Основания классического математического анализа.

[EminentVictorians]

iifat в сообщении #1624808 писал(а):

И таки что благородный дон предлагает сделать с $\sqrt2$, кое ну никак не записать в виде числа с десятичной точкой?

А в чем проблема с корнем из двух? Оно вычислимое (даже алгебраическое) - полностью задается конечной программой, вычисляющей его с любой заданной точностью. По-моему, никаких проблем с ним нету.

[talash]

gefest_md в сообщении #1624289 писал(а):

Определение чего-то нужно для того, чтобы что-то доказывать (например, доказать по определению, что некоторый объект обладает свойством быть точкой). Но Евклид по-моему нигде в доказательствах не использует своё интуитивное определение точки; тогда наверное основание предмета это о чём-то другом.

Название - не суть. Можно это назвать описанием. У Евклида: Точка есть то, что не имеет частей. («Точка есть то, часть чего ничто»).
Отсюда мы узнаём, что точка неделима. Имея представление о точке, прямой и т.д., мы можем интуитивно генерировать идеи полезных теорем. Это то что называется понимание. А если мы не имеем такой интуиции, а только знаем правила применения и комбинирования аксиом, то какие теоремы мы будем генерировать? Не будет ли большинство из них "бесполезны". Я пока не представляю, что это будут за теоремы. Попробую выяснить это у ИИ, выше писал на эту тему:

talash в сообщении #1624765 писал(а):

аксиоматика Гильберта даёт возможность составлять логические предложения, относящиеся к геометрии, не пользуясь интуицией. По идее, с помощью компьютера и аксиом Гильберта можно получить все утверждения геометрии, но я не слышал, чтобы это было сделано и подозреваю, что это бессмысленно, так как получится слишком много утверждений. Надо их как-то отбирать, но может быть и здесь можно обойтись без интуиции, а ввести какие-то логические правила? Будет интересно спросить об этом ИИ.

[talash]

talash в сообщении #1624765 писал(а):

как-то на старте разрешить противоречие. Определённое число существует в виде этой вот конкретной конструкции, которую мы можем записать. А что такое тогда "иррациональное число" или "бесконечная десятичная дробь"? Это числа, которые мы не можем записать?

Я бы так разрулил.

Предложение по уточнению терминологии или почему $0.(3) + 0.(6) \neq 0.(9)$

Мы определяем операцию деления для целых чисел, как операцию обратную умножению и получаем необходимость разделять ранее неделимую единицу. Для этого мы вводим в конструкцию числа десятичную точку и разряды после неё от большего к меньшему: десятые доли, сотые доли, тысячные доли и так далее. Но оказывается, что результат некоторых операций деления не может быть вычислен из-за бесконечного количества знаков после запятой, например, для $\frac{1}{3}$.

Запрет на выполнение бесконечных операций естественен. Мы не можем выполнить бесконечную операцию в жизни и не будем вводить подобные действия в математику. Я сейчас говорю про основания "традиционной математики" (от арифметики до классического матанализа), где этот запрет всегда старались соблюдать. Теория множеств это математика, построенная на других основаниях и она должна идти отдельным разделом. Может быть теорию множеств тоже можно разбить на части, дискретная математика наверное ближе к традиционным основаниям.

Таким образом, невозможность выполнения операции деления единицы на тройку означает, что результат не может быть получен.

В троичной, шестеричной, девятичной и т.д. системах результат деления единицы на тройку получить можно, но там будут другие невыполнимые операции.

Однако, оказывается, что можно не выполнять деление, а оставить $\frac{1}{3}$. Это невычисленное выражение обладает необходимыми нам свойствами чисел, мы умеем сравнивать его с целыми числами и другими выражениями. То же самое касается корней и бесконечных рядов.

Таким образом, "бесконечная десятичная дробь" и "иррациональное число" это математические выражения, обладающие необходимыми нам свойствами чисел, хотя мы не можем точно вычислить результат, но мы можем однозначно сравнивать эти выражения с другими числами и выражениями, сказать какое число больше, а какое меньше.

То есть, бесконечная десятичная дробь это именно $\frac{1}{3}$, а не $0.(3)$. Можно определить, что:
$\frac{1}{3} = 0.(3)$ и $\frac{2}{3} = 0.(6)$
отсюда следует что:
$0.(3) + 0.(6) = 1$

-- 04.01.2024, 10:03 --

Amw в сообщении #1624800 писал(а):

Периодическую дробь всегда можно записать в виде обыкновенной дроби. О чем печаль?

Непонятно, что такое периодическая дробь, это актуально бесконечная запись числа, записанная в сокращённом виде, чтобы хватило чернил?

StepV в сообщении #1624806 писал(а):

Иррациональное число может записываться в виде конкретной конструкции: $\sqrt{2},\sqrt{3}$ - единственно, это конструкция не переводится точно на язык рациональных чисел.

Согласен, неплохо бы определить, что "иррациональное число" это выражение.

-- 04.01.2024, 10:06 --

talash в сообщении #1624826 писал(а):

то есть, бесконечная десятичная дробь это именно $\frac{1}{3}$, а не $0.(3)$.

Здесь самому не нравится терминология. Надо ещё подумать.

[dmd]

Gagarin1968 в сообщении #1624119 писал(а):

Мне, человеку XX и XXI века стало смешно, как достопочтенный сэр Исаак постоянно крутится около понятия предела функции, не определяя его явно. Кажется, ну вот, ещё чуть-чуть, введи $\delta - \varepsilon$ рассуждения, и понятие предела введено.

Ответьте себе на вопрос, чем являются $\delta$ и $\varepsilon$ относительно первичной переменной (пусть $x$), предел которой в некой точке строится. Они независимые переменные относительно $x$, или зависимые? Если зависимые - то как?, Если независимые - то тоже, как? Каков релятивизм всей картины построения предела? $\delta$ и $\varepsilon$ не константы, они как-то меняются. Добавьте в картину скорости их изменений (независимые скорости, раздельные, если сами по себе $\delta$ и $\varepsilon$ меняются независимо друг от друга). Добавьте в картину изменение масштаба $x$ быстрее, чем меняются $\delta$ и $\varepsilon$. Что в итоге Вы получите? А получите только одно - нет никакого строгого определения предела и не было никогда. Потому что для строгости придётся вводить по паре дополнительных переменных ($\delta_1$ и $\varepsilon_1$ для $\delta$, и $\delta_2$ и $\varepsilon_2$ для $\varepsilon$), и так далее до $\infty$. И в итоге вся конструкция предельного перехода превратится в то, чем и была изначально, в софизм.

Еще интересно, как народ отвечает себе на вопрос: что первично - матанализ или тэйлорово разложение? Человечество создало матанализ, и поэтому мы имеем разложение Тэйлора, или Природа создала тэйлорово разложение и поэтому собственно мы имеем матанализ? Если Вы сторонник второго ответа, то поиск более натуральных оснований матанализа очень естественно для думающего внимательного человека. Как бы тавтологично это не звучало, но это так. Ибо нет ничего более неестественного в математике, чем пределы и теория множеств в анализе.

[Dedekind]

dmd
Простите, а где в определении предела Вы нашли скорости изменения $\delta$ и $\varepsilon$? $\varepsilon$ - произвольное число. $\delta$ - также число, которое зависит от $\varepsilon$. Что и с какой скоростью тут должно меняться?

[dmd]

Dedekind
Скоростей нет только у констант. Если нечто меняется, то автоматически есть и скорость этого изменения. Если в определении нет упоминания про скорости, то это вовсе не означает что скоростей нет как таковых. Поэтому собственно тот же вопрос - что и с какой скоростью тут должно меняться? - сам собою возникает в данном контексте.

[Dedekind]

dmd
Возникать-то могут любые вопросы. Но почему Вы решили, что этот вопрос имеет значение в данном случае, и без ответа на него определение предела - не строгое? Вы же понимаете, что изменение $x$ как аргумента функции, никакого отношения к изменению $\varepsilon$ не имеют (поскольку последнее - просто произвольное число, которое можно выбирать каким угодно, в каком угодно порядке)?

[iifat]

talash в сообщении #1624458 писал(а):

тот, кто эти аксиомы создал, он с них начинал?

Скорее всего, нет. Он с чего-то начинал, потом решил выбрать аксиоматический подход. «Электрон так же неисчерпаем, как атом», как известно, поэтому описывать атом как нечто, содержащее электрон, бессмысленно. К счастью, описать гипотетический атом как нечто неописуемое, однако подчиняющееся некоторой системе аксиом, можно, и это здорово!

EminentVictorians в сообщении #1624811 писал(а):

А в чем проблема с корнем из двух?

Буквально следом, как можете видеть, у автора вырисовываются проблемы с $\frac13$, так что мой пример действительно слишком сложен.

talash в сообщении #1624826 писал(а):

Однако, оказывается, что можно не выполнять деление, а оставить $\frac{1}{3}$

Жуть какая. Ну дык сравните же ж его с изрядно уже утомлённым $\sqrt2$.
А когда сравните, объясните, умоляю, почему числа десятичные? Ведь в троичной системе мы легко разделим единицу натрое, в отличие от $\frac1{10}$.
И все эти непонятные, а главное, не определённые автором невыполненные деления — вместо простого и изящного рационального числа, которое есть пара целых чисел (второе — ненулевое), точнее говоря, конечно, класс эквивалентных пар.

[dmd]

Dedekind
Ну а где тут Вы видите строгость? Если $\varepsilon$ можно выбирать любым, то следовательно и таким, что скорость его изменения будет всегда не поспевать за скоростью изменения масштаба $x$. Ибо в определении нет никакого ограничения на то как при изменении $\varepsilon$ смотреть на $x$. А если все-таки начнете в попытках получения строгости дополнять определение некими ограничениями на взаимосвязи между $x$, $\varepsilon$ и $\delta$, то в итоге придется добавлять по две дополнительных переменных, но с тем же конечным результатом.

[Dedekind]

dmd в сообщении #1624848 писал(а):

Если $\varepsilon$ можно выбирать любым, то следовательно и таким, что скорость его изменения будет всегда не поспевать за скоростью изменения масштаба $x$.

Что значит "изменение масштаба"? $x$ и $\varepsilon$ - разные, независимые друг от друга величины. Сравнивать их "скорости изменения" (что бы это ни значило) - это все равно что сравнивать скорости изменения населения Уругвая и спроса на кофе в Гватемале. Какая из этих скоростей больше?

[dmd]

Изменение масштаба это банальное умножение на константу $k$, или можно сказать зум: $x\to k x$. Определением не запрещено, значит разрешено. Всегда можно выбрать такой масштаб, что определение предела не будет выполняться по вышеозначенным причинам.

[Dedekind]

dmd
Продемонстрируйте, пожалуйста, на примере. Вот есть предел: $\lim_{x\to1}(2x+1)=3$. Что, где и на что нужно умножить, чтобы определение не выполнялось?

[dmd]

Dedekind
Так это уже закрытый оператор исключительно над $x$, так не получится. Если б в операторе участвовали все составляющие определения со всей логикой во круг них, тогда быть может; но не представляю, как мог бы выглядеть такой оператор.

[Dedekind]

dmd
Тогда вообще непонятно, что Вы пытаетесь сказать, и чем вас не устраивает определение предела. Пока все Ваши претензии звучат как полный бред. Но, возможно, я ошибаюсь, и более опытные в математике люди меня поправят.

[dmd]

Dedekind
Хотел сказать, что определение предела работает лишь при некоторых офизичивающих ограничениях, не обозначенных в самом определении. Но вот чисто математически оно выгладит для меня бредом. Не навязываю, конечно.


Видео возможно в тему. Пока что ИИ подобен ребенку, и профессионал видимо легко может заставить ИИ себе поддакивать.