Критерии наилучшего распределения

[Doctor Boom]

mihaild
Да ладно, сравните функции распределений
1) Точечное в $x=5$
2) Равномерное в $x=[9, 10]$

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1626151 писал(а):

Да ладно, сравните функции распределений

Речь про нормальное распределение.

[juna]

Пусть $F(x)=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-M(t))^2}{2\sigma^2}}dt$ - функция распределения вероятностей.
Имеем:

$$F(-x+M(t))+F(x+M(t))=1$$

Пусть

$$F_1(x+M(t_1))>F_2(x+M(t_2))$$

тогда

$$1-F_1(-x+M(t_1))>1-F_2(-x+M(t_2))\Rightarrow F_1(-x+M(t_1))<F_2(-x+M(t_2))$$

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1626156 писал(а):

Речь про нормальное распределение.

Где?

Doctor Boom в сообщении #1626053 писал(а):

Существуют распределения различных дисперсий, при котором графики не пересекаются (не нормальные)

juna в сообщении #1626054 писал(а):

Приведите пример.

Doctor Boom в сообщении #1626151 писал(а):

равните функции распределений
1) Точечное в $x=5$
2) Равномерное в $x=[9, 10]$

-- 16.01.2024, 20:19 --

juna
А почему у вас $M$ зависит от $t$, и где различные дисперсии?

[juna]

Doctor Boom в сообщении #1626175 писал(а):

Где?

Как минимум здесь.

Doctor Boom в сообщении #1626069 писал(а):

Нормальное сойдет. $M=10, D=0.1$ и $M=100, D=0.3$

Doctor Boom в сообщении #1626175 писал(а):

А почему у вас $M$ зависит от $t$, и где различные дисперсии?

$M(t)$ - это математическое ожидание случайной величины $t$. Оно появилось потому, что Вы думаете, что сдвигом вправо-влево можно таки загнать один график под другой. Дисперсии здесь не причем, поскольку приняли $F_1(x)>F_2(x)$.

В общем диалог перестает быть конструктивным.

[Евгений Машеров]

Doctor Boom в сообщении #1626049 писал(а):

Есть принцип, что событиями с достаточной малой вероятностью можно пренебречь, тот же санкт-петербургский парадокс и т.д.

Нет такого принципа. Есть такой инструмент софиста.

[Евгений Машеров]

Даже и при систематической игре матожидание может быть не лучшим вариантом. Поскольку функция полезности может быть нелинейна. Ещё один фактор - неопределённость невероятностного генеза.
Есть у меня хобби, играть в "Свою Игру". И вот тактику ответа на финальный вопрос можно приблизить вероятностно (считая грубо, что правильный ответ каждый игрок даёт с вероятностью 2/3 независимо). При этом выигрывает тот, у кого после ответа максимальная сумма очков. Соответственно, выбирая ставку, получаем распределение сумм исходов. Ну и неопределённость действий противников. Но даже если как-то узнать их ставки
(ставки опытных игроков угадать вероятнее, они могут следовать известным рекомендациям, пусть и не всегда; для новичков это сделать сложнее)
http://forumsi.org/showpost.php?p=106&postcount=8
максимизировать матожидание финальной суммы, играя ва-банк, вообще говоря, нецелесообразно.
Другой пример нелинейной функции полезности - у игрока в рулетку (полагая его разумным, а не "системщиком" или мистиком, верящим в свою особенную удачу). Небольшой проигрыш переносит легко, как плату за развлечение, но выигрыш это чистая радость.

[epros]

Евгений Машеров в сообщении #1626379 писал(а):

функция полезности может быть нелинейна

Честно говоря, это звучит как-то неубедительно. В той же статье Википедии про Санкт-петербургский парадокс есть вариант "решения", основанный на "нелинейной стоимости денег". Типа, десяти дукатам игрок обрадуется не в 10 раз больше, чем одному. Но дело-то ведь не в радости, а в простой экономике - больше игрок унесёт денег, чем принёс, или меньше.

[mihaild]

Евгений Машеров, но ведь описанное по Вашей ссылке "легкое угадывание ставки лидера" дает нам неравновесную по Нэшу ситуацию.

Цитата:

Рассмотрим ситуацию, имевшую место в передаче от 21 марта 2000 года: к финалу у Эндрю было 8000, у шедшей второю Хэйли - 5700, и у замыкающего трио Дэйва - 2700.

Если вы в этой ситуации на месте Эндрю, решение о ставке принять просто, в предположении, что категория финального вопроса нейтральная, т.е., вы знакомы с нею ни чрезвычайно хорошо, ни чрезвычайно плохо. Рационально для Эндрю поставить минимальную сумму, гарантирующую ему победу над Хэйли, пошедшей ва-банк - то есть, достаточно превзойти её (Хэйли) удвоенную сумму на один доллар. В нашем случае следует поставить 3401, что Эндрю в точности и сделал.

[...]
Так вот, Хэйли следовало ставить $299

Если известно, что Хэйли ставит 299, то Эндрю ставит 1 (или 2000 если хочет) и заведомо побеждает. И вроде бы равновесия в чистых стратегиях тут нет.

epros в сообщении #1626382 писал(а):

Но дело-то ведь не в радости, а в простой экономике - больше игрок унесёт денег, чем принёс, или меньше

В конечном итоге, дело в радости - деньги есть нельзя.
Например нет никакой практически значимой разницы между $2^{100}$ и $2^{200}$ долларов - всё интересное, что позволяет сделать вторая сумма, позволяет сделать и первая.

(Оффтоп)

Если пойти чуть глубже, то есть такая проблема с AIXI с неограниченной функцией полезности - для колмогоровских (и вообще всех не штрафующих очень уж сильно за большую полезность) приоров ожидаемая полезность вообще не определена.

[Евгений Машеров]

Ну, так мир вообще нелинеен.
Ещё пример, где матожидание неоптимально.
Вася Пупкин задолжал 10 килобаксов. И знает, что если не отдать, то зарежут (вариант - 10 килобаксов нужны на спасающую жизнь операцию). Он наскрёб пять. Варианты: положить в банк, за месяц набежит 1%, МО положительное, 50 долларов, или же пойти в казино и сделать ставку (красное, чёрное, чёт, нечет - по интуиции), МО отрицательное, -270 долларов. Что-то мне кажется, что ему предпочтительнее второе.

[epros]

mihaild в сообщении #1626384 писал(а):

epros в сообщении #1626382 писал(а):

Но дело-то ведь не в радости, а в простой экономике - больше игрок унесёт денег, чем принёс, или меньше

В конечном итоге, дело в радости - деньги есть нельзя.
Например нет никакой практически значимой разницы между $2^{100}$ и $2^{200}$ долларов - всё интересное, что позволяет сделать вторая сумма, позволяет сделать и первая.

Да нет никакого "конечного итога". Вы сейчас просто переопределяете задачу. В исходной задаче полезность была определена в деньгах, а не в чём-то ином.

Всё становится прозрачно, если модифицировать задачу Санкт-Петербургского парадокса таким образом, что более $n$ раз в одной серии монета не бросается. Например, если орёл не выпал три броска подряд, то игрок получает 8 дукатов, как если бы орёл выпал в четвёртом броске. Нетрудно подсчитать, что при таком условии средний выигрыш составит 2 дуката ($\frac{n+1}{2}$, где $n=3$). Понятно, что если вернуться к исходным условиям ($n \to \infty$), то и средний выигрыш устремляется к бесконечности.

Так что в этом "парадоксе" весь вопрос заключается в том, наскольно большие $n$ готов терпеть игрок.

[Евгений Машеров]

mihaild в сообщении #1626384 писал(а):

но ведь описанное по Вашей ссылке "легкое угадывание ставки лидера" дает нам неравновесную по Нэшу ситуацию.

Я не говорю, что это "лёгкое угадывание", лишь, что можно угадать, в предположении, что следуют неким правилам. Однако даже при наличии таких правил доминирующая стратегия не получается, только можно отбросить доминируемые. И мы переходим в область теории игр, выходя из темы.
Чисто вероятностное рассмотрение - если мы знаем ставки противников.

[mihaild]

epros в сообщении #1626388 писал(а):

Да нет никакого "конечного итога". Вы сейчас просто переопределяете задачу

А в чем, по Вашему мнению, вообще состоит "парадоксальность"? Просто в том, что бывают распределения с бесконечным мат. ожиданием?

[epros]

mihaild в сообщении #1626391 писал(а):

А в чем, по Вашему мнению, вообще состоит "парадоксальность"?

Я-то никакой парадоксальности не вижу. В Википедии написано:

Цитата:

Парадокс заключается в том, что хотя вычисленное значение этого справедливого взноса и равно бесконечности, то есть выше любого возможного выигрыша, реальные игроки ощущают, что даже 25 дукатов — слишком высокая цена для входа в игру.

По мне так и 5 дукатов взноса за серию бросков многовато, но парадокса в этом никакого нет. Например, я могу при таких условиях рассчитывать на доход в 10%, т.е. я не уйду из казино, пока мой выигрыш не составит более 5,5 дукатов в среднем за серию бросков. Но я вижу, что для этого должно быть $n=10$, а такая длинная серия из решек случается в среднем реже, чем раз за тысячу попыток. Т.е. мне нужно рассчитывать на то, чтобы набросать монету несколько тысяч раз. Я морально не готов. Да и времени жалко на то, чтобы заработать несчастные несколько сот дукатов (при этом имея в запасе несколько тысяч - а то ведь может не хватить на следующий взнос).

А уж если исходить из стоимости серии в 25 дукатов, как указано в Википедии, то статистика становится совсем грустной. Там и времени жизни игрока наверняка не хватит.

mihaild в сообщении #1626391 писал(а):

Просто в том, что бывают распределения с бесконечным мат. ожиданием?

Бесконечные мат. ожидания бывают ещё как. Таких процессов в природе полно. БОльшая часть того, что относится к так называемой "самоорганизованной критичности" именно такова. Взять те же биржевые котировки: На первый взгляд там есть какая-то статистика, данные за несколько лет создают иллюзию того, что мы можем оценить моменты распределения. Но раз в несколько десятилетий случаются катастрофические события, которые наглядно демонстрируют, что зря мы полагались на конечность моментов распределений. И тогда трейдеры начинают из окон небоскрёбов выбрасываться.

[mihaild]

epros в сообщении #1626398 писал(а):

Т.е. мне нужно рассчитывать на то, чтобы набросать монету несколько тысяч раз. Я морально не готов.

epros в сообщении #1626388 писал(а):

Вы сейчас просто переопределяете задачу

(добавляя в неё "готовность ждать")

epros в сообщении #1626398 писал(а):

Взять те же биржевые котировки

И когда там последний раз реализовывалось что-то даже не неограниченное, а хотя бы вовлекающее суммы больше $\text{BB}(8000)$ долларов?)