Основания классического математического анализа.

[talash]

Основания классического математического анализа. Могут ли они быть простыми и понятными?

Обычно основания или правила работы какой-либо системы очень просты. Например, шахматы, в них простые и понятные правила, конь ходит "буквой Г", слон наискосок и т.д. Поэтому, почти любую систему начинают изучать с оснований. Но это почему-то не касается оснований классического математического анализа. По-видимому, основания общие у арифметики, алгебры и матанализа. Но арифметика обычно строилась не строго, то есть, без отсылки на основания. Далее на основании арифметики строится элементарная алгебра, а затем классический матанализ. В результате, основания всегда как бы оставались за скобками.

А потом наступила эпоха теории множеств - новых оснований математики. Характерной чертой нового подхода стало отсутствие интуитивных определений первичных математических понятий. В отличие от более ранних авторов, например, у Евклида в его "Началах" первая глава называется "Определения", где даются определения первичных геометрических понятий. Все основания арифметики, которые я знаю, уже были созданы под влиянием этих новых веяний и начинаются сразу с аксиоматики.

Почему важна интуитивная часть оснований? Потому что она даёт строгость. Любое математическое действие должно быть определено либо через более базовые математические понятия, либо через отсылку на интуитивную часть оснований. Иначе можно "мухлевать", например, производить бесконечные операции за конечное время и т.п. В самом деле, если ссылаться ни на что мы не обязаны и есть некий общий интерес легитимизировать некий новый приёмчик, то можно просто согласованно сделать вид, что это действие "очевидно".

Может быть кто-то знает труды по основаниям арифметики, алгебры и классического матанализа с интуитивной частью? Если нет, то давайте попробуем написать сами? Такие понятные, чтобы с них было удобно начинать изучение математики.

[warlock66613]

talash в сообщении #1624112 писал(а):

Почему важна интуитивная часть оснований? Потому что она даёт строгость. Любое математическое действие должно быть определено либо через более базовые математические понятия, либо через отсылку на интуитивную часть оснований. Иначе можно "мухлевать", например, производить бесконечные операции за конечное время и т.п. В самом деле, если ссылаться ни на что мы не обязаны и есть некий общий интерес легитимизировать некий новый приёмчик, то можно просто согласованно сделать вид, что это действие "очевидно".

Бред. От первого до последнего слова.

[Gagarin1968]

talash в сообщении #1624112 писал(а):

Может быть кто-то знает труды по основаниям арифметики, алгебры и классического матанализа с интуитивной частью? Если нет, то давайте попробуем написать сами?

Основания математики с интуитивной частью?? Что это такое?
talash, Вы хоть немного знакомы с историей математики? Интуиция в математике всегда была в почёте, но совершенно не в том смысле, в каком Вы хотите это представить.
Пару лет назад я помогал своему бывшему ученику писать диссер. И пришлось мне перечитать "Математические начала натуральной философии" Ньютона. Стоит этот красный фолиант у меня на полке, кстати, отличная книга, рекомендую, не пожалеете, хоть и прошло больше трёх столетий.
И обратил я внимание на такую вещь. Мне, человеку XX и XXI века стало смешно, как достопочтенный сэр Исаак постоянно крутится около понятия предела функции, не определяя его явно. Кажется, ну вот, ещё чуть-чуть, введи $\delta - \varepsilon$ рассуждения, и понятие предела введено.
Но нет, не вводит Ньютон его. Не вводит, но пользуется им. И как пользуется!! Очень продуктивно. Вот это и называется на интуитивном уровне. Сейчас мы бы это назвали прикладной математикой.
Но причём здесь основания?

[talash]

Gagarin1968 в сообщении #1624119 писал(а):

talash, Вы хоть немного знакомы с историей математики?

Я только и читаю, что старые книги, потому что не понимаю оснований теории множеств. Основания традиционной математики (от арифметики до классического матанализа) примерно понимаю, но хочу углубить это понимание. Также я убеждён и считаю очевидным, что математика, построенная на разных основаниях, должна чётко разделяться. Любая новая математика, построенная на новых основаниях, должна идти отдельным разделом, даже если она вроде бы включает в себя предыдущую математику. Потому что математика на старых основаниях более понятна и более надёжна, а значит должна быть, во-первых, сохранена, а, во-вторых, иметь перспективу дальнейшего развития.

Gagarin1968 в сообщении #1624119 писал(а):

Интуиция в математике всегда была в почёте, но совершенно не в том смысле, в каком Вы хотите это представить.

Интуиция понятие многозначное и я не пытаюсь его как-то переопределить. Важна суть, можно и без этого слова её описать. Мы не можем определить фундаментальные правила работы математики через математику же, максимум что мы можем сделать, это подробно описать их словами, смысл которых понятен нам из опыта и эти слова есть минимальные кирпичики нашей конструкции.

Gagarin1968 в сообщении #1624119 писал(а):

Но нет, не вводит Ньютон его. Не вводит, но пользуется им. И как пользуется!! Очень продуктивно. Вот это и называется на интуитивном уровне. Сейчас мы бы это назвали прикладной математикой.
Но причём здесь основания?

Вот здесь наглядно показано почему работает геометрический метод и работает точно.
https://www.youtube.com/watch?v=qd0rzmSGPWg&t=354s
В дальнейшем классический математический анализ был построен из тех же оснований что и арифметика. Это ещё называли арифметизацией матанализа.

-- 28.12.2023, 10:17 --

Dicson в сообщении #1624139 писал(а):

Вы имеете в виду, что их нельзя формализовать, но идея работает? "Начала" начинаются с очевидного. Суть очевидного в том, что оно понимается всеми одинаково - однозначно. То есть это вполне себе замена строгости. Поэтому идея и работает. Но в целом чем больше слов естественного языка, тем больше вероятность неоднозначности, поэтому действительно строгие определения всё-таки должно быть возможным формализовать.

Не совсем согласен. Даже если бы интуитивные основания понимались правильно небольшим количеством людей, но они бы смогли из них получить практически полезные вещи, то остальные были бы вынуждены признать эти основания.
Если интуитивные основания довольно просты и очевидны, но мы, тем не менее, детально описываем на естественном языке все их нюансы, то это только идёт на пользу строгости.

Вот, например, конструкция числа в десятичном формате. Это же интуитивная конструкция? Эти правила смены цифр при инкременте и декременте, разряды от младшего к старшему, возможность неограниченного роста числа, они считаются очевидными? После определения отношений, эта интуитивная конструкция расширяется, появляется десятичная точка и неограниченное число разрядов после неё. Тут же оказывается, что результат операции $\frac{1}{3}$ имеет бесконечное количество знаков после запятой и возникает вопрос можно ли записать это число в точном виде, например, так $0.(3)$? Это мы, используя специальное сокращение, чтобы хватило чернил, записали бесконечное количество знаков. И вот эти и другие нюансы должны быть расписаны в основаниях. Это только добавит строгости.

[StepV]

talash в сообщении #1624112 писал(а):

Характерной чертой нового подхода стало отсутствие интуитивных определений первичных математических понятий.

Мне здесь на форуме как-то рекомендовали очень хорошую книжку:
В.А.Успенский Что такое аксиоматический метод?
Книга научно-популярная, но читается с удовольствием. Ответ на ваши вопросы содержатся в третьем параграфе. И дают краткие причины, почему надо начинать с аксиом, а не пытаться дать некие определения первичным понятиям.
Надеюсь, что книга поможет вам в поиске ответа.

[Dicson]

talash в сообщении #1624148 писал(а):

Не совсем согласен. Даже если бы интуитивные основания понимались правильно небольшим количеством людей, но они бы смогли из них получить практически полезные вещи, то остальные были бы вынуждены признать эти основания.

Те математические объекты, которые были известны во времена Евклида, и сами по себе простые. Поэтому аксиомы Евклида очевидные "для всех". А так, вы правы. Очевидное должно быть очевидным прежде всего для тех, кто работает в этой области. Например, польза, приносимая наукой, заставляет прислушиваться к тому, что говорят учёные. А понимать при этом подробности того, почему они это говорят, необязательно. Важнее другое...

Цитата:

- Как тебя понимать?
- Понимать меня необязательно. Обязательно любить и кормить вовремя.
Алиса в стране чудес.

...гранты и премии.

talash в сообщении #1624148 писал(а):

Если интуитивные основания довольно просты и очевидны, но мы, тем не менее, детально описываем на естественном языке все их нюансы, то это только идёт на пользу строгости.

"Интуитивные основания" - это аксиомы? Если в них что-то не учтено, то можно и переписать. Но их всё равно будет недостаточно, чтобы выразить все нюансы того, объекта, который они описывают. Не все истинные утверждения можно доказать. Строгостью здесь не поможешь, аксиомы и так строгие. Если же вы имели в виду не аксиомы, а некие интуитивные основания самих аксиом, то их вообще не выразить, не то что детально.

Предпосылки - это элементарные основания для дальнейших рассуждений. Они просто постулируются, и этого достаточно, потому что подразумевается, что предпосылки - это то, что заинтересованным сторонам и так понятно. Но если непонятно, то для их вывода потребуются новые предпосылки. Иными словами, потребуется новое рассуждение - новая теория, в которой эти предпосылки сами выводятся из чего-то более элементарного.

Аксиомы - это те же предпосылки. Но, во-первых, как математические объекты, - это абстракции высокого уровня, а во-вторых, это элементарные представители математического мира. Поэтому, если, например, кто-то сам не понял, что такое точка, то ему уже вряд ли получится объяснить. Потому что для объяснения придётся из математического мира, в котором точка элементарный и потому невыводимый объект, спуститься в мир абстракций более низкого уровня - к непосредственно наблюдаемым явлениям. Но там нет точек. Таким образом, "детальных описаний" того, что лежит в основании точки привести невозможно, а сам человек от клякс, дырок и кругов абстрагировать её не может. Тупик.

И наконец из этого рассуждения понятно, что основания математики лежат за рамками математики. Но их невозможно чётко сформулировать как минимум потому, что за рамками математики есть только общие рассуждения о связи наблюдаемого и идеального.

(Про инопланетян и множество всех множеств)

С пониманием точки редко бывают затруднения (иногда возникают вопросы про их безразмерность). Но, возможно, есть математический объект, который не понимает никто, хотя он всем "знаком".

В точке "мало бесконечности", но где её больше, проблемы случаются чаще. Ничего бесконечное непосредственно наблюдать невозможно, поэтому абстрагировать бесконечные объекты сложнее. Например, прибавляя по единице, натуральный ряд можно продолжать бесконечно. Что мешает многим людям воспринимать множество натуральных чисел, как завершённый объект. Объект бесконечен, где бы ни помыслить границу, он сразу становится бесконечно её больше, и так постоянно, как бы далеко ни кинуть взгляд. Как же можно представить такой объект завершённым?

Множество всех множеств. Стоит только попытаться его представить в виде завершённого объекта, оно тут же расширяется множеством своих подмножеств - и так постоянно. Что уже не просто мешает, а не в принципе позволяет представить его завершённым. Но, возможно, что это недоступно только нашему разуму, а не невозможно вообще. И что более умные инопланетяне, способные на более высокие уровни абстракций, смогли бы это сделать точно так же легко, как для многих людей нет никакой особенной сложности в том, чтобы представить натуральный ряд завершённым объектом. Математика в этом случае была бы иной, недоступной осмыслению, "это утверждение ложь" было бы какой-нибудь обычной логической связкой, парадоксы возникали на других уровнях.

talash в сообщении #1624148 писал(а):

И вот эти и другие нюансы должны быть расписаны в основаниях. Это только добавит строгости.

Вы хотите добавить в аксиомы (или куда там) какое-то пояснение насчёт записи чисел? Я не настолько разбираюсь в теме, чтобы оценить его нужность или не нужность.

[warlock66613]

Dicson в сообщении #1624272 писал(а):

С пониманием точки редко бывают затруднения

Ну, вот вы похоже не понимаете что такое точка. Точки — это объекты, для которых определены необходимые элементарные отношения (например, отношение "лежать на прямой" между точкой и прямой) и выполнена соответствующая аксиоматика (скажем, аксиоматика Гильберта). И никаких вопросов про безразмерность.

[gefest_md]

talash в сообщении #1624112 писал(а):

А потом наступила эпоха теории множеств - новых оснований математики. Характерной чертой нового подхода стало отсутствие интуитивных определений первичных математических понятий. В отличие от более ранних авторов, например, у Евклида в его "Началах
" первая глава называется "Определения", где даются определения первичных геометрических понятий. Все основания арифметики, которые я знаю, уже были созданы под влиянием этих новых веяний и начинаются сразу с аксиоматики.

Определение чего-то нужно для того, чтобы что-то доказывать (например, доказать по определению, что некоторый объект обладает свойством быть точкой). Но Евклид по-моему нигде в доказательствах не использует своё интуитивное определение точки; тогда наверное основание предмета это о чём-то другом.

[talash]

StepV в сообщении #1624189 писал(а):

причины, почему надо начинать с аксиом, а не пытаться дать некие определения первичным понятиям.

А тот, кто эти аксиомы создал, он с них начинал? Или он на каких-то других основаниях провёл глубокие исследования, там выяснил, что достаточно этих аксиом и предложил начинать с них?

Такая аксиоматизация полезна для каких-то целей, но иногда такие аксиомы могут быть непонятны. Непонятны в различных аспектах, непонятно что из них строить, непонятно как, непонятно откуда они взялись, и т.п. А чем меньше понимания, если сам не предугадываешь построения автора, тем меньше интереса осваивать предмет.

Тут снова можно привести пример из Евклида, только отрицательный. Его пятый постулат сложнее остальных и поэтому от него хотели либо избавиться либо переделать на более интуитивно понятный.

Ещё пример, цитата из Пуанкаре:

Цитата:

Посмотрим, что произошло, например, с идеей непрерывной функции. Вначале это был только чувственный образ, например образ непрерывной черты, проведенной мелом на чёрной доске. Потом мало-помалу она стала очищаться: скоро воспользовались ею для построения сложной системы неравенств, которая воспроизводила, так сказать, все черты первообраза; когда это построение было окончено, тогда освободили ее от «строительных лесов», отбросив то грубое представление, которое служило ей некоторое время подпорой, а теперь стало бесполезным; не осталось больше ничего, кроме самого построения, безупречного в глазах логика. Однако же если бы первообраз совершенно исчез из нашей памяти, как бы мы угадали, по какой прихоти были построены так, одно за другим, эти неравенства?

Так что простота и интуитивная понятность оснований тоже многим нужна.

[gefest_md]

talash в сообщении #1624458 писал(а):

Его пятый постулат сложнее остальных и поэтому от него хотели либо избавиться либо переделать на более интуитивно понятный.

Древние математики его пытались вывести из остальных аксиом. Позже было доказано что геометрия Лобачевского непротиворечива, откуда следует, что такой вывод невозможен. Может быть те математики непростоту постулата понимали в смысле выразимости его через много слов. Но формально предложение единственности использует больше слов, чем предложение существования, но оно понятно. Поэтому если оно понятно, то принимаю и определение множества $\mathbb{R}$ через аксиомы.

[talash]

talash в сообщении #1624458 писал(а):

Так что простота и интуитивная понятность оснований тоже многим нужна.

Одна из мыслей в виде тезиса, которую я здесь поддерживаю:
- должны существовать простые(насколько это возможно), подробные и интуитивно понятные математические основания.

Не вместо аксиоматических, а в дополнение, чтобы облегчить обучение. В частности, должна быть сохранена первоначальная идея непрерывности и весь вывод конечных неравенств, об чём писал Пуанкаре. Это ведь не закон природы, который проверен опытным путём и поэтому мы можем быть уверенными в правильности формул. Это человеческая идея, чтобы понять её и быть уверенными в её правильности, нужно знать и понимать её вывод.

Читал "Основания геометрии" Гильберта и нашёл там в приложении отзыв Пуанкаре, в нём он пишет, что такая аксиоматика вредна для преподавания. Также он пишет, что аксиоматика Гильберта даёт возможность составлять логические предложения, относящиеся к геометрии, не пользуясь интуицией. По идее, с помощью компьютера и аксиом Гильберта можно получить все утверждения геометрии, но я не слышал, чтобы это было сделано и подозреваю, что это бессмысленно, так как получится слишком много утверждений. Надо их как-то отбирать, но может быть и здесь можно обойтись без интуиции, а ввести какие-то логические правила? Будет интересно спросить об этом ИИ.

Из статьи Пуанкаре "Отчёт о работах Гильберта, представленных для соискания международной премии имени Лобачевского":

Цитата:

Гильберт начинает с установления полного перечня аксиом, стараясь не позабыть ни одной; это не так легко, как можно было бы думать, и даже Евклид применяет аксиомы, им не формулированные. Геометрическая интуиция настолько привычна нам, что мы пользуемся интуитивными истинами, так сказать, сами того не замечая. Поэтому-то для того, чтобы достигнуть цели, которую себе поставил Гильберт, необходимо не оставлять интуиции ни малейшего места
...
Таким образом Гильберт старался, так сказать, представить аксиомы в такой форме, чтобы они могли быть прилагаемы лицом, которое не понимало бы их смысла, потому что никогда не видело ни точки, ни прямой, ни плоскости. Рассуждения должны по его мнению приводиться к чисто механическим правилам, и для того, чтобы строить геометрию, достаточно рабски прилагать эти правила к аксиомам, не зная, что они собственно выражают. Таким образом, можно было бы построить всю геометрию, я не скажу, ничего в ней не понимая, потому что будет понятно логическое сцепление предложений, но по крайней мере ничего в ней не видя. Можно было бы вставить аксиомы в логическую машину, например, в логическое пианино Стенли Джевонса, и из нее вышла бы вся геометрия.

Эта забота может казаться искусственной и детской, и бесполезно указывать, насколько бы это было гибельно в преподавании и вредно развитию ума; насколько бы оно действовало иссушающе на исследователей, у которых оно быстро убивало бы оригинальность. Но у Гильберта она объясняется и оправдывается, если мы припомним, какая цель преследуется.

-- 03.01.2024, 11:27 --

Dicson в сообщении #1624272 писал(а):

"Интуитивные основания" - это аксиомы?

Это, например:

talash в сообщении #1624148 писал(а):

Вот, например, конструкция числа в десятичном формате. Это же интуитивная конструкция? Эти правила смены цифр при инкременте и декременте, разряды от младшего к старшему, возможность неограниченного роста числа, они считаются очевидными? После определения отношений, эта интуитивная конструкция расширяется, появляется десятичная точка и неограниченное число разрядов после неё.

Dicson в сообщении #1624272 писал(а):

Вы хотите добавить в аксиомы (или куда там) какое-то пояснение насчёт записи чисел? Я не настолько разбираюсь в теме, чтобы оценить его нужность или не нужность.

Да, я хочу начать с конструкции числа с десятичной точкой. И как-то на старте разрешить противоречие. Определённое число существует в виде этой вот конкретной конструкции, которую мы можем записать. А что такое тогда "иррациональное число" или "бесконечная десятичная дробь"? Это числа, которые мы не можем записать? Или можем записать с помощью сокращений, взяв период в скобки или используя троеточия?
Не знаю на счёт аксиом, пока такой подход кажется правильным:

talash в сообщении #1624148 писал(а):

Мы не можем определить фундаментальные правила работы математики через математику же, максимум что мы можем сделать, это подробно описать их словами, смысл которых понятен нам из опыта и эти слова есть минимальные кирпичики нашей конструкции.

[мат-ламер]

talash в сообщении #1624765 писал(а):

А что такое тогда "иррациональное число" или "бесконечная десятичная дробь"? Это числа, которые мы не можем записать? Или можем записать с помощью сокращений, взяв период в скобки или используя троеточия?

А зачем вообще заморачиваться насчёт наших возможностей, которые мы не определили? Это только сложностей добавляет.

[Amw]

talash в сообщении #1624765 писал(а):

А что такое тогда "иррациональное число" или "бесконечная десятичная дробь"? Это числа, которые мы не можем записать? Или можем записать с помощью сокращений, взяв период в скобки или используя троеточия?

Периодическую дробь всегда можно записать в виде обыкновенной дроби. О чем печаль?

[StepV]

talash в сообщении #1624765 писал(а):

как-то на старте разрешить противоречие. Определённое число существует в виде этой вот конкретной конструкции, которую мы можем записать. А что такое тогда "иррациональное число" или "бесконечная десятичная дробь"? Это числа, которые мы не можем записать?

Это должно было стать вам понятным из школьного курса математики. Рациональность и иррациональность - это не противоречия, это свойства нашего мира, отраженные в построении числовой прямой. Иррациональное число может записываться в виде конкретной конструкции: $\sqrt{2},\sqrt{3}$ - единственно, это конструкция не переводится точно на язык рациональных чисел.
А ведь существуют еще алгебраические и трансцедентные числа. Я в предыдущем посте рекомендовал вам книгу очень простую и ясную по аксиоматике. Начните с нее. Потом рекомендую книгу Нивена о рациональных и иррациональных числах. Потом уже можно двигаться к конкретным результатам.

[iifat]

talash в сообщении #1624765 писал(а):

я хочу начать с конструкции числа с десятичной точкой

И таки что благородный дон предлагает сделать с $\sqrt2$, кое ну никак не записать в виде числа с десятичной точкой?