Ввиду отсутствия содержательных комментариев и возможного непонимания о чем речь, распишу более подробно.
Потенциал в любой точке электростатического поля может быть получен путем сложения потенциалов отдельных зарядов, создающих это поле. Будем рассматривать "макроскопический" случай, когда элементарных зарядов много, а расстояние между ними пренебрежимо мало, так что их распределение можно считать непрерывным. Создаваемое ими суммарное поле описывается достаточно гладкой скалярной функцией

. Для простоты и наглядности рассмотрим одномерный случай

.
Расслоение. На график данной функции можно посмотреть, как на сечение тривиального главного расслоения

. Данное расслоение представляет собой обычную плоскость

с декартовой системой координат

, в которой ось абсцисс (база) - это физическое пространство, ось ординат (слой) - абстрактное внутреннее пространство состояний, а вся плоскость (пространство расслоения) - фазовое пространство динамической системы.
Касательное пространство. В любой точке

касательное пространство

к пространству расслоения представляет собой такую же плоскость

, начало координат которой совпадает с точкой

, а ось ординат является его вертикальным подпространством

.
Связность. Зададим в расслоении
E связность, то есть инвариантное распределение горизонтальных подпространств

. Поскольку расслоение тривиально, то сделать это можно следующим образом - сначала задать связность на имеющемся сечении, а затем разнести ее по всему пространству расслоения с помощью группового действия. Пусть точка

лежит на графике функции

. Отождествим горизонтальное подпространство

в точке

с касательной к графику в данной точке. Если провести касательные ко всем точкам графика, то мы зададим связность на имеющемся сечении главного расслоения

.

Теперь будем сдвигать полученную конструкцию на все возможные векторы вдоль вертикальной оси и отождествим распределение горизонтальных подпространств с касательными ко всем точкам каждой из полученных кривых. По построению такое распределение будет инвариантно относительно трансляций. Также потребуем выполнение неравенства

. Это является необходимым и достаточным условием для разложения касательного пространства в каждой точке

в прямую сумму вертикальных и горизонтальных подпространств

. Тем самым мы задали связность

в расслоении

.
Касательный вектор. Рассмотрим вектор

, касательный к пространству расслоения (обычный вектор на плоскости), в координатном базисе

. Он раскладывается единственным образом на вертикальную и горизонтальную составляющие

, где

,

.
Форма связности. Упрощенно говоря, в рассматриваемом случае это 1-форма

, ставящее в соответствие каждому касательному вектору

его вертикальную компоненту

. Форма связности однозначно определяет распределение горизонтальных подпространств и, следовательно, связность

в расслоении

. Действительно, если известны два вектора

и

, то всегда можно найти третий вектор

, а, значит, и все горизонтальное подпространство

. Как и любая 1-форма форма связности может быть представлена в виде

, где

и

- дифференциалы координат вектора в дуальном пространстве 1-форм, а

- вещественная компонента, дифференцируемо зависящая от точки

. Исходя из вышеприведенного разложения вектора

на вертикальную и горизонтальную составляющую, данная компонента равна:

.
Как известно, электростатический потенциал определен с точностью до произвольной константы. Это означает, что если мы добавим или вычтем постоянное значение из потенциала во всех точках пространства, то поле и все его свойства останутся неизменными. В данной геометрической модели это свойство реализуется за счет трансляционной инвариантности - при сдвигании графика по вертикали производная в каждой его точке остается неизменной. При этом компонента формы связности

совпадает с компонентой векторного поля

и описывает напряженность электростатического поля
E.
-- 10.01.2024, 22:47 --Уважаемые коллеги! Хотелось бы получить комментарии по существу: "да, это корректное описание", "нет, это ахинея, потому, что...". С восклицаниями типа "а зачем это нужно..." и "а не проще ли..." просьба проходить мимо. Спасибо за понимание
