Основания классического математического анализа.

[tolstopuz]

talash в сообщении #1624765 писал(а):

А что такое тогда "иррациональное число" или "бесконечная десятичная дробь"? Это числа, которые мы не можем записать? Или можем записать с помощью сокращений, взяв период в скобки или используя троеточия?

А вы можете записать $10^{10^{100}}$, не используя троеточий и других сокращений?

[talash]

iifat в сообщении #1624988 писал(а):

talash в сообщении #1624973 писал(а):

результат деления $\frac{1}{3}$ неопределён

Ну вот опять. Так определён ($0.1_3$) или неопределён всё же?

В троичной системе счисления результат определён. В десятичной системе неопределён.
Вы хотите, чтобы в десятичной системе результат был определён и содержал актуально бесконечное количество цифр?

-- 06.01.2024, 11:12 --

EminentVictorians в сообщении #1624978 писал(а):

Пойму, если распишете все на принятом в математике уровне строгости. С нормальными определениями, на теоретико-множественном языке.

Традиционная математика появилась до теории множеств, поэтому язык оснований будет без неё. Обратите внимание на цитаты:

Dicson в сообщении #1624272 писал(а):

В точке "мало бесконечности", но где её больше, проблемы случаются чаще. Ничего бесконечное непосредственно наблюдать невозможно, поэтому абстрагировать бесконечные объекты сложнее. Например, прибавляя по единице, натуральный ряд можно продолжать бесконечно. Что мешает многим людям воспринимать множество натуральных чисел, как завершённый объект. Объект бесконечен, где бы ни помыслить границу, он сразу становится бесконечно её больше, и так постоянно, как бы далеко ни кинуть взгляд. Как же можно представить такой объект завершённым?

Тут согласен с Dicson, уже в словосочетании "множество натуральных чисел" содержится намёк на актуальную бесконечность. У нас её не будет.

talash в сообщении #1624148 писал(а):

Я только и читаю, что старые книги, потому что не понимаю оснований теории множеств. Основания традиционной математики (от арифметики до классического матанализа) примерно понимаю, но хочу углубить это понимание. Также я убеждён и считаю очевидным, что математика, построенная на разных основаниях, должна чётко разделяться. Любая новая математика, построенная на новых основаниях, должна идти отдельным разделом, даже если она вроде бы включает в себя предыдущую математику. Потому что математика на старых основаниях более понятна и более надёжна, а значит должна быть, во-первых, сохранена, а, во-вторых, иметь перспективу дальнейшего развития.

talash в сообщении #1624826 писал(а):

Запрет на выполнение бесконечных операций естественен. Мы не можем выполнить бесконечную операцию в жизни и не будем вводить подобные действия в математику. Я сейчас говорю про основания "традиционной математики" (от арифметики до классического матанализа), где этот запрет всегда старались соблюдать. Теория множеств это математика, построенная на других основаниях и она должна идти отдельным разделом. Может быть теорию множеств тоже можно разбить на части, дискретная математика наверное ближе к традиционным основаниям.

-- 06.01.2024, 11:14 --

tolstopuz в сообщении #1624991 писал(а):

А вы можете записать $10^{10^{100}}$, не используя троеточий и других сокращений?

Мы можем записать результат этого выражения, но чем больше число, тем дольше его записывать. Но главное, что это займёт конечное время и значит это возможно. Запрещены только бесконечные операции.

[EminentVictorians]

talash
Если Вы даже $\mathbb N$ считаете плохо определенным, то я уже точно не смогу ничем помочь... Даже конструктивисты считают его нормально определенным объектом. Вы, похоже, не от актуальной бесконечности хотите отказаться, а от вообще любой.

Можете посмотреть на (ультра)финитистские версии анализа, но там какая-то своя атмосфера. Производная у них определяется просто как отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, где $\Delta x$ - это конечное (правда очень маленькое) число. Вроде как у них работает формула $\operatorname{ln}(ab) = \operatorname{ln}(a) + \operatorname{ln}(b)$, но корня из двух у них нету. Меня все это не очень впечатляет, но можете посмотреть - вдруг понравится.

[warlock66613]

talash в сообщении #1625008 писал(а):

Но главное, что это займёт конечное время и значит это возможно.

Сомнительно. Физически не существует принципиальной разницы между бесконечным и достаточно большим конечным временем записи: и то и другое в равной степени недостижимо и невыполнимо. (Не говоря уже о нехватке чернил, нехватке места для записи, а если "мельчить", то запись будет весить столько, что свернётся в чёрную дыру.)

[iifat]

talash в сообщении #1625008 писал(а):

Вы хотите

Я всего-то лишь хочу, чтобы математика не зависела принципиально от системы счисления.

[talash]

iifat в сообщении #1625113 писал(а):

talash в сообщении #1625008 писал(а):

Вы хотите

Я всего-то лишь хочу, чтобы математика не зависела принципиально от системы счисления.

Тогда так. Результат математического выражения, то есть число, будем считать определённым, если можем его получить с любой необходимой нам точностью. Таким образом, результат операции $\frac{1}{3}$ будет существовать в любой позиционной системе счисления.

Число это конструкция в позиционной системе счисления. А $\frac{1}{3}$ или $\sqrt{2}$ это выражения, а не числа. Когда говорят число $\frac{1}{3}$, имеют ввиду результат выражения.

Иррациональное число или бесконечная периодическая дробь не могут существовать(быть записаны), как числа. Иррациональное число может быть задано выражением, например, корнем или бесконечным рядом. Бесконечная периодическая дробь может быть задана обыкновенной дробью. А числовая запись этих чисел может быть только округлённой.

Так будет лучше. Спасибо, что навели на мысль.

[warlock66613]

talash в сообщении #1625261 писал(а):

число, будем считать определённым, если можем его получить с любой необходимой нам точностью

talash в сообщении #1625261 писал(а):

Иррациональное число или бесконечная периодическая дробь не могут существовать(быть записаны), как числа.

Противоречите себе.

[talash]

warlock66613 в сообщении #1625266 писал(а):

talash в сообщении #1625261 писал(а):

число, будем считать определённым, если можем его получить с любой необходимой нам точностью

talash в сообщении #1625261 писал(а):

Иррациональное число или бесконечная периодическая дробь не могут существовать(быть записаны), как числа.

Противоречите себе.

А мы можем использовать алгебраический приём и обозначить иррациональное число буквой $a$. Далее приведём пример, что это именно результат вычисления, а не определение $a$.

Например, $\sqrt{2}$ может быть вычислен так:

$$x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_n + \frac{2}{x_n})$$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a$$

Поскольку $a$ это результат вычисления, то мы можем приближённые значения искать по любой другой формуле для $\sqrt{2}$, например, разложив в ряд Тейлора функцию $f(x) = \sqrt{1+x}$

$$a \approx 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{5}{128} = 1.421875$$

Таким образом, если результат вычисления есть иррациональное число, то он определён и мы его можем обозначить буквой. Но в точном числовом виде мы этот результат записать не можем, например, такая запись не допускается:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = 1,4142135623730950488…$$

По той причине, что в наших основаниях нельзя выполнить бесконечное действие, а тут за троеточием именно оно и скрывается.

-- 08.01.2024, 21:41 --

EminentVictorians в сообщении #1625013 писал(а):

talash
Если Вы даже $\mathbb N$ считаете плохо определенным, то я уже точно не смогу ничем помочь... Даже конструктивисты считают его нормально определенным объектом. Вы, похоже, не от актуальной бесконечности хотите отказаться, а от вообще любой.

Я рассматриваю ряд натуральных чисел, как интуитивную конструкцию. Математика в общем виде работает так: мы задаём максимально строгие правила, используя сравнительно простые интуитивные понятия и конструкции. А далее используем эти правила для контроля верности сложных конструкций, где интуиция может нас подвести.

Что касается теории множеств в классическом матанализе, то она появилась там при Вейерштрассе, я пока ещё до него не добрался. Нужно понять это просто удобные обозначения или действительно там как-то используются именно множества.

-- 08.01.2024, 21:53 --

warlock66613 в сообщении #1625018 писал(а):

talash в сообщении #1625008 писал(а):

Но главное, что это займёт конечное время и значит это возможно.

Сомнительно. Физически не существует принципиальной разницы между бесконечным и достаточно большим конечным временем записи: и то и другое в равной степени недостижимо и невыполнимо. (Не говоря уже о нехватке чернил, нехватке места для записи, а если "мельчить", то запись будет весить столько, что свернётся в чёрную дыру.)

Число у нас это идеальная конструкция, то есть оно в голове. Мы всегда можем добавить ещё один старший разряд к нашему числу и это называется неограниченность. Мы у себя в голове можем записывать цифры сколь угодно быстро, и записать там $10^{10^{100}}$ в виде числа, а не выражения. Но насколько бы быстро мы не записывали цифры, мы не можем достичь бесконечности, потому что скорость записи сколь нам угодно большая, но конечная.

[Geen]

talash в сообщении #1625285 писал(а):

есть оно в голове. Мы всегда можем добавить ещё один старший разряд к нашему числу

Нет - количество информации весьма существенно ограничено площадью поверхности.
Так что "в голове" не можем.

[warlock66613]

talash в сообщении #1625285 писал(а):

скорость записи сколь нам угодно большая, но конечная

На бумаге — да, а "в голове" можно и бесконечную сделать и даже ещё больше.

-- 09.01.2024, 10:34 --

talash в сообщении #1625285 писал(а):

а тут за троеточием именно оно и скрывается

Да нет, за ним скрывается только то, что указанный ряд цифр может быть продолжен и продолжен неограниченно. А вот за вашим $a$ как раз скрывается "бесконечное действие". Вон оно выглядывает, значком бесконечности манифестирует:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a.$$

Надо вам наоборот всё сделать: что разрешили — запретить, а что запретили — разрешить.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1625013 писал(а):

talash
Если Вы даже $\mathbb N$ считаете плохо определенным, то я уже точно не смогу ничем помочь... Даже конструктивисты считают его нормально определенным объектом.

"Нормально определённым" примерно в той же степени, в которой нормально определён и сам конструктивизм. Вообще-то "множество всех натуральных чисел" - уже достаточно фантастический объект, чтобы иметь основания сомневаться в его существовании. В частности, есть версии теории множеств, в которых оно недоказуемо.

У конструктивизма, конечно, не может быть претензий к конструктивности утверждения о существовании $\mathbb N$ ("актуальной бесконечности"), потому что его единственность вроде бы доказуема. Однако не стоит забывать, что эта единственность доказуема в той аксиоматике, модель которой не единственна.

talash в сообщении #1625261 писал(а):

Число это конструкция в позиционной системе счисления. А $\frac{1}{3}$ или $\sqrt{2}$ это выражения, а не числа. Когда говорят число $\frac{1}{3}$, имеют ввиду результат выражения.

Иррациональное число или бесконечная периодическая дробь не могут существовать(быть записаны), как числа. Иррациональное число может быть задано выражением, например, корнем или бесконечным рядом.

А чем Вам не нравится определение числа выражением? Обычно есть конечные записи рекурсивных функций, которые позволяют вычислить рациональную дробь, приближающую интересующее нас число с любой точностью. Такие числа называются "конструктивными".

Да, есть отличие от "конструкции в позиционной системе счисления". Например, определим число $x$ таким образом: $i$-тый двоичный разряд после запятой равен $1$, если $2i+1$ - совершенное число, и $0$ в ином случае. Поскольку математике неизвестно, существуют ли нечётные совершенные числа, мы не знаем, равно ли $x$ нулю. Однако оно определено как "конструктивное действительное число" и даже в Вашем смысле - как "конструкция в позиционной системе счисления" (это называется "вычислимая двоичная дробь"). При этом интересно, что число $1-x$ тоже является конструктивным действительным, хотя мы не знаем ни одной цифры его двоичной (или десятичной) записи. Т.е. в Вашем смысле оно не определено, ибо не выражается вычислимой двоичной или десятичной дробью.

[talash]

Я напомню проблему. Говорят "число $\frac{1}{3}$", говорят "число $\sqrt{2}$". А ряд это тоже число? Непонятно, где число, а где выражение. Я хочу в основаниях написать, что число это конструкция в позиционной системе счисления, а всё остальное это математические выражения. Когда говорят "число $\frac{1}{3}$" подразумевается результат этого выражения.

Далее появляется проблема с результатом у которого бесконечное количество цифр после запятой. Если мы не можем написать точно число, то получается мы не можем получить результат выражения и значит он неопределён или как? Решение предлагается такое. Результат может быть промежуточным и конечным. Промежуточный результат точный, если мы не можем записать точный конечный результат, а нам нужен результат выражения в точном виде, то пишем промежуточный результат, обозначая его буквой(константой), и даём описание, что это такое. Описание может быть как в виде исходного выражения, выражения равного исходному, алгоритма, и в любом другом виде, важно, что из него мы можем получить конечный результат с любой степенью точности. Конечный результат используется для практических целей и он может быть приблизительным.

Если промежуточный результат очень большой, такой что мы не можем записать конечный результат, не хватит времени, листа бумаги, чернил и т.д., то конечный результат всё равно считается определённым, но в силу физических ограничений, мы его не можем получить и поэтому работаем с промежуточным.

-- 10.01.2024, 08:32 --

warlock66613 в сообщении #1625321 писал(а):

talash в сообщении #1625285 писал(а):

а тут за троеточием именно оно и скрывается

Да нет, за ним скрывается только то, что указанный ряд цифр может быть продолжен и продолжен неограниченно.

Получив результат, мы можем забыть весь путь, которым он был получен. Это ведь подразумевается в понятии "результат"? Если мы возьмём результат и рассмотрим отдельно от выражения, то откуда будут браться цифры для продолжения ряда?

warlock66613 в сообщении #1625321 писал(а):

А вот за вашим $a$ как раз скрывается "бесконечное действие". Вон оно выглядывает, значком бесконечности манифестирует:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a.$$

Надо вам наоборот всё сделать: что разрешили — запретить, а что запретили — разрешить.

Точная сумма ряда самого по себе без знака lim не может быть получена. Он бесконечный, а значит невыполнимый, но мы всегда можем остановиться на каком-то шаге и получить приблизительный результат(если ряд сходящийся). Так же точным результатом суммирования ряда считается предел, который находится за конечное количество шагов.

[warlock66613]

talash в сообщении #1625429 писал(а):

Получив результат, мы можем забыть весь путь, которым он был получен. Это ведь подразумевается в понятии "результат"? Если мы возьмём результат и рассмотрим отдельно от выражения, то откуда будут браться цифры для продолжения ряда?

А зачем нам вообще "результат"? Он нам не нужен, совершенно. Нам может быть достаточно например первых пяти цифр после запятой. А если понадобится больше, мы просто "проделаем весь путь" заново и вычислим побольше цифр.

[Geen]

talash в сообщении #1625429 писал(а):

Получив результат, мы можем забыть весь путь, которым он был получен. Это ведь подразумевается в понятии "результат"?

Тогда у Вас нет результата для $\sqrt 2$.

[talash]

epros в сообщении #1625328 писал(а):

А чем Вам не нравится определение числа выражением?

Мне непонятно, чем "число" отличается от "выражения". Любое выражение без переменных это тоже число или всё-таки нет? Можете сформулировать чёткие правила? Я пока пытаюсь разделить эти понятия, но не очень доволен тем что получается, потому что, как говорится, многа букв. Число это конструкция в позиционной системе отсчёта, а не выражение. Число может существовать отдельно, то есть, мы пишем конструкцию в позиционной системе отсчёта и говорим, что вот это есть число. Если мы запишем выражение, состоящее только из чисел и операций между ними, то его результат, то есть выполнение всех операций, будет числом. Если результат в виде числа в точном виде не может быть посчитан по каким-то причинам, а нам нужно в точном, то мы можем обозначить его буквой и сказать, что результат это число $a$. Называем это "промежуточный результат", при этом он должен быть отделён от выражения, для этого мы сопровождаем его описанием, например:
выражение:
$\frac{1}{3}$ = $a$.
результат:
$a$ это $0.(3)$
Мы можем забыть исходное выражение, а взять только промежуточный результат с описанием и по нему получить конечный результат. $0.(3)$ это не число, а в данном случае алгоритм получения числа с любой степенью точности. Имея описание, мы пишем $a \approx 0.333$.
Но чаще всего описанием служит само выражение, но максимально упрощённое.

epros в сообщении #1625328 писал(а):

Обычно есть конечные записи рекурсивных функций, которые позволяют вычислить рациональную дробь, приближающую интересующее нас число с любой точностью. Такие числа называются "конструктивными".

Да, есть отличие от "конструкции в позиционной системе счисления". Например, определим число $x$ таким образом: $i$-тый двоичный разряд после запятой равен $1$, если $2i+1$ - совершенное число, и $0$ в ином случае. Поскольку математике неизвестно, существуют ли нечётные совершенные числа, мы не знаем, равно ли $x$ нулю. Однако оно определено как "конструктивное действительное число" и даже в Вашем смысле - как "конструкция в позиционной системе счисления" (это называется "вычислимая двоичная дробь"). При этом интересно, что число $1-x$ тоже является конструктивным действительным, хотя мы не знаем ни одной цифры его двоичной (или десятичной) записи. Т.е. в Вашем смысле оно не определено, ибо не выражается вычислимой двоичной или десятичной дробью.

У меня тоже можно определить такое число по аналогии с промежуточным результатом, обозначаем это число буквой и сопровождаем описанием.