его дешевле, чем оно стоит (и тогда зачем мне это?), либо дороже (и тогда зачем Вам это?), либо по "истинной" цене (и тогда зачем нам возиться?).
Моделирование через полезность это позволяет легко описать: легко может быть, что полезность яблока для меня ниже, чем полезность 100 рублей, а для Вас выше, тогда если я продаю Вам яблоко за 100 рублей, то мне становится лучше по моему мнению, а Вам - по вашему.

Я в курсе, как это моделируется. Эта модель хорошо подходит для потребительских благ, но редко используется для денег самих по себе. Деньги ведь - не предмет потребления, их не нужно есть и пресыщение от них не наступает. Их ценность определяется не потребительскими свойствами, а ликвидностью и надёжностью покупательной способности.