2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение08.01.2024, 22:48 


08/01/24

11
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Известно, что с геометрической точки зрения электромагнитный потенциал представляет собой компоненты локальной формы связности $A_i$ тривиального главного расслоения $P=R^{1,3}\times U(1)$. Данные компоненты преобразуются по правилу ${A_i}' = A_i + d_ia$, которое лежит в основе соответствующей калибровочной теории и объясняет инвариантность наблюдаемых величин, таких как Е и В.

У меня возник вопрос. А можно ли с помощью подобного геометрического подхода описать макроскопическое электростатическое поле $\varphi$? Насколько я понимаю (возможно, ошибаюсь), в этом случае может иметь место только глобальная симметрия, т.е. в каждой точке пространства к значению потенциала мы можем прибавить только одно и то же число, поскольку разность потенциалов - величина наблюдаемая и не может быть произвольно изменена.

Тогда по аналогии можно рассмотреть тривиальное главное расслоение $E = R^3 \times R$ (здесь $R$ - группа трансляций). Форма связности в этом расслоении будет иметь вид $\omega = dx\omega_x + dy\omega_y + dz\omega_z + d\varphi$, а соответствующие компоненты равны $\omega_x = - d_x\varphi$, $\omega_y = - d_y\varphi$, $\omega_z = - d_z\varphi$. Подобное расслоение, только над двумерной базой, подробно рассмотрено у М.О. Катанаева в его "Геометрических методах математической физики". Как нетрудно заметить, в этом случае компоненты формы связности совпадают с компонентами векторного поля Е, т.е. описывают напряженность электростатического поля.

Интересно мнение специалистов. Сам я любитель, поэтому тапками прошу сильно не кидать :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение08.01.2024, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12515
Для начала поправьте формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение08.01.2024, 23:51 


08/01/24

11
Ну вот, только нашел, как знак частной производной вставлять, а тут бац вторая смена... Не дает больше править. В общем, выражения вида $d_i$ - это $\partial_i$, а $R$ - это $\mathbb R$. Приношу извинения

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение09.01.2024, 01:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12515
Зиер гут, Вольдемар. Едем дальше:
igodima в сообщении #1625288 писал(а):
можно ли с помощью подобного геометрического подхода описать макроскопическое электростатическое поле $\varphi$? Насколько я понимаю (возможно, ошибаюсь), в этом случае может иметь место только глобальная симметрия,
Вероятней всего, здесь наблюдается крайне неудачный набор букв. Макроскопическое, в пику микроскопическому, обычно означает тем или иным способом усреднённое. Поясните, что здесь имеете в виду?

Так-то, микроскопически, электростатическое поле является частным случаем электродинамического и никаких новых формулоначертаний не требует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение09.01.2024, 02:04 


29/01/09
604
а в чем смысл тривиальной (нулевой) формы... вообще связность возникает для того что был какой-то метод сравнивать слои над разными точками база (ПВ) - ведь этоже же дифференциальная геометрия, и что такое пренести слой - понятие далеко не интуитивное. Вот и приходит на выручку связность - правило как сравнивать слои (и стало быть дает возможность измерения эволюции). А для чего нужна связность в электростатическом случае. ну есть в каждой точке потенциал - поле скалярное, перенос тривиальный (на любой разумной топологии многообразии)

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение09.01.2024, 11:39 


08/01/24

11
pppppppo_98 в сообщении #1625307 писал(а):
а в чем смысл тривиальной (нулевой) формы...

Из того, что я читал, в релятивистских теориях поля, где пространство-время отождествляется с пространством Минковского, в квантовой механике при описании эффекта Ааронова-Бома, в ситуации с монополем Дирака и еще ряде случаев используется тривиальное расслоение. При этом сама U(1) связность может быть и нетривиальной.

Конкретно мне это нужно, чтобы попытаться приложить в одной не совсем физической области. А геометрический подход как раз и привлекает своей абстрактностью, способностью описывать как физические, так и нефизические объекты. Гипотезы измышляю, в общем :mrgreen:

-- 09.01.2024, 11:45 --

Утундрий в сообщении #1625302 писал(а):
Вероятней всего, здесь наблюдается крайне неудачный набор букв. Макроскопическое, в пику микроскопическому, обычно означает тем или иным способом усреднённое. Поясните, что здесь имеете в виду?

Имеется ввиду попытка геометрического описания электростатического поля в веществе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение09.01.2024, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12515
igodima в сообщении #1625335 писал(а):
Имеется ввиду попытка геометрического описания электростатического поля в веществе.
Для этого нужно, как минимум, геометрически описать само вещество. И тут я могу только пожелать всех и всяческих успехов. Трупы предшественников - вон там.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение09.01.2024, 18:01 


29/01/09
604
igodima в сообщении #1625335 писал(а):
А геометрический подход как раз и привлекает своей абстрактностью, способностью описывать как физические, так и нефизические объекты.

а обыкновенный тензорно алгебраический (как в ладавшице и прочих букварях по калибровочным теориям) вас не устраивает?
Утундрий в сообщении #1625357 писал(а):
геометрически описать само вещество.

не ну есть же струны (правда от самого начального подхода остается только едва заметная оболчка - я как то слабо могу себе визуально представить геометическое пространство в котором 26 измерений для правых мод и 10мерное простанство для левых мод)... но в целом наверное как-то можно... списывать в трупы струны - оснований нет , как соственно нетэкспериметнальной проверки ее следствий в обозримом будущем

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение09.01.2024, 19:10 


08/01/24

11
pppppppo_98 в сообщении #1625383 писал(а):
не ну есть же струны

Зачем сразу струны :mrgreen: Электродинамика сплошной среды в геометрическом аспекте имеет место быть. Например, есть соответствующий раздел у Коноплевой и Попова в их ""Калибровочных полях" и обширный список литературы в приложении к нему. Но там рассматривается искривленное пространство, к которому добавляется еще и тензор кручения, компоненты которого описывают источники поля. Математика получается совершенно неподъемной, наверное, даже для большинства людей с профильным образованием, не говоря уже о простых смертных. Хотелось бы чего-нить попроще и по-наглядней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение10.01.2024, 22:26 


08/01/24

11
Ввиду отсутствия содержательных комментариев и возможного непонимания о чем речь, распишу более подробно.

Потенциал в любой точке электростатического поля может быть получен путем сложения потенциалов отдельных зарядов, создающих это поле. Будем рассматривать "макроскопический" случай, когда элементарных зарядов много, а расстояние между ними пренебрежимо мало, так что их распределение можно считать непрерывным. Создаваемое ими суммарное поле описывается достаточно гладкой скалярной функцией $\varphi$. Для простоты и наглядности рассмотрим одномерный случай $\varphi=f(x)$.

Расслоение. На график данной функции можно посмотреть, как на сечение тривиального главного расслоения $E = \mathbb R \times \mathbb R $. Данное расслоение представляет собой обычную плоскость ${\mathbb R}^2$ с декартовой системой координат $x, \varphi$, в которой ось абсцисс (база) - это физическое пространство, ось ординат (слой) - абстрактное внутреннее пространство состояний, а вся плоскость (пространство расслоения) - фазовое пространство динамической системы.

Касательное пространство. В любой точке $p \in E$ касательное пространство $T_p(E)$ к пространству расслоения представляет собой такую же плоскость ${\mathbb R}^2$, начало координат которой совпадает с точкой $p$, а ось ординат является его вертикальным подпространством $V_p(E)$.

Связность. Зададим в расслоении E связность, то есть инвариантное распределение горизонтальных подпространств $H_p(E)$. Поскольку расслоение тривиально, то сделать это можно следующим образом - сначала задать связность на имеющемся сечении, а затем разнести ее по всему пространству расслоения с помощью группового действия. Пусть точка $p \in E$ лежит на графике функции $\varphi=f(x)$. Отождествим горизонтальное подпространство $H_p(E)$ в точке $p \in E$ с касательной к графику в данной точке. Если провести касательные ко всем точкам графика, то мы зададим связность на имеющемся сечении главного расслоения $Е$.

Изображение

Теперь будем сдвигать полученную конструкцию на все возможные векторы вдоль вертикальной оси и отождествим распределение горизонтальных подпространств с касательными ко всем точкам каждой из полученных кривых. По построению такое распределение будет инвариантно относительно трансляций. Также потребуем выполнение неравенства $\frac{\partial\varphi}{\partial x} \ne \infty$. Это является необходимым и достаточным условием для разложения касательного пространства в каждой точке $p \in E$ в прямую сумму вертикальных и горизонтальных подпространств $T_p(E) = V_p(E) \bigoplus H_p(E)$. Тем самым мы задали связность $\Gamma$ в расслоении $E$.

Касательный вектор. Рассмотрим вектор $X$, касательный к пространству расслоения (обычный вектор на плоскости), в координатном базисе $X = X^x {\partial}_x + X^\varphi {\partial}_\varphi$. Он раскладывается единственным образом на вертикальную и горизонтальную составляющие $X = vX + hX$, где

$vX = X^\varphi {\partial}_\varphi - X^x \frac{\partial\varphi}{\partial x} {\partial}_\varphi$,

$hX = X^x{\partial}_x + X^x \frac{\partial\varphi}{\partial x} {\partial}_\varphi$.

Изображение

Форма связности. Упрощенно говоря, в рассматриваемом случае это 1-форма $\omega : {\mathbb R}^2 \to \mathbb R$, ставящее в соответствие каждому касательному вектору $X$ его вертикальную компоненту $vX$. Форма связности однозначно определяет распределение горизонтальных подпространств и, следовательно, связность $\Gamma$ в расслоении $E$. Действительно, если известны два вектора $X$ и $vX$, то всегда можно найти третий вектор $hX$, а, значит, и все горизонтальное подпространство $H_p(E)$. Как и любая 1-форма форма связности может быть представлена в виде $\omega = dx {\omega}_x + d\varphi$, где $dx$ и $d\varphi$ - дифференциалы координат вектора в дуальном пространстве 1-форм, а ${\omega}_x$ - вещественная компонента, дифференцируемо зависящая от точки $x \in \mathbb R$. Исходя из вышеприведенного разложения вектора $X$ на вертикальную и горизонтальную составляющую, данная компонента равна:

${\omega}_x = - \frac{\partial\varphi}{\partial x}$.

Как известно, электростатический потенциал определен с точностью до произвольной константы. Это означает, что если мы добавим или вычтем постоянное значение из потенциала во всех точках пространства, то поле и все его свойства останутся неизменными. В данной геометрической модели это свойство реализуется за счет трансляционной инвариантности - при сдвигании графика по вертикали производная в каждой его точке остается неизменной. При этом компонента формы связности ${\omega}_x$ совпадает с компонентой векторного поля $E_x$ и описывает напряженность электростатического поля E.

-- 10.01.2024, 22:47 --

Уважаемые коллеги! Хотелось бы получить комментарии по существу: "да, это корректное описание", "нет, это ахинея, потому, что...". С восклицаниями типа "а зачем это нужно..." и "а не проще ли..." просьба проходить мимо. Спасибо за понимание :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение11.01.2024, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12515
Вместо всец этой тонны букв и символов можно было сказать примерно следующее. Мы присобачили к пространству Минковского пятое измерение и отложили вдоль него скалярный потенциал. Нобелевку сюда!

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение12.01.2024, 22:19 


08/01/24

11
По аналогии можно рассмотреть потенциал, каким он видится с точки зрения калибровочной теории. Для наглядности также ограничимся одним физическим измерением. Теперь в качестве модели будет выступать поверхность бесконечного цилиндра единичного радиуса, образующая которого (прямая $\mathbb R$) – это база, физическое пространство, а направляющая (единичная окружность $S^1$) – слой, представляющий собой мультипликативную группу Ли комплексных чисел, равных по модулю единице. Данная группа обозначается $U(1)$ и реализуется элементами вида $g = e^{i\theta}$. Таким образом, мы получили тривиальное главное расслоение $P = \mathbb R \times U(1)$.

Касательное пространство к пространству расслоения в точке $p \in P$ представляет собой плоскость, которая проходит ровно через одну образующую, содержащую данную точку. Связность на данном расслоении задается так же, как и в вышерассмотренном случае. Сначала выбирается некоторое сечение – кривая $g(x) = e^{iy(x)}$ на поверхности цилиндра. При этом функция $y = f(x)$, параметризующая данную кривую, принимает значения в интервале $[0, 2 \pi]$, концы которого отождествлены. Ко всем точкам этой кривой проводятся касательные, которые отождествляются с горизонтальными подпространствами. Затем полученная конструкция вращается вокруг оси цилиндра на все возможные углы, в результате чего и получается связность – распределение горизонтальных подпространств, инвариантное относительно группового действия.

Изображение

Потенциал в данной модели отождествляется с компонентой локальной формы связности $A_x$. Для этого задается произвольное сечение $\sigma(x) = e^{i \alpha (x)}$, $\alpha \in [0, 2 \pi]$. Дифференциал данного сечения отображает вектор $X$, касательный к базе, в вектор $\sigma X$, касательный к пространству расслоения, следующим образом. Как видно из рисунка, приращению аргумента $\partial x$ соответствует приращение параметра $\alpha$.

Изображение

Если $\partial x$ стремится к нулю, то дуга $\partial \alpha$ переходит в бесконечно малый отрезок на касательной плоскости, такой что:$$\sigma X = X^x{\partial}_x + X^x\frac{\partial \alpha }{\partial x} {\partial}_y$$
При этом вертикальная компонента вектора $\sigma X$ будет равна:$$v(\sigma X) = X^x\frac{\partial \alpha }{\partial x} {\partial}_y - X^x\frac{\partial y}{\partial x} {\partial}_y = X^x\frac{\partial (\alpha-y)}{\partial x} {\partial}_y$$

Изображение

По определению в рассматриваемом случае локальная форма связности $\omega_{\sigma}$ на векторе $X$ принимается равной форме связности на векторе $\sigma X$: $\omega_{\sigma}(X) = \omega (\sigma X) = dxA_x$, откуда следует выражение для компоненты локальной формы связности: $$A_x = \frac{\partial (\alpha-y)}{\partial x}$$

Если имеется другое сечение $\sigma’(x) = e^{i \alpha’ (x)}$, такое что $\varphi (x) = \alpha’ (x) - \alpha (x)$, то потенциал $A_x$ будет изменяться по правилу: $${A’}_x = A_x + {\partial}_x \varphi $$ Действительно: $$A_x = \frac{\partial \alpha}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial x}$$ $${A’}_x = \frac{\partial \alpha'}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial x}$$ откуда: $${A’}_x - A_x = \frac{\partial \alpha'}{\partial x} - \frac{\partial \alpha}{\partial x} = \frac{\partial (\alpha' - \alpha)}{\partial x} = \frac{\partial \varphi}{\partial x} = {\partial}_x \varphi$$ Наглядно это видно на рисунке, где при повороте на угол $\varphi $ вектор еще дополнительно доворачивается на дугу, которая и будет равна $\partial \varphi$.

Изображение

Данное преобразование потенциала является калибровочным, поскольку параметр преобразования $\varphi (x)$ дифференцируемо зависит от точки пространства-времени. Его можно рассматривать как переход от одного сечения к другому либо как сдвиг точек расслоения под действием структурной группы. При этом сама форма связности, отождествляемая с электромагнитным полем, вообще никак не преобразуется, поскольку задана на пространстве расслоения еще до рассмотрения каких-либо сечений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение12.01.2024, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12515
igodima
Вы действительно не понимаете насколько это всё тривиально? Прекратите извергать из себя псевдоматематический понос и явно сформулируйте предмет обсуждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение12.01.2024, 23:21 


08/01/24

11
Утундрий в сообщении #1625688 писал(а):
извергать из себя псевдоматематический понос

Вы себе не слишком ли много позволяете, уважаемый Заслуженный участник? То свои неудовлетворенные влажные фантазии о Нобелевке на меня проецируете, то теперь вот проблемы с пищеварением. А на счет тривиальности - так у вас же вещество еще не описано с геометрической точки зрения. Уверены, что все правильно понимаете?

Тема обсуждения - корректность предложенных наглядных иллюстраций электростатического потенциала. Да, простенько, но не все же здесь д.ф.-м.н.? Или все? Если все, и модераторы сочтут тему недостойной нахождения на данном форуме - пожалуйста, пусть сносят. Если же нет, то еще раз прошу Вас, Утундрий, персонально, проходите мимо.

P.S. И в каком, кстати, месте Вы у меня псевдоматематику увидели? Каждое предложение готов подкрепить ссылкой из литературы. Просто еще не значит тривиально и тем более псевдонаучно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Электростатическое поле с геометрической точки зрения
Сообщение13.01.2024, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12515
igodima
Ещё (и последний) раз спрашиваю: в чём предмет обсуждения? Иллюстрации свойств графика функции путём изображения графика функции с учётом её свойств - не предлагать. Воздержитесь от дальнейших излияний букв, пока не ответите на этот вопрос. Считайте это требованием ЗУ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group